复合函数零点问题

复合函数零点问题
例1：设定义域为R 的函数()1
,111,1x x f x x ⎧≠⎪
-=⎨⎪=⎩
，若关于x 的方程
()()20f x b f x c ++
=由3个不同的解123,,x x x ，则222
1
23x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为
()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。

所以()1i f x =，可解得：
1230,1,2x x x ===，所以222
1235x x x ++=
答案：5
例2：关于x 的方程(
)
2
2
213120x x ---+=的不相同实根的个
数是（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 8
思路：可将21x -视为一个整体，即()2
1t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得：1t =或2t =，则只需作出()2
1t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即可，
共有5个 答案：C 例3：已知函数
11
()||||f x x x x x
=+
--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 思路：所解方程
2
()()
0f x a f x b ++=可视为()()2
0f x a f x b ++=
，故考虑作出
()f x 的图像：()2
,12,01
2,102
,1x x x x f x x x x x
⎧>⎪⎪
<≤⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎪⎩， 则()f x 的图像如图，由图像可知，若有6
个不同实数解，则必有()()122,02f x f x =<<，所以()()()122,4a f x f x -=+∈，解得
42a -<<-
答案：42a -<<-
例4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22
x x f x f x x -⎧-<≤⎪
=⎨->⎪⎩，则关于x 的方
程()()2
610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
思路：已知方程()()2
610f x f x --=⎡⎤⎣⎦可解，得()()1211
,23f x f x ==-，只需统计
11
,23
y y ==-与()y f x =的交点个数即可。

由奇
函数可先做出0x >的图像，2x >时，
()()122
f
x f x =
-，则(]2,4x ∈的图像只需将
(]0,2x ∈的图像纵坐标缩为一半即可。

正半轴图像
完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。

通过数形结合可得共有7个交点 答案：B
小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。

例5：若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程
()()()2
320f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
思路：()'232f x x ax b =++由极值点可得：12,x x 为2320x ax b ++= ①的两根，观察到方程①与()
()
()2
320f x af x b ++=结构完全相同，
所
以可得()
()
()2
320f x af x b ++=的两根为()()1122,f x x f x x ==，其中()111f x x =，若
12x x <，可判断出1x 是极大值点，2x 是极小值点。

且()()2211f x x x f x =>=，所以
()1y f x =与()f x 有两个交点，而()2f x 与()f x 有一个交点，共计3个；若12x x >，可
判断出1x 是极小值点，2x 是极大值点。

且()()2211f x x x f x =<=，所以()1y f x =与
()f x 有两个交点，而()2f x 与()f x 有一个交点，共计3个。

综上所述，共有3个交点
答案：A
例6：已知函数()2
43f x x x =-+，若方程()()2
0f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的
实根，则实数b 的取值范围是（ ）
A. ()2,0-
B. ()2,1--
C. ()0,1
D. ()0,2 思路：考虑通过图像变换作出()f x 的图像（如图），因为
()()2
0f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦最多只能解出2个()f x ，
若要出七个根
，
则
()()()
121,0,1f x f x =∈，所以
()()()121,2b f x f x -=+∈，解得：()2,1b ∈--
答案：B
例7：已知函数()x
x f x e
=
，若关于x 的方程()()210f x mf x m -+-=恰有4个不相等
的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A. ()1,22,e e
⎛⎫ ⎪
⎝⎭
B. 1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭ C. 11,1e ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭ D.
1,e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
思路：(),0,0x x
x
x e
f x x x e ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，分析()f x 的图像以便于作图，
0x ≥时，()()'1x f x x e -=-，从而()f x 在()0,1单调递增，
在()1,+∞单调递减，()1
1f e
=
，且当,0x y →+∞→，所以
x
正半轴为水平渐近线；当0x <时，()()'1x f x x e -=-，所以()f x 在(),0-∞单调递减。

由此作图，从图像可得，若恰有4个不等实根，则关于()f x 的方程
()()210f x mf x m -+-=中，()()12110,,,f x f x e e ⎛⎫⎛⎫
∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，从而将问题转化为根
分布问题，设()t f x =，则210t mt m -+-=的两根12110,,,t t e e ⎛⎫
⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，设
()2
1g t t mt m =-+-，则有()2
0010
11
1100g m m m g e e e >⎧->⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫-⋅+-=< ⎪⎪⎪⎩⎝⎭
⎩，解得11,1m e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭ 答案：C
小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。

例8：已知函数()2
1,0
log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数判断
正确的是（ ）
A. 当0a >时，有4个零点；当0a <时，有1个零点
B. 当0a >时，有3个零点；当0a <时，有2个零点
C. 无论a 为何值，均有2个零点
D. 无论a 为何值，均有4个零点
思路：所求函数的零点，即方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦的解的个数，先作出()f x 的图像，直线
1y ax =+为过定点()0,1的一条直线，但需要对a 的符号进行分类讨论。

当0a >时，图
像如图所示，先拆外层可得()()1221
0,2
f x f x a =-<=，而()1f x 有两个对应的x ，()2f x 也有两个对应的x ，共计4个；当0a <时，()f x 的图像如图所示，先拆外层可得()1
2
f x =，
且()1
2
f x =只有一个满足的x ，所以共一个零点。

结合选项，可判断出A 正确
答案：A
例9：已知函数()()()2
32
211,0231,31,0x x f x x x g x x x ⎧⎛⎫
-+>⎪ ⎪=-+=⎝⎭⎨⎪
-++≤⎩
，则方程
()0g f x a -=⎡⎤⎣⎦
（a 为正实数）的实数根最多有___________个
思路：先通过分析()(),f x g x 的性质以便于作图，
()()'23632f x x x x x =-=-，从而()f x 在
()()
,0,2,-∞+∞单增，在
()0,2单
减，且
()()01,
23f f ==-，()g x 为分段函数，作出每段图像
即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取()f x 能对应x 较多的情况，由()f x 图像可得，当()()3,1f x ∈-时，每个()f x 可对应3个x 。

只需判断()g f x a =⎡⎤⎣⎦中，
()f x 能在()3,1-取得的值的个数即可，观察()g x 图像
可得，当51,4a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，可以有2个()()3,1f x ∈-，从而能够找到6个根，即最多的根的个数 答案：6个
例10：已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题： （1）方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根 （2）方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根 （3）方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根 （4）方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根
则正确命题的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出x 的总数。

（1）中可得()()()()()1232,1,0,1,2g x g x g x ∈--=∈，进而()1g x 有2个对应的x ，()2g x 有3个，()3g x 有2个，总计7个，
（1）错误； （2）中可得()()()()122,1,0,1f x f x ∈--∈，进而()1f x 有1个对应的x ，()2f x 有3个，总计4个，（2）错误；
（3）中可得()()()()()1232,1,0,1,2f x f x f x ∈--=∈，进而()1f x 有1个对应的x ，()2f x 有3个，()3f x 有1个，总计5个，
（3）正确； （4）中可得：()()()()122,1,0,1g x g x ∈--∈，进而()1g x 有2个对应的x ，()2g x 有2个，共计4个，（4）正确 则综上所述，正确的命题共有2个 答案：B。