高三数学第一轮复习教案(第三章数列5课时)

解：当 q 1时，得 2na 1 11na 1不成立，∴ q 1，
a1(1 q2n )
)
∴ 111a 1qq(1 q2n 1 q
a 1q2 a 13q
32
由①得 1q1a 1q101a，1q代入②得 a1
①
②
10，
11 倍，
∴an
( 1 )n 2
．
10
说明：用等比数列前 n项和公式时，一定要注意讨论公比是否为
4．等比数列 {a n}的任意连续 m项的和构成的数列 Sm ,S2m Sm ,S3m
列．
5．两个等差数列 {an}与 {bn}的和差的数列 {an bn}仍为等差数列．
S2m ,
仍为等比数
6．两个等比数列 {an}与 {bn}的积、商、倒数的数列 {an
列． （二）主要方法：
an bn}、
b
n
1
、
d, (a 2 d) ，则 a (ad d2) 16 a
a 2a d 12
a4 a 9d 8或 d
解得：
6，所以所求的四个数为： 4,4,12,36 ；或 15,9,3,1 ．
例 3 ．由正数组成的等比数列 {an}，若前 2n项之和等于它前 2n 项中的偶数项之和的 第 3 项与第 4项之和为第 2 项与第 4 项之积的 11倍，求数列 {an}的通项公式．
解：（法一）基本量法（略）；
An2 Bn m(1)
（法二）设 Sn An
2
(1) (2) 得： (n2 m )A
∴Sn m (n 2m)1，
Bn ，则 2 Bm
(2)
(n m)B n m n， m Am
n ，∴ (m
n)A B
2
例 3 ．等差数列 {aAn}中共(n有奇数m项)B，且此数(列n中的m奇)数．项之和为 77 ，偶数项之和为 66，
（ 2 ）若数列 an 满足 an
pa n 1
q，则数列 1 q apn
列．
是公比为
2 p的等比数
例 3 ．设 {an}是正数组成的数列，其前项和n为 中项等于 Sn与 2的等比中项，
Sn，并且对所有自然数 n， an与 2的等差
(1) 写出数列 {an}的前三项；
(2) 求数列 {an}的通项公式 ( 写出推证过程 ) ；
四．教学过程： （一）主要知识：
1．数列的有关概念； 2．数列的表示方法：（
1 ）列举法；（ 2 ）图象法；（ 3 ）解析法；（ 4）递推法．
3． an与 Sn的关系： an
S1 (n 1)
．
Sn Sn 1(n 2)
（二）主要方法：
1．给出数列的前几项 , 求通项时 ,要对项的特征进行认真的分析、化归；
a d,a,a
d；若偶数个成等差数
列且和为定值时，可设中间两项为 a d,a d，其余各项再根据等差数列的定义进行对称
设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似． 4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． （三）例题分析：
例 1 ．（ 1）设数列 {an}是递增等差数列，前三项的和为 12 ，前三项的积为 48，则它的首
∴该数列在 [450,600] 上有 25项 , 其和 Sn
1 (a 58 a8*2 ) 25 13100 ．
（2 ）∵ an 110 6(n
2 1)，∴要使 an能被 5整除，只要 n
1能被 5整除，即 n 1 5k，
∴n 5k 1，∴ 58 5k 1 82 ，∴ 12 k 16 ，∴在区间 [450,600] 上该数列中能被 5
三．教学重点：等差（比）数列的性质的应用． 四．教学过程：
（一）主要知识： 有关等差、等比数列的结论
1．等差数列 {an}的任意连续 m 项的和构成的数列
列．
2．等差数列 {an}中，若 m n p q，则 am
Sm ,S2m S m,S 3m an a p aq
S2m ,
仍为等差数
3．等比数列 {an}中，若 m n p q，则 am an ap aq
解：（ 1* ）由题意： an 104 n，∴ lga n
（四）巩固练习：
1．已知 a1 1,a n
1 (n 1
an 1
2)，则 a5 8
．
5
2．在数列
1 an 中 an
，且 Sn
n n1
9，则 n
99 ．
五．课后作业：《高考 A计划》考点 1，智能训练 12 ． 13． 14 ． 15． 16 ．
第 2 课时等差数列与等比数列的基本运算
一．课题： 等差数列与等比数列的基本运算
例 4 ．（《高考 A计划》考点 19 “智能训练第 17 题”） 设函数 f (x) log2 x log x 2 (0 x 1)，数列 {an}满足 f (2 an )
2n(n 1,2,3 )
（1 ）求数列 {an}的通项公式；（ 2）判定数列 {an}的单调性．
解答参看《高考 A计划》教师用书 P112 ．
3 项的和为
34 ，最后三项的和为
146 ，且所有项的和为
（2 ）已知数列 {a n}是等比数列 , 且 an>0 , n N, *a3a5 2a 4a6 a5a 7 81 ，则 a4
9．
（3 ）等差数列前 m项和是 30，前 2m 项和是 100 ，则它的前 3m项和是
210 ．
390 , a6
例 2 ．若数列 {an}成等差数列，且 Sm n,S n m(m n) ，求 Sn m．
第三章数列
第 1 课时数列的有关概念
一．课题： 数列的有关概念
二．教学目标：理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一
种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项，理解
a n与 S n 的关系，培养观
察能力和化归能力．
三．教学重点：数列通项公式的意义及求法，
an与 Sn的关系及应用．
b
n
仍为等比数
1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化
为关于 a1和 d(q)的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化
繁为简，减少运算量．
2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前 n项和公式的内在联系是解题的关键．
（三）例题分析： 例 1 ．（ 1）若一个等差数列前 则这个数列有 13 项；
3．等差中项和等比中项的概念． （二）主要方法：
n项和公式； n 项和公式；
1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量
a1,d(q) 来处理；
2．使用等比数列前 n项和公式时，必须弄清公比 q是否可能等于 1 还是必不等于 1 ，如果
不能确定则需要讨论； 3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为
2时Sn 1 1 ran 1， Sn
Sn 1
1，显然 a1不适 r(a n an 1)，
∴an ran ran 1，∴ an(r 1) ran 1,∵ r ∴ 1a, n
r ，∵ r 0，
an 1 r 1
r
∴{a n}是公比为
的等比数列．
r1
又当 n 1时， S1 1
ra1，∴ a11 ，∴ an 1r
11
．
n
∴ nan 1
(n 1)a n 1
1 a1
1，∴．an n
（3 ） an 1 1 a n 1 an 1 2 1 (a n 2) {an 2}是首项为 a1
1
2
2
公比为 1的等比数列， 2 2 (1)n 1
an 2
1 (1)n 1, an
．
2
2
说明：（ 1）本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法；
整除的项共有 5项即第 61,66,71,76,81 项，其和 S
5(a 61 a81 ) 2650 ．
2
五．课后作业：《高考 A计划》考点 20，智能训练 5 ， 6， 12， 13， 14 ， 15．
第 3 课时等差数列、等比数列的性质及应用
一．课题： 等差数列、等比数列的性质及应用
二．教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解 决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力．
2．数列前 n项的和 Sn和通项 an是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式
an
Sn
时，一定要注意条件 n
（三）例题分析：
2，求通项时一定要验证 a1是否适合．
Sn 1
例 1 ．求下面各数列的一个通项：
14
9 16
(1)
,,
,
,；
2 4 5 7 8 10
11 13
(2) 数列的前 n项的和
Sn 22n n 1；
(3) 数列 an 的前 n项和 Sn 1 ran(r为不等于 0,1 的常数 ) ．
解：（ 1）an
( 1)n
n2
．
(3n 1)(3n 1)
（2 ）当 n 1时 a1 S1 4，当 n 合an 4n 1
2时 an Sn Sn 1 4n
∴ an 4 4n
（3 ）由 S2n) 1
(n 1) ．
1 (n ran可得当 n
(3) 令 bn
1 (a n 1 an ) (n N)，求 b1
2 a n an 1
b2 b3
bn n．
an 2
解：（ 1）由题意：
2
a2 令 n 2，
2 2(a 1
2
令n
3，a2
3
2
2(a 1
∴该数列的前三项为 2,6,10.
2S n an 0，令 n
a2)，解得 a2
6
1，a212
a 2 a3)，解得 a3 10
2 解：（ 1） an 1 an
∴ an a1 (a 2 a1)
2n ，∴ an 1 (a3 a2)
an 2n ， (an an
1)
1 2n 1(n 12) 2 n 2 (n 1)
（2）
n
a
1
n
1
n ，∴ an
a1 a2 a3
a=n1 1
2
2
an n 1
a1 a 2 an 1
n
又解：由题意， (n 1)a n 1 na n对一切自然数 n成2立3， n
2n+1 =(2n+1)a 中 ；
（ 2）在项数为 2n 项的等差数列 {an}中 S奇=na n,S偶 =nan 1,S2n+1 =n(a n
an 1 )．
例 4．数列
{a n }是首项为
1000 ，公比为 1 的等比数列，数列 10
{bn} 满足
1
bk
(lga 1 lga 2
k
(k N
lga k)
a1 1，求其项数和中间项 .
解：设数列的项数为 2n 1项，
则S
(n 1)(a 12n 1) 77， S偶n(a 2 a2n )
a奇
2
2
∴ 奇S S偶
n
1
77 ，
∴n
n 66
6， ∴数列的项数为
66 13，中间项为第
7项，且 a7
11 ．
说明：（ 1）在项数为 2n 1项的等差数列 {an}中， S奇 =(n+1)a 中,S偶 =na中 ,S
2a 1，解得 a1
2
（2 ）∵ an 2
2 2S，∴ Sn
n
1(a n 8
2 2，) 由此 Sn 1 2)
1 (a n 1 2 ， 8
∴an 1 2)
Sn 1 Sn 1[(a n 12 8
2
(an 2]，) 整理得： (an 1 an)(： (an 1 an)
0，∴ an 1 an 4 0，即 an 1 an 4，
项为 2． （2 ）已知等差数列 {an}的公差 d
0，且 a1,a3,a 9成等比数列，则
a1 a3 1a39 ．
16
a2 a4 a10
例 2 ．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数
的和是 16，第二个数与第三个书的和是 12 ，求这四个数．
解：设这四个数为： a d,a,a
说明：本例关键是利用 Sn与 an的关系进行转化．
1 r n1
1
( rr
) 1
．
例 2 ．根据下面各个数列
an 的首项和递推关系，求其通项公式：
（1 ） a1 1,a n 1 an 2n(n N *)；
（2）a1 （3）a1
1,a n 1 n an(n n1
N *)；
1,a n 1 1 a n 1 (n N *)．
二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前 些知识解决有关问题，培养学生的化归能力．
三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前 四．教学过程： （一）主要知识：
n项和的公式，并能利用这 n项和的公式的应用．
1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前
2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前
∴数列 {an}为等差数列，其中 a1 2,公差 d 4，∴ an
a1 (n 1)d 4n 2
（3） bn 1 (4n 2 4n ) 2 1 (1 2
2
1
1
1
)1
2 4n 2 4n 2 2 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
∴b1 b2
11 1 bn n 1
33 5
1
1
1
n1
．
2n 1 2n 1 2n 1
1．
例 4．已知等差数列 110,116,122, ，
（1 ）在区间 [450,600] 上，该数列有多少项？并求它们的和；
（2 ）在区间 [450,600] 上，该数列有多少项能被 5整除？并求它们的和 .
解： an 110 6(n 1) 6n 104 ，
（1）由 450 6n 104 600 ，得 58 n 82，又 n N,