福建省福州市屏东、延安、十六中联考2024-2025学年上学期九年级期中考数学试卷(含答案)

2024-2025学年第一学期期中考试九年级数学试题
（满分150分，完卷时间120分钟）
班级______姓名______成绩______
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.2.用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ）
A. B. C. D.3.如图，在中，，则等于（ ）
A. B. C. D.4.抛物线与轴的交点是（ ）
A. B. C. D.5.正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（ ）
A.4
B.6
C.8
D.126.如图，将绕点逆时针旋转，得到.若点在线段的延长线上，则的度数
为（ ）A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似
中心，把这个三角形缩小为原来的
，可以得到，则点的坐标为（ ）A. B.或C.或 D.2450x x --=()221x +=()221x -=()229x +=()2
29x -=O e 60ABC ∠=︒AOC ∠30︒
60︒120︒150︒223y x =+y ()0,5()0,3()0,2()
2,145︒ABC △A 100︒ADE △D BC B ∠30︒40︒50︒60︒
ABC △()4,2A ()2,0B ()0,0C O 12A B C '''△A '()
2,1()1,2()1,2--()2,1()2,1--()
1,2--
8.如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，
，则为（ ）
A. B. C. D.9.已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误是（ ）01230343A.开口向下 B.顶点坐标为C.当时，随的增大而减小
D.10.如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点
，则的最小值是（ ）.A. B.1
D.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11.在直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则______.
12.已知关于的一元二次方程有一个根为，则______.
13.如图，在中，分别交、于点、；若，，，则的长为______.14.如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为______.
ABCD □E CD AE BD AE BD F :4:25DEF ABF S S =△△:DF BF 2:5
2:33:53:22y ax bx c =++y x x
1-y m
()
1,41x <y x 0m =ABCD 8AB =6AD =C C e BD P C e AP BD T AT PT
3
51
2
()1,A a (),2B b -a b +=x 2
0x x m -+=2-m =ABC △MN BC ∥AB AC M N 1AM =2MB =9BC =MN ABCD O e 100A ∠=︒DCE ∠
15.若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的弧长是______.（结果保留）
16.关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②③；④，其中正确结论的结论是______.
三、解答题（本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题8分）用适当的方法解下列方程：
（1）（2）18.（本小题8分）已知是关于的一元二次方程，求证：方程总有两个不相等的
实数根.
19.（本小题8分）为了测量水平地面上一棵直立大树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端相距8米的点处，然后沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得米，观察者目高米，求树的高度.
20.（本小题8分）如图1、图2，，均是等腰直角三角形，，
（1）在图1中，求证：；
（2）若绕点顺时针旋转一定角度后如图2所示，请问与还相等吗？为什么？
图1 图2
21.（本小题8分）如图，是的直径，过点作的切线，点是射线上的一点，连接，过点作，交于点，连接
.
8cm 10cm cm πx 2
220x mx n ++=y 2220y ny m ++=22m n <()()22112m n -+-≥1221m n -≤-≤2240
x x +-=()3284x x x -=-()2310x a x a ++++=x B E BE D A 1.6DE = 1.5CD =AB AOB △COD △90AOB COD ︒∠=∠=AC BD =COD △O AC BD AB O e A O e AC P AC OP B BD OP ∥O e D PD
（1）请补全图形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）证明：是的切线.
22.（本小题10分）如图，四边形内接于，为的直径，平分，，点在的延长线上，连接.
（1）求直径的长；
（2）若
.
23.（本小题10分）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为8米，宽度为16米.现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）.
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
24.（本小题12分）
问题背景：如图1，已知，求证：；
尝试运用：如图2，在中，点是边上一动点，，且
，，，与相交于点，在点运动的过程中，连接，当时，求的长度；拓展创新：如图3，是内一点，，，，，
求的长.
PD O e ABCD O e BD O e AC BAD ∠CD =E BC DE BD BE =P OM O OM x x ABC ADE ∽△△ABD ACE ∽△△ABC △D BC 90BAC DAE ︒∠=∠=ABC ADE ∠=∠4AB =3AC =AC DE F D CE 12
CE CD =DE D ABC △BAD CBD ∠=∠12
CD BD =90BDC ∠=︒3AB =AC =AD
图1 图2
图325.（本小题14分）已知抛物线过点和，与轴交于另一点，顶点
为.
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标；
（2）如图1，为线段上方的抛物线上一点，，垂足为，轴，垂足为，交于点.当时，求的面积；
（3）如图2，与的延长线交于点，在轴上方的抛物线上是否存在点，使
若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
图1 图2
2024-2025学年第一学期期中考试九年级数学
参考答案及评分标准
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）题号
12345678910答案A D C B C B C A C
D
二、填空题（本大题共24分，每小题4分）
11.1
12.13.314.15.16.①③④
三、解答题（共8小题，满分86分）
17.（1）解：.，，，
22y ax ax c =-+()1,0A -()0,3C x B D D E BC EF BC ⊥F EM x ⊥M BC G BG CF =EFG △AC BD H x P OPB AHB ∠=∠P 6-100︒12π2
240x x --=1a = 2b =-4c =-
.，即，
（2）解：或，.18.证明：，故方程总有两个不相等的实数根；
19.解：根据题意，易得，则，则，即，解得：，答：树的高度为.
20.解：（1）证明：，均是等腰直角三角形，，，，
，
；
（2）答：相等.
在图2中，，
，，
在和中，
，
，
.
21.解：（1）答：补全图形如图所示：
()()2
242414200b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=>1x ∴===11x =+21x =()()
3242x x x -=--()()32420
x x x -+-=()()3420
x x +-=340x +=20
x -=12x ∴=243
x =-()()()22
223411694425140a a a a a a a a ∆=+-⨯⨯+=++--=++=++>90CDE ABE ∠=∠=︒CED AEB
∠=∠ABE CDE ∽△△BE AB DE CD =81.6 1.5
AB =7.5AB =AB 7.5m AOB △COD △90AOB COD ︒∠=∠=OA OB ∴=OC OD =OA OC OB OD ∴-=-AC BD ∴=90AOB COD ︒∠=∠=DOB COD COB ∠=∠-∠ COA AOB COB ∠=∠-∠DOB COA
∴∠=∠DOB △COA △OD OC DOB COA OB OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()SAS DOB COA ∴≌△△BD AC ∴=
（2）解：证明：连接，
切于，
，即，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即，
是的半径，
是的切线.
22.（1）解：如图所示，连接，
为的直径，平分
，
OD PA O e A PA AB ∴⊥90PAO ∠=︒OP BD ∥DBO AOP ∴∠=∠BDO DOP
∠=∠OD OB = BDO DBO ∴∠=∠DOP AOP ∴∠=∠AOP △DOP △,
AO DO AOP DOP PO PO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()SAS AOP DOP ∴≌△△PDO PAO ∴∠=∠90PAO ︒∠= 90PDO ︒∴∠=OD PD ⊥OD O e PD ∴O e OC BD O e AC BAD ∠
，，..
，，，即.
.
.
（2）解：如图所示，设其中小阴影面积为，大阴影面积为，弦与劣弧所形成的面积为，由（1）已知，，，，
.，弦弦，劣弧劣弧.
.
为的直径，，
，
，
.
..
23.（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度
为16米，现在点为原点，点，顶点，
设抛物线的解析式为，
把点，点代入得：，
90
BAD ︒∴∠
=11904522
BAC DAC BAD ∠=∠=
∠=⨯︒=︒OB OD
=90COD ︒
∴∠=CD = OC OD =222OD CD ∴=228OD =2OD ∴=224BD OD OB ∴=+=+=1S 3S CD CD 2S 90COD ∠=︒45DAC ∠=︒OC OD =4BD =()11180904522
BDC COD ︒︒︒∴∠=
-∠=⨯=DAC BDC ∠=∠ ∴BC =CD BC =CD 12S S ∴=BD O e CD =90BCD ECD ∴∠=∠=︒BC CD ==BE = CE BE BC ∴=-=-=11622
ECD S CE CD ∴=⋅=⨯=△13236ECD S S S S S S ∴=+=+==阴影部分△OM O ∴()16,0M ()8,8P 2y ax bx =+()16,0M ()8,8P 6488256160
a b a b +=⎧⎨+=⎩
解得抛物线的解析式为，，自变量的取值范围为：.
（2）解：当时，，故能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆.
24.证明：问题背景：，
，，，
，，.
尝试应用：
如图（2），连接，
，，，
，
，，
，
，，，
，
，
，，182
a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴2128
y x x =-+16OM = ()
16,0M ∴x 016x ≤≤98 2.512x =--=2
1992072582232
y ⎛⎫=-⨯+⨯=> ⎪⎝⎭ABC ADE ∽△△AB AC AD AE
∴=BAC DAE ∠=∠BAD DAC DAC CAE ∴∠+∠=∠+∠BAD CAE ∴∠=∠AB AD AC AE
=ABD ACE ∴∽△△CE 4AB = 3AC =90BAC ∠=︒5BC ∴===90BAC DAE ∠=∠=︒ ABC ADE ∠=∠ABC ADE ∴∽△△AB AC AD AE
∴=43
AB AD AC AE ∴==90BAC DAE ︒∠=∠= 90BAD CAE DAC ∴∠=∠=︒-∠BAD CAE ∴∽△△B ACE ∴∠=∠43
AB BD AC CE ==
设，，
，
，
，
，
，，
，，
拓展创新：
过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，图3
，
，
，
又，
，，又，
，
即，
，
，，，
，∴4BD x =3CE x =54CD
x ∴=-90B ACB ︒∠+∠= 90ACE ACB ︒∴∠+∠=90DCE ︒∴∠=12
EC DC = 31542
x x ∴=-12
x ∴=32
EC ∴=3CD =DE ∴===A AB D AD M BM 90BAM ADM BDC ︒∴∠=∠=∠=BAD DBC ∠=∠ DAM BCD ∴∠=∠90ADM BDC ︒∠=∠= BDC MDA ∴∽△△BD DC MD DA
∴=BDC ADM ∠=∠BDC CDM ADM CDM ∴∠+∠=∠+∠BDM CDA ∠=∠BDM CDA ∴∽△△BM DM BD AC AD DC
∴==12
CD BD = 2BD CD ∴=2BM AC ∴==2DM AD =
，
，
，
（舍去）.25.解：（1）把点，代入中，
，解得，，
顶点；
（2）方法一：如图1，抛物线，
令，，或，.
设的解析式为，
将点，代入，得，解得，
.
.
设直线的解析式为，设点的坐标为，将点坐标代入中，得，，联立得.AM ∴===222AD DM AM += 22423AD AD ∴+=AD ∴=()1,0A -()0,3C 22y ax ax c =-+203a a c c ++=⎧⎨=⎩13a c =-⎧⎨=⎩
223y x x ∴=-++∴()1,4D 2
23y x x =-++0y =1x ∴=-3x =()3,0B ∴BC ()0y kx b k =+≠()0,3C ()3,0B 330b k b =⎧⎨+=⎩
13
k b =-⎧⎨=⎩3y x ∴=-+EF CB ⊥ EF y x b =+E ()
2,23m m m -++E y x b =+23b m m =-++2
3y x m m ∴=-++233y x y x m m =-+⎧⎨=-++⎩
.把代入，得，
.
.
，即.解得或.点是上方抛物线上的点，
（舍去）.
点，，，，，
；方法二：
图1
如图所示，过点作、分别垂直，轴，分别交于，点设，由可知，则，则代入二次函数解析式化简的解得，（舍去）
则2226
2m m x m m y ⎧-=⎪⎪∴⎨-++⎪=⎪⎩
226,22m m m m F ⎛⎫--++∴ ⎪⎝⎭
x m =3y x =-+3y m =-+(),3G m m ∴-+BG CF = 22BG CF ∴=()()
22
22223322m m m m m m ⎛⎫⎛⎫---+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2m =3m =- E BC 3,m ∴=-∴()2,3E ()1,2F ()2,1
G EF =
=FG =
=112
EFG S ∴==△F FR FH y x R H RF m =CF BG =CRF GMB ≌△△RF MB m ==32HM m ∴=-()
232EG m =-()23263EM m m m ∴=-+=-()3,63E m m --2760m m -+=11m =26m =1121122
EFG S EG FK ∴=⨯⨯=⨯⨯=△
（3）如图2，过点作于，
点，，
.
点，点，
，联立得，.设，把代入，得，，联立得，，，.
.
设点.
过点作轴于点，在轴上作点使得，且点的坐标为.
若在和中，，，.
A AN H
B ⊥N ()1,4D ()3,0B 26BD y x ∴=-+ ()1,0A -()0,3
C 33AC y x ∴=+326y x y x =+⎧⎨=-+⎩
3524
5x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
324,55H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
12AN y x b =+()1,0-12
b =1122y x ∴=+112226
y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩1158
5x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
118,55N ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
2222211816815555AN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22
281655HN ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AN HN ∴=45H ∴∠=︒()2,23P n n n -++P PR x ⊥R x S RS PR =45RSP ︒∴∠=S ()233,0n n -++45OPB AHB ︒
∠=∠=OPS △OPB △POS POB ∠=∠OSP OPB ∠=∠OPS OBP ∴∽△△
..
.或或（舍去）.，，.
OP OS OB OP
∴=2OP OB OS ∴=⋅()()()222213333n n n n n ∴++-=⋅-++0n ∴
=n =3n =()10,3P
∴2P
3P。