【数学】新疆阿克苏市农一师中学2018届高三(上)第二次月考试卷(理)(解析版)

新疆阿克苏市农一师中学2018届高三（上）
第二次月考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={x|x=+，k∈Z}，B={x|x=+，k∈Z}，则集合A与B的关系是（）
A．A⊊B B．B⊊A
C．A=B D．A与B关系不确定
2．（5分）设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（2x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件
3．（5分）若tanθ+=4，则sin2θ=（）
A．B．C．D．
4．（5分）已知P、Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为．则cos∠POQ=（）
A．B．C．﹣D．﹣
5．（5分）由函数f（x）=sin2x的图象得到g（x）=cos（2x﹣）的图象，需要将f（x）的图象（）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
6．（5分）函数f（x）=sin（x）﹣log2x的零点个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（5分）若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=e x，则有（）
A．f（2）＜f（3）＜g（0）B．g（0）＜f（3）＜f（2）
C．f（2）＜g（0）＜f（3）D．g（0）＜f（2）＜f（3）
8．（5分）直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=ln x的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（）
A．1 B．C．D．
9．（5分）若函数f（x）=，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围
是（）
A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
10．（5分）函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，将y= f（x）的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，则g（x）的单凋递增区间为（）
A．[2kπ﹣，2kπ] B．[2k，2kπ]
C．[kπ，kπ] D．[kπ，kπ]，
11．（5分）设函数，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（）
A．α＞βB．α＜βC．α+β＞0 D．α2＞β2
12．（5分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x，若方程ax+a﹣f（x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）
A．（，1）B．[0，2] C．（1，2）D．[1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）f（x）=lg（sin x﹣cos x）的定义域是．
14．（5分）已知，，则=．15．（5分）由曲线y2=2x和直线y=x﹣4所围成的图形的面积为．
16．（5分）若函数f（x）=（sin x+cos x）2﹣2cos2x﹣m在[0，]上有零点，则实数m的取值范围是．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分.
17．（10分）设p：关于x的不等式a x＞1的解集为{x|x＜0}，q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若不等式f（x）﹣m＜2在上恒成立，求实数m的取值范围．
19．（12分）已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）（m≠0），g（x）=2x﹣2．
（1）若函数y=|g（x）|与y=f（x）有相同的单调区间，求m值；
（2）∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，求m的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）=4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．
21．（12分）已知函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是5x ﹣4y+1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）设g（x）=2ln（x+1）﹣mf（x），若当x∈[0，+∞）时，恒有g（x）≤0，求m的取值范围．
22．（12分）设函数f（x）=a cos2x+（a﹣1）（cos x+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（1）求f′（x）；
（2）求A；
（3）证明：|f′（x）|≤2A．
【参考答案】
一、选择题
1．B
【解析】对于B，x=+=（2k+1），因为k是整数，所以集合A表示的数是的奇数倍；对于A，x=+=（k+2），因为k+2是整数，所以集合B表示的数是的整数倍．
因此，集合B的元素必定是集合A的元素，集合A的元素不一定是集合B的元素，即B⊊A．故选B．
2．A
【解析】f（x）=cos（2x+φ）（x∈R）为偶函数，由f（﹣x）=f（x）可得：cosφ=±1，
解得φ=kπ，k∈Z．
∴“φ=0”是“f（x）=cos（2x+φ）（x∈R）为偶函数”的充分不必要条件．
故选：A．
3．D
【解析】sin2θ=2sinθcosθ=====
故选D．
4．D
【解析】由题意可得，sin∠xOP=，∴cos∠xOP=；
再根据cos∠xOQ=，可得sin∠xOQ=﹣．
∴cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ）=cos∠xOP•cos∠xOQ﹣sin∠xOP•sin∠xOQ=﹣=﹣，
故选：D．
5．B
【解析】∵y=cos（2x﹣）=sin（2x+）=sin2（x+），
只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数y=cos（2x﹣）的图象．
故选：B．
6．C
【解析】函数f（x）=sin（x）﹣log2x的零点个数，
即函数y=sin（）的图象
与函数y=log2x的图象交点的个数．
如图所示：
由于函数y=sin（）的图象与
函数y=log2x的图象的交点的个数为3，
故选：C．
7．D
【解析】根据题意，函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，则有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
又由f（x）﹣g（x）=e x，①
则f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣f（x）﹣g（x）=e﹣x，即f（x）+g（x）=﹣e﹣x，②联立①②解可得：f（x）=，g（x）=﹣，
g（0）=﹣1，f（2）=，f（3）=，
分析可得：g（0）＜f（2）＜f（3）；
故选：D．
8．B
【解析】设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣ln x+1，求导数得y′=2x﹣=
当0＜x＜时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，
当x＞时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数
所以当x=时，所设函数的最小值为+ln2，
所求t的值为．
故选B．
9．C
【解析】由题意
．故选C．
10．D
【解析】由图象知A=1，T=﹣=，T=π⇒ω=2，
由sin（2×+φ）=1，|φ|＜得+φ=，
⇒φ=，
⇒f（x）=sin（2x+），
则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为g（x）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣），由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可解得g（x）的单凋递增区间为：[kπ，k]，k∈Z．故选：D．
11．D
【解析】令f（x）=x sin x，x∈，
∵f（﹣x）=﹣x•sin（﹣x）=x•sin x=f（x），
∴f（x）=x sin x，x∈为偶函数．
又f′（x）=sin x+x cos x，
∴当x∈[0，]，f′（x）＞0，即f（x）=x sin x在x∈[0，]单调递增；
同理可证偶函数f（x）=x sin x在x∈[﹣，0]单调递减；
∴当0≤|β|＜|α|≤时，f（α）＞f（β），即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立；
故选D．
12．A
【解析】由f（x+2）=f（x）可得函数f（x）的周期为2，
当x∈[0，1]时，f（x）=2x，
又f（x）为偶函数，则当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣2x，
由ax+a﹣f（x）=0得f（x）=ax+a，作出y=f（x）和y=ax+a的图象，要使方程ax+a﹣f（x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，则由图象可得直线y=ax+a的斜率必须满足k AC＜a＜k AB，由题意可得A（﹣1，0），B（1，2），C（3，2），则k AC==，k AB==1．
即有＜a＜1．
故选A．
二、填空题
13．（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）
【解析】要使函数式f（x）=lg（sin x﹣cos x）有意义，
只需满足，sin x﹣cos x＞0，
即sin x＞cos x，
根据三角函数线可知，如右图（不含边界），
当角的终边在直线y=x上方时，符合题意，
此时，2kπ+＜x＜2kπ+，
即函数f（x）的定义域为：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z），
故答案为：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）．
14．
【解析】∵sinα+cosα=sin（α+）=﹣，
∴sin（α+）=﹣，
∵α∈（，π），
∴α+∈（，），
∴cos（α+）=﹣=﹣．
∴tan（α+）==．
故答案为：．
15．18
【解析】解得曲线y2=2x和直线y=x﹣4的交点坐标为：（2，﹣2），（8，4）选择y为积分变量
∴由曲线y2=2x和直线y=x﹣4所围成的图形的面积
S==（y2+4y﹣y3）|﹣24=18
故答案为：18
16．[﹣1，]
【解析】函数f（x）=（sin x+cos x）2﹣2cos2x﹣m=sin2x﹣cos2x﹣m=sin（2x﹣）﹣m在[0，]上有零点，
故函数y=sin（2x﹣）的图象和直线y=m在[0，]上有交点，
函数y=sin（2x﹣）在[0，]上的值域为[﹣1，]，故m∈[﹣1，]，
故答案为：[﹣1，]．
三、解答题
17．解：命题p：关于x的不等式a x＞1的解集为{x|x＜0}，
∴0＜a＜1；
命题q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，
∴ax2﹣x+a＞0恒成立，∴，解得a＞；
若p∨q为真，p∧q为假，则p与q一真一假；
∴，或；
综上，a的取值范围是0＜a≤或a≥1．
18．解：（Ⅰ）∵
=．
∴f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）又∵，∴，即，∴f（x）max=3．
∵不等式f（x）﹣m＜2在上恒成立∴m＞f（x）max﹣2=1即m的取值范围是（1，+∞）．
19．解：（1）函数y=|g（x）|=，
|g（x）|在（﹣∞，1）上是减函数，在（1，+∞）是增函数．
对于f（x），m≠0时为二次函数，两个零点2m，﹣m﹣3，
其对称轴为x=即x=，
则=1，可得m=5；
（2）x∈（﹣∞，﹣4）时，g（x）＜0，
则∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）＞0．
考虑其否定：∀x∈（﹣∞，﹣4），f（x）≤0，
对于f（x），m≠0时为二次函数，两个零点2m，﹣m﹣3，
则有，解得﹣2≤m≤0．
∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）＞0，则m＜﹣2或m＞0．
20．解：（1）∵f（x）=4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，
则f（x）=4tan x cos x•（cos x+sin x）﹣
=4sin x（cos x+sin x）﹣
=2sin x cos x+2sin2x﹣
=sin2x+（1﹣cos2x）﹣
=sin2x﹣cos2x
=2sin（2x﹣），
则函数的周期T=；
（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，
得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，当k=0时，增区间为[﹣，]，k∈Z，
∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，]，
由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，
得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，
当k=﹣1时，减区间为[﹣，﹣]，k∈Z，
∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣]，
即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣]，增区间为[﹣，]．
21．解：（Ⅰ）求导函数，可得．
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是5x﹣4y+1=0．
∴，∴，∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，∴，
则，令h（x）=﹣mx2+（2﹣2m）x+2﹣2m，
当m=0时，h（x）=2x+2，在x∈[0，+∞）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上是增函数，则g（x）≥g（0）=0，不满足题设．
当m＜0时，∵且h（0）=2﹣2m＞0
∴x∈[0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上是增函数，则g（x）≥g（0）=0，不满足题设．
当0＜m＜1时，则△=（2﹣2m）2+4m（2=2m）=4（1﹣m2）＞0，
由h（x）=0得；
则x∈[0，x2）时，h（x）＞0，g′（x）＞0即g（x）在[0，x2）上是增函数，
则g（x2）≥g（0）=0，不满足题设．
当m≥1时，△=（2﹣2m）2+4m（2=2m）=4（1﹣m2）≤0，h（x）≤0，g′（x）≤0，
即g（x）在[0，+∞）上是减函数，则g（x）≤g（0）=0，满足题设．
综上所述，m∈[1，+∞）.
22．解：（1）f′（x）=﹣2a sin2x﹣（a﹣1）sin x．
（2）当a≥1时，|f（x）|=|a cos2x+（a﹣1）（cos x+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），
因此，A=3a﹣2．
当0＜a＜1时，将f（x）变形为f（x）=2a cos2x+（a﹣1）cos x﹣1．
令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当时，g（t）取得极小值，极小值为．令，解得（舍去），．
（ⅰ）当时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，所以A=2﹣3a．
（ⅱ）当时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，知．又，所以．
综上，．
（3）由（1）得|f′（x）|=|﹣2a sin2x﹣（a﹣1）sin x|≤2a+|a﹣1|．
当时，|f′（x）|≤1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A．
当时，，所以|f′（x）|≤1+a＜2A．
当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，所以|f′（x）|≤2A．。