数学九年级上册同步分层练习23.2 第2课时 仰角、俯角问题

第2课时仰角、俯角问题
知识点1仰角
1．如图23－2－12，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为()
图23－2－12
A.30
tanα
米B．30sinα米C．30tanα米D．30cosα米
2．如图23－2－13，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1 m，则旗杆高BC为________m(结果保留根号)．
图23－2－13
3．如图23－2－14，线段AB，DC分别表示甲，乙两座建筑物的高，AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间的距离BC＝30米，若甲建筑物的高AB＝28米，在点A测得点D的仰角α＝45°，则乙建筑物的高DC等于________米．
图23－2－14
4．2017·吉林如图23－2－15，一枚运载火箭从距雷达站C处5 km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求A，B两点间的距离．(结果精确到0.1 km.参考数据：sin34°≈0.56，
cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)
图23－2－15
知识点2俯角
5．2018·长春如图23－2－16，某地修建高速公路，要从A地向B地修一座隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为()
图23－2－16
A．800sinα米B．800tanα米
C.800
sinα米 D.
800
tanα
米
6．如图23－2－17，为了测量楼AC的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°.已知地面上的B点与楼的水平距离BC为30 m，那么楼的高度AC为________ m．(结果保留根号)
图23－2－17
7．教材练习第1题变式如图23－2－18，飞机飞行的高度是1000米，从飞机上测得正前方一座楼楼顶的俯角为18°，已知楼的高度为90米，求此时飞机与楼的水平距离BC的长(精确到1米)．
图23－2－18
8．如图23－2－19，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°.若热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为()
图23－2－19
A．160 3 m
B．120 3 m
C．300 m
D．160 2 m
9．2018·黄石如图23－2－20，无人机在空中C处测得地面A，B两点的俯角分别为60°，45°，如果无人机距地面高度CD为100 3米，点A，D，B在同一水平直线上，则A，B 两点间的距离是____________米．(结果保留根号)
图23－2－20
10．如图23－2－21，直升机在某大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO
＝450米，且A，B，O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α＝30°，β＝45°，求大桥的长AB.(结果保留根号)
图23－2－21
11．2018·安庆一模为了大力弘扬和践行社会主义核心价值观，某乡镇在一条公路旁的小山坡上树立一块大型标语牌AB，如图23－2－22所示，标语牌底部B点到山脚C点的距离BC为20米，山坡的坡角为30°.某同学在山脚的平地F处测量该标语牌的高，测得点C 到测角仪EF的水平距离CF＝1.7米，同时测得标语牌顶部A点的仰角为45°，底部B点的仰角为20°，求标语牌AB的高度．(参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，3≈1.73)
图23－2－22
12．为减少交通事故的发生，某市在很多危险路段设置了电子监控仪．如图23－2－23，在坡角为30°的公路BC上方的A处有一电子监控仪，一辆轿车行驶到C处，在同一平面内，由A处测得C处的轿车的俯角为15°，AB垂直于水平面且AB＝10 m，轿车由C行驶到B处用了1 s．如果该路段限速，车速不允许超过40 km/h(约11.1 m/s)，请你求出该轿车的速度，并判断该司机是否超速行驶．(结果精确到0.1 m/s.参考数据：2≈1.41，3≈1.73)
图23－2－23
教师详解详析
1．C [解析] 在Rt △ABO 中，tanα＝AO
BO ，∴AO ＝BO·tanα＝30tanα米．故选C.
2．(10 3＋1) [解析] 如图，过点A 作AE ∥DC ，交BC 于点E ，则∠AEB ＝90°，AE ＝DC ＝10 m ，CE ＝AD ＝1 m.
∵在Rt △BAE 中，∠BAE ＝60°， ∴BE ＝AE·tan60°＝10 3 m ， ∴BC ＝BE ＋CE ＝(10 3＋1)m ， ∴旗杆高BC 为(10 3＋1)m. 故答案为(10 3＋1)．
3．58 [解析] 过点A 作AF ⊥CD 于点F.在Rt △ADF 中，因为AF ＝BC ＝30，α＝45°，所以DF ＝AF ＝30，所以CD ＝DF ＋CF ＝DF ＋AB ＝30＋28＝58(米)．
4．解：由题意，得∠AOC ＝90°，OC ＝5 km. 在Rt △AOC 中，∵tan34°＝
OA
OC
， ∴OA ＝OC·tan34°≈5×0.67＝3.35(km)． 在Rt △BOC 中，∵∠BCO ＝45°， ∴OB ＝OC ＝5 km ，
∴AB ＝5－3.35＝1.65≈1.7(km)． 答：A ，B 两点间的距离约为1.7 km.
5．D [解析] 由题意可知AC ＝800米，∠ABC ＝α，故AB ＝800tanα米．
6．10 3 [解析] ∵俯角为30°， ∴∠ABC ＝30°，
∴AC ＝BC·tan30°＝10 3 m.
7．解：如图，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，则∠ADE ＝18°，AE ＝AB －BE ＝AB －CD ＝1000－90＝910(米)．
在Rt △ADE 中，∵tan ∠ADE ＝AE
DE ，
即tan18°＝910
DE ，∴DE≈2801(米)．
∴BC ＝DE≈2801米．
答：此时飞机与楼的水平距离BC 的长约为2801米．
8．A [解析] 如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠BAD ＝30°，∠CAD ＝60°，AD ＝120 m.
在Rt △ABD 中，BD ＝AD·tan30°＝120×33＝40 3(m)，
在Rt △ACD 中，CD ＝AD·tan60°＝120×3＝120 3(m)， ∴BC ＝BD ＋CD ＝160 3 m.
9．100(1＋3) [解析] 由题意可知∠A ＝60°，∠B ＝45°，∴AD ＝CD
tanA
＝100米，BD ＝CD ＝100 3米，∴AB ＝AD ＋BD ＝100＋100 3＝100(1＋3)米．
10．解：∵大桥两端的俯角分别为α＝30°，β＝45°， ∴∠PAO ＝30°，∠PBO ＝45°， ∴tan30°＝PO OA ，tan45°＝PO OB
，
∴OA ＝450tan30°＝450 3，OB ＝450
tan45°＝450，
∴AB ＝OA －OB ＝450(3－1)米． 答：大桥的长AB 为450(3－1)米．
11．解：在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，BC ＝20米，∠BCD ＝30°， ∴DC ＝BC·cos30°＝20×3
2≈17.3，
∴DF ＝DC ＋CF≈17.3＋1.7＝19， ∴GE ＝DF≈19.
在Rt△BGE中，∠BEG＝20°，
∴BG＝GE·tan20°≈19×0.36＝6.84，
在Rt△AGE中，∠AEG＝45°，
∴AG＝GE≈19，
∴AB＝AG－BG≈19－6.84＝12.16.
答：标语牌AB的高度约为12.16米．12．解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.
∵坡角为30°，且AB垂直于水平面，
∴∠ABC＝60°.
在Rt△ABD中，∵AB＝10 m，∠ABD＝60°，∴BD＝AB·cos∠ABD＝5 m，
AD＝AB·sin∠ABD＝5 3 m.
又∵∠MAC＝15°，
∴∠CAD＝∠BAM－∠BAD－∠MAC＝45°，∴CD＝AD＝5 3 m，∴BC＝(5＋5 3)m.
∵轿车的行驶时间为1 s，
∴轿车的速度是(5＋5 3)m/s≈13.7 m/s.
∵40 km/h≈11.1 m/s＜13.7 m/s，
∴该司机超速行驶．
答：该轿车的速度约为13.7 m/s，超速行驶．。