湖口县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

湖口县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（ ）
A ．150°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
2． 在10
201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭的展开式中，含2
x 项的系数为（ ）
（A ）10 （ B ） 30 （C ） 45 （D ） 120
3． 江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（ ）
A ．10米
B ．100米
C ．30米
D ．20米 4． 若复数z 满足iz=2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）
A ．（2，4）
B ．（2，﹣4）
C ．（4，﹣2）
D ．（4，2）
5． ()()
2
2f x a x a =-+ 在区间[]0,1上恒正，则的取值范围为（ ）
A ．0a >
B ．02a <<
C ．02a <<
D ．以上都不对
6． 抛物线y=x 2的焦点坐标为（ ） A ．（0，
）
B ．（
，0）
C ．（0，4）
D ．（0，2）
7． 将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）
（A ）150种 （ B ） 180 种 （C ） 240 种 （D ） 540 种
8． 把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ） A ．40（8）
B ．45（8）
C ．50（8）
D ．55（8）
9． 已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ） A ．
14 B ．1
2
C ．1
D ．2
10．α是第四象限角，，则sin α=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．1﹣
B ．﹣
C ．
D ．
12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是，，，BH 为AC 边上的高，5BH =，若
2015120aBC bCA cAB ++=，则H 到AB 边的距离为（ ）
A ．2
B ．3 C.1 D ．4
二、填空题
13．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1D 1在半径为的半球底面上，A 、B 、C 、D 四个顶点都
在此半球面上，则正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为 ．
14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的X 的值为2，则输出的结果是 ．
15．若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意的正整数n ，都有a n+T =a n 成立，则称数列{a n }为周期为T 的周
期数列．已知数列{a n }满足：a1＞=m （m ＞a ），a n+1=
，现给出以下三个命题：
①若 m=，则a 5=2；
②若 a 3=3，则m 可以取3个不同的值；
③若 m=，则数列{a n }是周期为5的周期数列．
其中正确命题的序号是 ．
16．若函数f （x ）=x 2﹣2x （x ∈[2，4]），则f （x ）的最小值是 ．
17．计算：×5﹣1
= ．
18．下列命题：
①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数；
②若函数f （x ）在[a ，b]上满足f （a ）f （b ）＜0，函数f （x ）在（a ，b ）上至少有一个零点； ③数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＞0，S 11＜0，S n 最大值为S 5； ④在△ABC 中，A ＞B 的充要条件是cos2A ＜cos2B ；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强． 其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）．
三、解答题
19．数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足*2120()n n n a a a n N ++-+=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n S a a a =++，求n S .
20．已知函数
．
（1）求f （x ）的周期．
（2）当时，求f （x ）的最大值、最小值及对应的x 值．
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为菱形，Q P E 、、分别是棱AB SC AD 、、的中点，且⊥SE 平面ABCD .
（1）求证：//PQ 平面SAD ； （2）求证：平面⊥SAC 平面SEQ .
22．已知函数f （x ）=．
（1）求f （f （﹣2））；
（2）画出函数f （x ）的图象，根据图象写出函数的单调增区间并求出函数f （x ）在区间（﹣4，0）上的值域．
23．已知函数f（x0=．
（1）画出y=f（x）的图象，并指出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）解不等式f（x﹣1）≤﹣．
24．已知函数f（x）=x3+ax+2．
（Ⅰ）求证：曲线=f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为定值；（Ⅱ）若x≥0时，不等式xe x+m[f′（x）﹣a]≥m2x恒成立，求实数m的取值范围．
湖口县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：∵，B=45°
根据正弦定理可知
∴sinA==
∴A=30° 故选D ．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．
2． 【答案】C
【解析】因为10
10
101
9102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2
x 项只能在
10(1)x +展开式中，即为2210
C x ，系数为2
1045.C =故选C ． 3． 【答案】C
【解析】解：如图，过炮台顶部A 作水平面的垂线，垂足为B ，设A 处观测小船C 的俯角为45°，
设A 处观测小船D 的俯角为30°，连接BC 、BD Rt △ABC 中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米
Rt △ABD 中，∠ADB=30°，可得BD=AB=30
米
在△BCD 中，BC=30米，BD=30米，∠CBD=30°，
由余弦定理可得：
CD 2=BC 2+BD 2﹣2BCBDcos30°=900 ∴CD=30米（负值舍去） 故选：C
【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键．
4． 【答案】C
【解析】解：复数z 满足iz=2+4i ，则有z=
=
=4﹣2i ，
故在复平面内，z 对应的点的坐标是（4，﹣2），
故选C ．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．
5． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数()()
2
2f x a x a =-+在区间[]0,1上恒正，则
(0)0(1)0f f >⎧⎨>⎩，即2
020
a a a >⎧⎨-+>⎩，解得02a <<，故选C. 考点：函数的单调性的应用. 6． 【答案】D
【解析】解：把抛物线y=x 2方程化为标准形式为x 2=8y ， ∴焦点坐标为（0，2）． 故选：D ．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．
7． 【答案】A
【解析】5人可以分为1,1,3和1,2,2两种结果，所以每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为
22333
535
3
32
2
150C C C A A A ⋅⋅+⋅=种,故选A ． 8． 【答案】D
【解析】解：∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20
=45（10）．
再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）． 故答案选D ．
9． 【答案】B
【解析】
试题分析：因为(1,2)a =，(1,0)b =，所以()()1,2a b λλ+=+，又因为()//a b c λ+，所以
()1
4160,2
λλ+-==
，故选B. 考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质.
10．【答案】B
【解析】解：∵α是第四象限角，
∴sin α=，
故选B ．
【点评】已知某角的一个三角函数值，求该角的其它三角函数值，应用平方关系、倒数关系、商的关系，这是三角函数计算题中较简单的，容易出错的一点是角的范围不确定时，要讨论．
11．【答案】A
【解析】解：设扇形的半径为r ，则扇形OAB 的面积为
，
连接OC ，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴
影部分的面积为：
﹣
，
∴此点取自阴影部分的概率是．
故选A ．
12．【答案】D
【解析】
考点：1、向量的几何运算及平面向量基本定理；2、向量相等的性质及勾股定理.
【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理、向量相等的性质及勾股定理，属于难题，平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，注意两个向量的差
OA OB OD
+=（D点是AB的中点）,另外，要选好基底-=，这是一个易错点，两个向量的和2
OA OB BA
AB AC，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几向量，如本题就要灵活使用向量,
何意义等.
二、填空题
13．【答案】2．
【解析】解：如图所示，
连接A1C1，B1D1，相交于点O．
则点O为球心，OA=．
设正方体的边长为x，则A1O=x．
在Rt△OAA1中，由勾股定理可得：+x2=，
解得x=．
∴正方体ABCD﹣A
B1C1D1的体积V==2．
1
故答案为：2．
14．【答案】﹣3．
【解析】解：分析如图执行框图，
可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．
当x=2时，f（x）=1﹣2×2=﹣3
故答案为：﹣3
【点评】本题主要考查了选择结构、流程图等基础知识，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．
15．【答案】①②．
【解析】解：对于①由a n+1=，且a1=m=＜1，
所以，＞1，，，∴a5=2 故①正确；
对于②由a3=3，若a3=a2﹣1=3，则a2=4，若a1﹣1=4，则a1=5=m．
若，则．
若a1＞1a1=，若0＜a1≤1则a1=3，不合题意．
所以，a3=2时，m即a1的不同取值由3个．
故②正确；
若a
=m=＞1，则a2=，所a3=＞1，a4=
1
故在a1=时，数列{a
}是周期为3的周期数列，③错；
n
故答案为：①②
【点评】本题主要考查新定义题目，属于创新性题目，但又让学生能有较大的数列的知识应用空间，是较好的题目
16．【答案】0．
【解析】解：f（x））=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，
其图象开口向上，对称抽为：x=1，
所以函数f（x）在[2，4]上单调递增，
所以f（x）的最小值为：f（2）=22﹣2×2=0．
故答案为：0．
【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，一般运用数形结合思想进行处理．
17．【答案】9．
【解析】解：×5﹣1=×=×=（﹣5）×（﹣9）×=9，
∴×5﹣1=9，
故答案为：9．
18．【答案】②③④⑤
【解析】解：①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数，不正确，取x=，，但是
，，因此不是单调递增函数；
②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点，正确；
③数列{a n}为等差数列，设数列{a n}的前n项和为S n，S10＞0，S11＜0，∴=5（a6+a5）＞0，
=11a6＜0，
∴a5+a6＞0，a6＜0，∴a5＞0．因此S n最大值为S5，正确；
④在△ABC中，cos2A﹣cos2B=﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2sin（A+B）sin（B﹣A）＜0⇔A＞B，因此正确；
⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确．
其中正确命题的序号是②③④⑤．
【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
三、解答题
19．【答案】（1）102n a n =-；（2）229(5)940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪
=⎨-+>⎪⎩．
【解析】
试题分析：（1）由2120n n n a a a ++-+=，所以{}n a 是等差数列且18a =，42a =，即可求解数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）令0n a =，得5n =，当5n >时，0n a <；当5n =时，0n a =；当5n <时，0n a >，即可分类讨论求解数列n S ．
当5n ≤时，12||||||n n S a a a =++
2
129n a a a n n =+++=-
∴2
29(5)940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩.1
考点：等差数列的通项公式；数列的求和． 20．【答案】
【解析】解：（1）∵函数．
∴函数f （x ）=2sin （2x+）．
∴f （x ）的周期T==π
即T=π
（2）∵
∴
，
∴﹣1≤sin （2x+）≤2
最大值2，2x =，此时，
最小值﹣1，2x
= 此时
【点评】本题简单的考察了三角函数的性质，单调性，周期性，熟练化为一个角的三角函数形式即可．
21．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，可先证明PQ 与平面内的直线平行，则线面平行，所以取SD 中点F ，连结PF AF ,，可证明AF PQ //，那就满足了线面平行的判定定理了；（2）要证明面面垂直，可先证明线面垂直，根据所给的条件证明⊥AC 平面SEQ ，即平面⊥SAC 平面SEQ . 试题解析：证明：（1）取SD 中点F ，连结PF AF ,. ∵F P 、分别是棱SD SC 、的中点，∴CD FP //，且CD FP 2
1
=. ∵在菱形ABCD 中，Q 是AB 的中点，
∴CD AQ //，且CD AQ 2
1
=
，即AQ FP //且AQ FP =. ∴AQPF 为平行四边形，则AF PQ //.
∵⊄PQ 平面SAD ，⊂AF 平面SAD ，∴//PQ 平面SAD .
考点：1.线线，线面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.
【易错点睛】本题考查了立体几何中的线与面的关系，属于基础题型，重点说说垂直关系，当证明线线垂直时，一般要转化为线面垂直，证明线与面垂直时，即证明线与平面内的两条相交直线垂直，证明面面垂直时，转化为证明线面垂直，所以线与线的证明是基础，这里经常会搞错两个问题，一是，线与平面内的两条相交直线垂直，线与平面垂直，很多同学会记成一条，二是，面面垂直时，平面内的线与交线垂直，才与平面垂直，很多同学会理解为两个平面垂直，平面内的线都与另一个平面垂直，需熟练掌握判定定理以及性质定理. 22．【答案】
【解析】解：（1）函数f（x）=．
f（﹣2）=﹣2+2=0，
f（f（﹣2））=f（0）=0.3分
（2）函数的图象如图：…
单调增区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞）（开区间，闭区间都给分）…
由图可知：
f（﹣4）=﹣2，f（﹣1）=1，
函数f（x）在区间（﹣4，0）上的值域（﹣2，1]．…12分．
23．【答案】
【解析】解：（1）图象如图所示：由图象可知函数的单调递增区间为（﹣∞，0），（1，+∞），
丹迪减区间是（0，1）
（2）由已知可得
或，
解得x≤﹣1或≤x≤，
故不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪
[，]．
【点评】本题考查了分段函数的图象的画法和不等式的解集的求法，属于基础题．
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）=x2+a，
即有f（1）=a+，f′（1）=1+a，
则切线方程为y﹣（a+）=（1+a）（x﹣1），
令x=0，得y=为定值；
（Ⅱ）解：由xe x+m[f′（x）﹣a]≥m2x对x≥0时恒成立，
得xe x+mx2﹣m2x≥0对x≥0时恒成立，
即e x+mx﹣m2≥0对x≥0时恒成立，
则（e x+mx﹣m2）min≥0，
记g（x）=e x+mx﹣m2，
g′（x）=e x+m，由x≥0，e x≥1，
若m≥﹣1，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴，
则有﹣1≤m≤1，
若m＜﹣1，则当x∈（0，ln（﹣m））时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
则当x∈（ln（﹣m），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
∴，∴1﹣ln（﹣m）+m≥0，
令﹣m=t，则t+lnt﹣1≤0（t＞1），
φ（t）=t+lnt﹣1，显然是增函数，
由t＞1，φ（t）＞φ（1）=0，则t＞1即m＜﹣1，不合题意．
综上，实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．
【点评】本题为导数与不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．。