西藏自治区拉萨中学2019届高三第四次月考数学(文)试题 word版含答案

拉萨中学高三年级（2019届）第四次月考文科数学试卷
命题：
（满分150分，考试时间120分钟，请将答案填写在答题卡上）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,5M =，{}2,3,5N =，则)(N C M U = ( ) A. {}1 B. {}1,2,3,5 C. {}1,2,4,5 D. {}1,2,3,4,5 2. 设复数z 满足
i z
z
=-+11，则=||z ( ) A. 1
2
3. 已知函数()()()
2log 030x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，那么14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为( )
A. 9
B. 19
C. 9-
D. 1
9
-
4. 若53
)2sin(-=+απ，且为第二象限角，则=αtan ( )
A. 43-
B. 34-
C. 43
D. 34
5. 若01,01<<->>>c b a ，则下列不等式成立的是( )
A.a b -<22
B. ()log log a b b c <-
C. 22a b <
D. 2
log b c a <
6. 已知向量，的夹角为60，2,22a a b =-=则b
= ( ) 7. 已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和. 若2312a a a ⋅=,且4a 与72a 的等差中项为5
4
，则5S = ( )
A.31
B.32
C.33
D.34
8. 若实数 ,x y 满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-≤+011x y x y x ，则2x y +的最大值是( )
A.﹣1
B.0
C.1
D.2
9. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是
3
2
，则正视图中的x 的值是( )
A. 2
B.
92 C. 3
2
D. 3 10. 已知函数()2sin(2)6
f x x π
=+
,若将它的图象向右平移
6
π
个单位长度,得到函数()g x 的图象,则函数()g x 图象的一条对称轴方程为( ) A. 12
x π
=
B. 4
x π
=
C. 3
x π
=
D. 23
x π=
11. 双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点为(),0F c ，过点F 斜率为b a -的直线为l ，设直线l 与
双曲线的渐近线的交点为A ，O 为坐标原点，若OAF ∆的面积为4ab ， 则双曲线C 的离心率为( )
2 D. 4
12. 设函数()2
2
ln f x x x ax x =--，若不等式()0f x <仅有1个正整数解，则实数a 的取值范围是
( )
A. 11,ln 22⎡
⎫--
⎪⎢⎣⎭ B. 11,ln 22⎛
⎤-- ⎥⎝⎦
C. 11ln 2,ln 323⎡
⎫-
-⎪⎢⎣⎭ D. 11ln 2,ln 323⎛
⎤-- ⎥⎝
⎦ 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，把答案填在答题卡中横线上
13. 在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，已知60a b A ===︒,则角B 的度数为________
14. 设a 、b 、c ∈R ＋，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1
c ≥__________
15. 《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”
：
====则按照以上规律,
若=具有 “穿墙术”,则n =__________
16. 在三棱锥P ABC -中, PA ⊥平面ABC ，BC AB ⊥，3=AB ，4=BC ，5=PA ，则三棱锥
P ABC -的外接球的表面积为__________
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分） 已知{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，且32=a ，255=S . （1）求n a 及n S ；
（2）设{}n
n
b a 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .
18.（本小题满分12分） 已知向量23sin
,1,cos ,cos 444x x x m n ⎛⎫⎛
⎫== ⎪ ⎪⎭⎝
⎭，记()f x m n =⋅. （1）若()1f x =，求cos 3x π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围.
19.（本小题满分12分） 如图,在三棱锥P ABC -中，22==BC AB ,
4PA PB PC AC ====, O 为AC 的中点.
（1）证明: PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点 C 到平面POM 的距离.
20.（本小题满分12分） 已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>过点(1,23)，且长轴长等于4.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若12,F F 是椭圆C 的两个焦点，圆O 是以12F F 为直径的圆，直线:l y kx m =+与圆O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点,A B ，若3
2
OA OB ⋅=-，求k 的值.
21.（本小题满分12分） 已知函数ax x x x f --=2ln )(. （1）当1=a 时，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程； （2）若0)(≤x f 恒成立，求a 的取值范围.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22.（10分） 在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为{
sin x y αα== (α为参数),以原点O 为极点,
x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 直角坐标方程；
（2）设P 为曲线1C 上的动点,求点P 到2C 上点的距离的最小值,并求此时点P 的坐标.
23.（10分） 已知函数()1f x x =+. （1）求不等式()211f x x <+-的解集；
（2）关于x 的不等式()()23f x f x a -+-<的解集不是空集,求实数a 的取值范围.
拉萨中学2019届高三第四次月考文科数学参考答案
一、选择题：5×12=60分 二、填空题：
5×4=20分
13. 。

45 14. 9 15. 63 16. π50
三、解答题：6题共70分 17（12分）解：（1）由题意可得:
()12121n a n n =+-=-, 2n S n =.
（2）()1
213
n n b n -⋅=-,
∴()2
1
13353213
n Tn n -=+⨯+⨯+⋯+-⨯,
()()213333233213n n Tn n n -=+⨯+⋯+-⨯+-⨯,
∴()
()21
212333
213 n n Tn n --=+⨯++⋯+--⨯ ()()()()12331131123311312132232n n n n n n =+⨯---+⨯-----⨯=-⨯-,
∴()131n
Tn n =-⨯+.
18（12分）解：（1） (
)2111
3sin
cos cos sin cos sin 44422222262
x x x x x x f x m n π⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭ 由()1f x =,得1
sin 262x π⎛⎫+=
⎪⎝
⎭
所以21cos 12sin 3262
x x ππ⎛⎫
⎛⎫+
=-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
（2）因为(2)cos cos a c B b C -=,
由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=, 所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=, 所以()2sin cos sin A B B C =+,因为A B C π++=, 所以()sin sin B C A +=,且sin 0A ≠,所以1
cos 2
B = 又02
B π
<<,所以3
B π
=,则22,33A C A C ππ+=
=-,又02
C π<<, 则
6
2
A π
π
<<
,得
23
6
3
A π
π
π<+
<
sin 16A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝
⎭,又因为()12sin 62f A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,
故函数()2f A 的取值范围是32⎤
⎥⎝⎦
19（12分）证明：（1）连接BO ,
由于,AB BC O =为AC 的中点,则BO AC ⊥. 由勾股定理得: 222BO OC BC +=,
而1
2,2
OC AC BC =
== 所以2BO =.
在PAC ∆中, O 为AC 中点, 4PA PC AC ===, 所以PO AC ⊥
由勾股定理得PO ==由于2,4,BO PB ==则222PB PO BO =+, 故POB ∆是直角三角形,且PO BO ⊥。

由于,BO AC O =则PO ⊥平面ABC 。

（2）
20（12分）解：(1)由题意,椭圆的长轴长24a =,得2a =, 因为点3(1,)2在椭圆上,所以
219
144b
+=得23b =, 所以椭圆的方程为22
143
x y +=.
（2）由直线l 与圆O 相切,
1=,即221m k =+,
设1122(,),(,)A x y B x y ,由22
1,
{43
,
x y y kx m +==+消去y ,整理得222(34)84120k x kmx m +++-= 由题意可知圆O 在椭圆内,所以直线必与椭圆相交,所以
2121222
8412,3434km m x x x x k k -+=-⋅=++.22
12121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m ⋅=++=⋅+++ 2222
2
222
4128312()343434m km m k k km m k k k
--=⋅+-+=+++ 所以22222121222241231271212343434m m k m k x x y y k k k ----⋅+⋅=+=
+++ 因为2
2
1m k =+,所以2
12122
5534k x x y y k
--⋅+⋅=+. 又因为32OA OB ⋅=-,所以2225531,3422k k k --=-=+,得k
的值为±
21（12分）解：（1）时,函数,可得
,
所以,
时,
.
曲线
则处的切线方程
; ,即
.
（2）由条件可得
,
则当
时,
恒成立,
令,则,
令,
则当时,,
所以在
上为减函数.
又,所以在上,;
在上,.
所以在
上为增函数;在
上为减函数. 所以
,所以
.
22（10分）解：（1
）由曲线1:sin x C y αα⎧==⎪⎨⎪⎩
得cos sin y αα
==⎩
,
两式两边平方相加得2
2
1y +=, 即曲线1C 的普通方程为2
213
x y +=
由曲线2:sin 4C πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
:
(
)sin cos 2
ρθθ+=, 即sin cos 8ρθρθ+=,所以80x y +-=, 即曲线2C 的直角坐标方程为80x y +-=. （2）由（1）知椭圆1C 与直线2C 无公共点,
依题意有椭圆上的点)
,sin P
αα到直线80x y +-=的距离为
d =
=
,
所以当sin 13πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
时, d 取得最小值此时2
3
6
π
π
π
α=-
=
,点P 的坐标为31,22⎛⎫
⎪⎝⎭。

23（10分）解：（1）.∵()211f x x <+-,∴12110x x +-++<, 当1x <-时,不等式可化为()12110x x --+++<,解得1x <-,所以1x <-; 当1
12
x -≤≤-
,不等式可化为()12110x x --+++<,解得1x <-,无解; 当12
x >-时,不等式可化为()12110x x +-++<,解得1x >,所以1x > 综上所述, ()
(),11,A =-∞-+∞.
（2）.因为()()()()2312121f x f x x x x x -+-=-+-≥---=, 且()()23f x f x a -+-<的解集不是空集, 所以1a >,即a 的取值范围是()1,+∞.。