2017-2018年湖北省孝感市八校教学联盟高一(下)期中数学试卷(文科)和答案

2017-2018学年湖北省孝感市八校教学联盟高一（下）期中数学
试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项符合题目要求．请在答题卡上填涂相应选项．
1．（5分）设a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）
A．a﹣c＞b﹣d B．b+d＜a+c C．＞D．ac＞bd 2．（5分）在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（）A．11B．12C．13D．14
3．（5分）等差数列{a n}中，a2=4，a6=16，则a8=（）
A．22B．24C．32D．64
4．（5分）△ABC中，若a=1，c=2，B=30°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1D．
5．（5分）已知{a n}是等比数列，且a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）A．21B．48C．15D．24
6．（5分）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）
A．130B．170C．210D．260
7．（5分）在△ABC中，已知B=45°，c=2，b=4，则角C=（）A．60°B．30°C．30°或150°D．150°
8．（5分）在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A．B．C．D．
9．（5分）若ax2﹣5x+b＞0解集为{x|﹣3＜x＜2}，则bx2﹣5x+a＞0解集为（）A．{x|﹣}B．{x|﹣3＜x＜2}
C．{x|x}D．{x|x＜﹣3或x＞2}
10．（5分）若△ABC的三边分别为a，b，c，满足a，b，c依次成等差数列且b2=ac，则△ABC一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
11．（5分）在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°则BC边上的高等于（）A．B．C．D．
12．（5分）在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（）
A．﹣1＜a＜1B．0＜a＜2C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应
题号的位置上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．
13．（5分）等差数列{a n}中a6=3，则a3+a9=．
14．（5分）在△ABC中三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2=b2﹣bc+c2，则A=（用弧度制表示）．
15．（5分）如图（1）、（2）、（3）、（4）四个图案，每个图案都是由小正方形拼成，现按同样的规律（小正方形的摆放规律相同）进行拼图，设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（1）f（5）=；（2）f（n）﹣f（n﹣1）=．
16．（5分）下列说法：
①如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于一个常数，那么这
个数列一定为等差数列．
=qa n（q为常数，n∈N*），则数列{a n}一定为等比数列②在数列{a n}中，若a n
+1
③在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＞b2+c2，则△ABC一定
是钝角三角形
④若a＞b，则a n＞b n．
其中说法正确的是（填序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤．
17．（10分）求下列不等式的解集：
（1）3x2﹣4x+1＜0；
（2）﹣x2+4x+5＞0．
18．（12分）已知等差数列{a n}中，a3+a4=7，S5=15．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和S n．
19．（12分）已知a，b，c分别是锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，a=csinA．（1）求角C的大小；
（2）若a=2，b=3，求边c的长．
20．（12分）已知函数f（x）=3x2+（4﹣m）x﹣6m，g（x）=2x2﹣x﹣m
（1）若m=1，求不等式f（x）≤0的解集；
（2）若m＞0，求关于x的不等式f（x）＞g（x）的解集．
21．（12分）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且2acosC=bcosC+ccosB．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，△ABC的周长为6，求该三角形的面积．
22．（12分）已知数列{a n}前n项和S n=2n﹣1（n∈N*）．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设数列{b n}满足b n=n•a n，求{b n}的前n项和T n．
2017-2018学年湖北省孝感市八校教学联盟高一（下）期
中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项符合题目要求．请在答题卡上填涂相应选项．
1．（5分）设a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）
A．a﹣c＞b﹣d B．b+d＜a+c C．＞D．ac＞bd
【解答】解：∵a＞b，c＞d，
∴a+c＞b+d．
故选：B．
2．（5分）在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（）A．11B．12C．13D．14
【解答】解：∵数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55 设数列为{a n}
∴a n=a n﹣1+a n﹣2（n＞3）
∴x=a7=a5+a6=5+8=13
故选：C．
3．（5分）等差数列{a n}中，a2=4，a6=16，则a8=（）
A．22B．24C．32D．64
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=4，a6=16，
∴a1+d=4，a1+5d=16，
联立解得：a1=1，d=3，
则a8=1+7×3=22．
故选：A．
4．（5分）△ABC中，若a=1，c=2，B=30°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1D．
【解答】解：△ABC中，∵a=1，c=2，B=30°，
=acsinB=×1×2×=．
∴S
△ABC
故选：A．
5．（5分）已知{a n}是等比数列，且a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）A．21B．48C．15D．24
【解答】解：根据题意，设等比数列的公比为q，
若a1+a2=3，
则a3+a4=a1q2+a2q2=（a1+a2）q2=12，解可得q2=4，
则a5+a6=a1q4+a2q4=（a1+a2）q4=3×16=48，
故选：B．
6．（5分）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）
A．130B．170C．210D．260
【解答】解：解法1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
由题意得方程组，a1
解得d=，a1=，
∴s3m=3ma1+d=3m+=210．
故选C．
解法2：∵设{a n}为等差数列，
∴s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列，
即30，70，s3m﹣100成等差数列，
∴30+s3m﹣100=70×2，
解得s3m=210．
故选C．a1
7．（5分）在△ABC中，已知B=45°，c=2，b=4，则角C=（）A．60°B．30°C．30°或150°D．150°
【解答】解：∵B=45°，c=2，b=4，
∴由正弦定理，可得：sinC===，
∵c＜b，可得C＜45°，
∴C=30°．
故选：B．
8．（5分）在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A．B．C．D．
【解答】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4
可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）
由余弦定理可得，=
故选：D．
9．（5分）若ax2﹣5x+b＞0解集为{x|﹣3＜x＜2}，则bx2﹣5x+a＞0解集为（）A．{x|﹣}B．{x|﹣3＜x＜2}
C．{x|x}D．{x|x＜﹣3或x＞2}
【解答】解：∵ax2﹣5x+b＞0解集为{x|﹣3＜x＜2}，
∴﹣3，2是方程ax2﹣5x+b=0的两根，
∴由韦达定理得：﹣3+2=﹣1，﹣3×2==﹣6，
∴a=﹣5，b=30；
∴bx2﹣5x+a＞0⇔30x2﹣5x﹣5＞0⇔6x2﹣x﹣1＞0，
∴x＞或x＜﹣．
∴bx2﹣5x+a＞0解集为{x|x＞或x＜﹣}．
故选：C．
10．（5分）若△ABC的三边分别为a，b，c，满足a，b，c依次成等差数列且b2=ac，则△ABC一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【解答】解：△ABC的三边满足a，b，c依次成等差数列，则2b=a+c，
∴4b2=a2+c2+2ac；
又b2=ac，
∴4ac=a2+c2+2ac，
∴（a﹣c）2=0，
则a=c，
∴b=a=c，
∴△ABC是等边三角形．
故选：D．
11．（5分）在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°则BC边上的高等于（）A．B．C．D．
【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB
把已知AC=，BC=2 B=60°代入可得，7=AB2+4﹣4AB×
整理可得，AB2﹣2AB﹣3=0
∴AB=3
作AD⊥BC垂足为D
Rt△ABD中，AD=AB×sin60°=，
即BC边上的高为
故选：B．
12．（5分）在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（）
A．﹣1＜a＜1B．0＜a＜2C．D．
【解答】解：∵（x﹣a）⊙（x+a）＜1
∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，
即x2﹣x﹣a2+a+1＞0
∵任意实数x成立，
故△=1﹣4（﹣a2+a+1）＜0
∴，
故选：C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应
题号的位置上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．
13．（5分）等差数列{a n}中a6=3，则a3+a9=6．
【解答】解：由等差数列的性质可得：a3+a9=2a6=6．
故答案为：6．
14．（5分）在△ABC中三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2=b2﹣bc+c2，则A=30°（用弧度制表示）．
【解答】解：在△ABC中三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2=b2﹣bc+c2，∴cosA==，
可得cosA=，
所以A=30°．
故答案为：30°．
15．（5分）如图（1）、（2）、（3）、（4）四个图案，每个图案都是由小正方形拼成，现按同样的规律（小正方形的摆放规律相同）进行拼图，设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（1）f（5）=41；；（2）f（n）﹣f（n﹣1）=4n﹣4．
【解答】解：由条件知f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，
则f（2）﹣f（1）=5﹣1=4，
f（3）﹣f（2）=13﹣5=8，
f（4）﹣f（3）=25﹣13=12，
则由归纳推理得f（5）﹣f（4）=f（5）﹣25=16，
即f（5）=25+16=41，
……
f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）=4n﹣4，
故答案为：41，4n﹣4
16．（5分）下列说法：
①如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于一个常数，那么这
个数列一定为等差数列．
=qa n（q为常数，n∈N*），则数列{a n}一定为等比数列
②在数列{a n}中，若a n
+1
③在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＞b2+c2，则△ABC一定
是钝角三角形
④若a＞b，则a n＞b n．
其中说法正确的是③（填序号）．
【解答】解：对于①，根据等差数列的定义知，一个数列从第二项起，
每一项与它的前一项的差都等于“同”一个常数，这个数列为等差数列；①错误；对于②，由等比数列的定义知，=q，其中q≠0，这样的数列是等比数列，=qa n（q为常数，n∈N*），则数列{a n}一定为等比数列，②错误；
∴{a n}中，若a n
+1
对于③，△ABC中，若a2＞b2+c2，则cosA=＜0，
又A∈（0，π），∴A是钝角，△ABC是钝角三角形，③正确；
对于④，若a＞b，则a n＞b n，不一定成立，如a=0，b=﹣1时，a2＜b2，∴④错误；
综上，正确的命题是③．
故答案为：③．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤．
17．（10分）求下列不等式的解集：
（1）3x2﹣4x+1＜0；
（2）﹣x2+4x+5＞0．
【解答】解：（1）原不等式等价于（3x﹣1）（x﹣1）＜0，………………………（2分）
（求出对应一元二次方程的根也给分）
解得＜x＜1，………………………（4分）
所以原不等式的解集为{x|＜x＜1}；………………………（5分）
（2）原不等式等价于x2﹣4x﹣5＜0，……………………（6分）
即（x﹣5）（x+1）＜0，…………………（7分）
解得﹣1＜x＜5，…………………（9分）
所以原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜5}．…………………（10分）
18．（12分）已知等差数列{a n}中，a3+a4=7，S5=15．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和S n．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
由于a3+a4=7，S5=15，
故a1+2d+a1+3d=7，5a1+d=15，
求得a1=d=1，
所以数列{a n}的通项公式a n=a1+（n﹣1）d=1+n﹣1=n；
（2）由（1）有==﹣，
所以S n=++…+=1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣=．
19．（12分）已知a，b，c分别是锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，a=csinA．（1）求角C的大小；
（2）若a=2，b=3，求边c的长．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）由正弦定理得：sinA=sinCsinA，……………………（2分）
由于sinA≠0，
故sinC=1，
所以sinC=，……………………（4分）
由于△ABC是锐角三角形，
故C=．…………………（6分）
（2）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，…………………（8分）
故c2=8+9﹣2×=5，
所以c=．…………（12分）
20．（12分）已知函数f（x）=3x2+（4﹣m）x﹣6m，g（x）=2x2﹣x﹣m
（1）若m=1，求不等式f（x）≤0的解集；
（2）若m＞0，求关于x的不等式f（x）＞g（x）的解集．
【解答】解：（1）m=1时，f（x）=3x2+3x﹣6，……………………………（2分）
∴不等式f（x）≤0即3x2+3x﹣6≤0，
解得﹣2≤x≤1，
∴不等式f（x）≤0的解集为{x|﹣2≤x≤1}；…………………………（6分）
（2）由f（x）＞g（x），得x2+（5﹣m）x﹣5m＞0，……………………（8分）
即（x﹣m）（x+5）＞0，
由于m＞0，所以x＞m或x＜﹣5；…………（11分）
∴不等式的解集为{x|x＜﹣5或x＞m}．…………（12分）
21．（12分）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且2acosC=bcosC+ccosB．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，△ABC的周长为6，求该三角形的面积．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）由正弦定理得2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，…………（2分）
即2sinAcosC=sin（B+C）=sinA，
由于sinA≠0，
故cosC=，…………（4分）
又0＜C＜π，
所以C=．…………（6分）（若用余弦定理也给分）
（2）由于c=2，三角形的周长为6，故a+b=4，…………………………（7分）
由余弦定理有c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，即4=16﹣3ab，
故ab=4，…………………………（10分）
所以三角形的面积S=absinC==．…………………………（12分）22．（12分）已知数列{a n}前n项和S n=2n﹣1（n∈N*）．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设数列{b n}满足b n=n•a n，求{b n}的前n项和T n．
【解答】解：（1）由于数列{a n}的前n项和S n=2n﹣1，
故n=1时，S1=a1=2﹣1=1，
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，
经检验n=1时，上式也成立，
故数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；
（2）由（1）知b n=na n=n•2n﹣1，
故前n项和T n=b1+b2+…+b n=1•20+2•21+3•22+…+n•2n﹣1，
左右两边同乘以2，得2T n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，
两式相减得﹣T n=1+2+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n，
=﹣n•2n，
所以T n=1+（n﹣1）•2n．。