2015-2016年新疆农大附中高一(下)期中数学试卷和答案

2015-2016学年新疆农大附中高一（下）期中数学试卷
一.选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选
项中只有一项符合题目的要求）
1．（3分）在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（）
A．4B．C．4D．
2．（3分）已知a＞b，c＞d，那么一定正确的是（）
A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a﹣d＞b﹣c 3．（3分）数列，﹣，，﹣，…的一个通项公式为（）
A．a n=（﹣1）n B．a n=（﹣1）n
C．a n=（﹣1）n+1D．a n=（﹣1）n+1
4．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若，则角C的值为（）
A．B．C．或D．或
5．（3分）已知{a n}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=（）A．﹣2B．﹣C．D．2
6．（3分）等比数列{a n}的公比q＞0，已知a2=1，a4=4，则{a n}的公比q的值为（）
A．﹣2B．1C．3D．2
7．（3分）不等式x2＞x的解集是（）
A．（﹣∞，0）B．（0，1）
C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）8．（3分）在△ABC中，AB=2，AC=3，，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．
9．（3分）若x，y∈R+且2x+y=1，则的最小值（）
A．B．C．1D．
10．（3分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n 取最小值时，n等于（）
A．6B．7C．8D．9
11．（3分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5，a5=9，则S7等于（）A．13B．35C．49D．63
12．（3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定
二．填空题：（本大题四小题，每题3分，共12分，把答案填在相应横线上）13．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=3，b=4，∠C=60˚，则边c的值等于．
14．（3分）数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S5=．15．（3分）已知x＞0，函数y=+x的最小值是．
16．（3分）设点P（x，y）满足，则z=2x+y的最大值为．
三.解答题：（本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明．证明过程或演
算步骤）
17．（8分）解下列不等式：
（1）2x2+x﹣1＜0
（2）＜2．
18．（8分）在△ABC中，已知a、b、c分别是三内角A、B、C所对应的边长，且b2+c2﹣a2=bc
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若sin2A+sin2B=sin2C，试判断△ABC的形状并求角B的大小．
19．（9分）已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a15，求{b n}前n项和T n．
20．（9分）已知正数x、y满足xy=x+y+3．
（1）求xy的范围；
（2）求x+y的范围．
21．（9分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC ﹣csinA=0．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．
22．（9分）已知数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令b n=a n3n（x∈R）．求数列{b n}前n项和的公式．
2015-2016学年新疆农大附中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选
项中只有一项符合题目的要求）
1．（3分）在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（）
A．4B．C．4D．
【解答】解：A=180°﹣B﹣C=45°，
由正弦定理知=，
∴b===4，
故选：A．
2．（3分）已知a＞b，c＞d，那么一定正确的是（）
A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a﹣d＞b﹣c 【解答】解：∵a＞b，c＞d，由不等式的性质得﹣c＜﹣d，即﹣d＞﹣c，
∴a﹣d＞c﹣b，D正确；
不妨令a=2、b=1、c=﹣1、d=﹣2，
显然，ad=﹣4，bc=﹣1，A不正确；
ac=bd=﹣2，B不正确；
a﹣c=b﹣d=3，C不正确．
故选：D．
3．（3分）数列，﹣，，﹣，…的一个通项公式为（）A．a n=（﹣1）n B．a n=（﹣1）n
C．a n=（﹣1）n+1D．a n=（﹣1）n+1
【解答】解：由已知中数列，﹣，，﹣，…
可得数列各项的分母为一等比数列{2n}，分子2n+1，
又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负
故可用（﹣1）n+1来控制各项的符号，
故数列的一个通项公式为a n=（﹣1）n+1
故选：D．
4．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若，则角C的值为（）
A．B．C．或D．或
【解答】解：∵△ABC中，a2+b2﹣c2=ab，
∴cosC==，
则C=，
故选：A．
5．（3分）已知{a n}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=（）A．﹣2B．﹣C．D．2
【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得
，即，
解得d=﹣，
故选：B．
6．（3分）等比数列{a n}的公比q＞0，已知a2=1，a4=4，则{a n}的公比q的值为（）
A．﹣2B．1C．3D．2
【解答】解：∵公比q＞0，a2=1，a4=4，
∴a4=a2q2=q2=4，解得q=2．
故选：D．
7．（3分）不等式x2＞x的解集是（）
A．（﹣∞，0）B．（0，1）
C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
【解答】解：∵不等式x2＞x，
∴x2﹣x＞0，
∴x（x﹣1）＞0，
解得x＞1或x＜0，
故选：D．
8．（3分）在△ABC中，AB=2，AC=3，，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．
【解答】解：∵AB=2，AC=3，，
∴cosA===，
∴sinA==，
=AB•AC•sinA==．
∴S
△ABC
故选：C．
9．（3分）若x，y∈R+且2x+y=1，则的最小值（）
A．B．C．1D．
【解答】解：∵x，y∈R+且2x+y=1，
∴=（）（2x+y）
=3++≥3+2=3+2
当且仅当=即x=且y=﹣1时取等号．
故选：A．
10．（3分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n 取最小值时，n等于（）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，
所以，所以当n=6时，S n取最小值．
故选：A．
11．（3分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5，a5=9，则S7等于（）A．13B．35C．49D．63
【解答】解：由题意可得a3+a5=14，
由等差数列的性质可得a1+a7=a3+a5=14，
故S7====49，
故选：C．
12．（3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定
【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，
∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，
∵sinA≠0，
∴sinA=1，A=，
故三角形为直角三角形，
故选：A．
二．填空题：（本大题四小题，每题3分，共12分，把答案填在相应横线上）13．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=3，b=4，
∠C=60˚，则边c的值等于．
【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=3，b=4，∠C=60˚，
c===，
故答案为：．
14．（3分）数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S5=．
【解答】解：S5=a1+a2+…+a5
=
=
==．
故答案为．
15．（3分）已知x＞0，函数y=+x的最小值是4．
【解答】解：∵x＞0，
∴y=+x≥2=4，当且仅当x=2时取等号，
∴函数y=+x的最小值是4
故答案为：4
16．（3分）设点P（x，y）满足，则z=2x+y的最大值为10．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，
解得，即B（3，4），
代入z=2x+y=2×3+4=10．
即目标函数z=2x+y最大值为10．
故答案为：10．
三.解答题：（本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明．证明过程或演
算步骤）
17．（8分）解下列不等式：
（1）2x2+x﹣1＜0
（2）＜2．
【解答】解：（1）2x2+x﹣1=0的两根为，
∴原不等式的解集为；
（2）原不等式可变形为，
即（x﹣3）（x﹣2）＞0，
∴原不等式的解集为{x|x＜2或x＞3}．
18．（8分）在△ABC中，已知a、b、c分别是三内角A、B、C所对应的边长，且b2+c2﹣a2=bc
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若sin2A+sin2B=sin2C，试判断△ABC的形状并求角B的大小．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，
∴cosA=，
又∵b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA=，
∵A为三角形内角，
∴A=；
（Ⅱ）已知等式sin2A+sin2B=sin2C，由正弦定理得a2+b2=c2，
∴△ABC是以角C为直角的直角三角形，
又A=，
∴B=．
19．（9分）已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a15，求{b n}前n项和T n．
【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=2，前3项和S3=．
∴a1+2d=2，3a1+3d=，解得a1=1，d=．
∴a n=1+（n﹣1）=．
（II）b1=a1=1，b4=a15=8，可得等比数列{b n}的公比q满足q3=8，解得q=2．
∴{b n}前n项和T n==2n﹣1．
20．（9分）已知正数x、y满足xy=x+y+3．
（1）求xy的范围；
（2）求x+y的范围．
【解答】解：（1）∵正数x、y满足x+y+3=xy，
∴xy=x+y+3≥3+2，即xy﹣2﹣3≥0，可以变形为（﹣3）（+1）≥0，
∴≥3，即xy≥9，
当且仅当x=y=3时取等号，
∴xy的范围是[9，+∞）；
（2）∵x、y均为正数，
∴x+y≥2，则xy≤，
∴x+y+3=xy≤，即（x+y）2﹣4（x+y）﹣12≥0，
化简可得，（x+y+2）（x+y﹣6）≥0，
∴x+y≥6，
当且仅当x=y=3时取等号，
∴x+y的范围是[6，+∞）．
21．（9分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC ﹣csinA=0．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得：sinAcosC﹣sinCsinA=0．…（2分）
因为0＜A＜π，所以sinA＞0，
从而cosC=sinC，又cosC≠0，…（4分）
所以tanC=，所以C=．…（6分）
（Ⅱ）在△ABC中，S
△ABC
==6，得a=6，…（9分）由余弦定理得：c2=62+42﹣2×=28，
所以
c=2．…（12分）
22．（9分）已知数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令b n=a n3n（x∈R）．求数列{b n}前n项和的公式．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}公差为d，则a1+a2+a3=3a1+3d=12，又a1=2，d=2．所以a n=2n．
（Ⅱ）由b n=a n3n=2n3n，得
S n=2•3+4•32+…（2n﹣2）3n﹣1+2n•3n，①
3S n=2•32+4•33+…+（2n﹣2）•3n+2n•3n+1．②
将①式减去②式，得
﹣2S n=2（3+32+…+3n）﹣2n•3n+1=﹣3（3n﹣1）﹣2n•3n+1．
所以．
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