201x届高考数学一轮复习第2单元-函数、导数及其应用第14讲用导数研究函数的最值与生活中的优化问题
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[点评] 当函数在一个区间内只有唯一的极小(大)值时， 这个极小(大)值就是最小(大)值，这种情况下可以直接写出最 值；当函数在一个区间内的极值有多个时，就要把这些极值和 区间的端点值进行比较，比较大小的基本方法之一就是作差 法．
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第14讲 │ 要点探究
变式题 已知函数f(x)＝x2eax，其中a≤0，e为自然对数的 底数．
(1)讨论函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)的区间[0,1]上的最大值．
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第14讲 │ 要点探究
[解答] (1)f′(x)＝2xeax＋x2aeax ＝x(ax＋2)eax. ①当a＝0时，由f′(x)>0得x>0， 由f′(x)<0得x<0. 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递 减；
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第14讲 │ 知识梳理
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第14讲 │ 问题思考 问题思考
► 问题1 求闭区间上可导函数的最值，不需要判断极值 是极大值或极小值．( )
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第14讲 │ 问题思考
[答案]对 [解析] 求闭区间上可导函数的最值，对函数极值是极大 还是极小，可不再判断，直接与端点的函数值比较即可．
②当－2<a<0时，－
2 a
>1，f(x)在区间[0,1]上单调递增，其
最大值是f(1)＝ea；
③当a≤－2时，0<－
2 a
≤1，x＝－
2 a
是函数f(x)在区间[0,1]上
唯一的极大值点，也就是最大值点，此时函数f(x)最大值是
f－2a＝a24e2. 所以，当－2<a≤0时，f(x)在[0,1]上的最大值是ea；当a≤－2
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第14讲 │ 问题思考
[答案]对 [解析] 用导数求实际问题中的最值时，如果区间内只有 一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．
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第14讲 │ 要点探究 要点探究
► 探究点1 导数方法求解函数的最值问题 例1 设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2. (1)讨论f(x)的单调性； (2)求f(x)在区间－34，14上的最大值和最小值．
第14讲 │ 用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例
2013届高考数学一轮复习课件第二单元 函数、导数及其应用(理科人教A版)
第14讲 用导数研究函数的最值 与生活中的优化问题举例
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第14讲 │ 考纲要求 考纲要求
1．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函 数一般不超过三次)．
2．会利用导数解决某些实际问题．
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第14讲 │ 知识梳理
知识梳理
1．在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，在[a，b]上必 有最大值与最小值．
(1)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的一般步 骤是：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的 各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 最大值，最小的一个是最小值．
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第14讲 │ 要点探究
②当a<0时，由f′(x)>0得0<x<－2a，
由f′(x)<0得x<0或x>－2a.
故函数f(x)在
0，－2a
上单调递增，在(－∞，0)与
－2a，＋∞上单调递减．
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第14讲 │ 要点探究
(2)①当a＝0时，f(x)在区间[0,1]上单调递增，其最大值为
f(1)＝1；
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第14讲 │ 知识梳理
(3)f(x)>m恒成立等价于m__<_f_(x_)_m_i_n ；f(x)<m恒成立等价于 _m_>_f_(_x_)m_a_x．
2．求解应用题的一般步骤(四步法) (1)读题：读懂和深刻理解题意，译为数学语言，找出主要 关系； (2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题； (3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； (4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后 将结果应用于现实，作出解释或验证．
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第14讲 │ 知识梳理
(2)极值与最值的区别：①函数的极值是在局部范围内讨 论的问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区 间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念．② 闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一 定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．③ 函数在定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数 的极值则可能不止一个，也可能没有．
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第14讲 │ 要点探究
[思路] (1)解导数的不等式即可得函数的单调区间，但要注 意函数的定义域；(2)比较函数f(x)在区间 －34，14 内的极值和 f－34，f14的大小．
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第14讲 │ 要点探究
[解答] f(x)的定义域为－32，＋∞. (1)f′(x)＝2x2＋3＋2x＝4x22＋x＋6x3＋2＝22x＋2x1＋3x＋1. 当－32<x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<－12时，f′(x)<0； 当x>－12时，f′(x)>0. 从而，f(x)在区间 －32，－1和 －12，＋∞上单调递增，在 区间－1，－12上单调递减．
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第14讲 │ 要点探究
(2)由(1)知f(x)在区间－34，14上的最小值为f－12＝ln2＋14. 又f－34－f14＝ln32＋196－ln72－116＝ln37＋12＝121－ln499<0. 所以f(x)在区间－34，14上的最大值为f14＝116＋ln72.
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第14讲 │ 要点探究
时，f(x)在[0,1]上的最大值为a24e2.
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第14讲 │ 要点探究
► 探究点2 生活中的优化问题
例2某电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加家电 下乡活动．若厂家投放A、B型号电视机的价值分别为p，q万
元，农民购买电视机获得的补贴分别为
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1 10
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第14讲 │ 问题思考
► 问题2 求实际问题中的最大、最小值，与求一般函数 最值一样．( )
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第14讲 │ 问题思考
[答案]错 [解析] 求实际问题中的最大、最小值，利用求函数最值的 方法求解，注意结果应与实际情况相结合，不符合实际意义的应 舍去．
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第14讲 │ 问题思考
► 问题3 求实际问题中的最值时，如果区间内只有一 个极值点，就是最值点．( )
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第14讲 │ 要点探究
变式题 已知函数f(x)＝x2eax，其中a≤0，e为自然对数的 底数．
(1)讨论函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)的区间[0,1]上的最大值．
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第14讲 │ 要点探究
[解答] (1)f′(x)＝2xeax＋x2aeax ＝x(ax＋2)eax. ①当a＝0时，由f′(x)>0得x>0， 由f′(x)<0得x<0. 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递 减；
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第14讲 │ 问题思考 问题思考
► 问题1 求闭区间上可导函数的最值，不需要判断极值 是极大值或极小值．( )
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第14讲 │ 问题思考
[答案]对 [解析] 求闭区间上可导函数的最值，对函数极值是极大 还是极小，可不再判断，直接与端点的函数值比较即可．
②当－2<a<0时，－
2 a
>1，f(x)在区间[0,1]上单调递增，其
最大值是f(1)＝ea；
③当a≤－2时，0<－
2 a
≤1，x＝－
2 a
是函数f(x)在区间[0,1]上
唯一的极大值点，也就是最大值点，此时函数f(x)最大值是
f－2a＝a24e2. 所以，当－2<a≤0时，f(x)在[0,1]上的最大值是ea；当a≤－2
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[答案]对 [解析] 用导数求实际问题中的最值时，如果区间内只有 一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．
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第14讲 │ 要点探究 要点探究
► 探究点1 导数方法求解函数的最值问题 例1 设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2. (1)讨论f(x)的单调性； (2)求f(x)在区间－34，14上的最大值和最小值．
第14讲 │ 用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例
2013届高考数学一轮复习课件第二单元 函数、导数及其应用(理科人教A版)
第14讲 用导数研究函数的最值 与生活中的优化问题举例
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第14讲 │ 考纲要求 考纲要求
1．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函 数一般不超过三次)．
2．会利用导数解决某些实际问题．
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1．在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，在[a，b]上必 有最大值与最小值．
(1)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的一般步 骤是：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的 各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 最大值，最小的一个是最小值．
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第14讲 │ 要点探究
②当a<0时，由f′(x)>0得0<x<－2a，
由f′(x)<0得x<0或x>－2a.
故函数f(x)在
0，－2a
上单调递增，在(－∞，0)与
－2a，＋∞上单调递减．
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(2)①当a＝0时，f(x)在区间[0,1]上单调递增，其最大值为
f(1)＝1；
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(3)f(x)>m恒成立等价于m__<_f_(x_)_m_i_n ；f(x)<m恒成立等价于 _m_>_f_(_x_)m_a_x．
2．求解应用题的一般步骤(四步法) (1)读题：读懂和深刻理解题意，译为数学语言，找出主要 关系； (2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题； (3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； (4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后 将结果应用于现实，作出解释或验证．
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(2)极值与最值的区别：①函数的极值是在局部范围内讨 论的问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区 间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念．② 闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一 定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．③ 函数在定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数 的极值则可能不止一个，也可能没有．
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[思路] (1)解导数的不等式即可得函数的单调区间，但要注 意函数的定义域；(2)比较函数f(x)在区间 －34，14 内的极值和 f－34，f14的大小．
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[解答] f(x)的定义域为－32，＋∞. (1)f′(x)＝2x2＋3＋2x＝4x22＋x＋6x3＋2＝22x＋2x1＋3x＋1. 当－32<x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<－12时，f′(x)<0； 当x>－12时，f′(x)>0. 从而，f(x)在区间 －32，－1和 －12，＋∞上单调递增，在 区间－1，－12上单调递减．
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第14讲 │ 要点探究
(2)由(1)知f(x)在区间－34，14上的最小值为f－12＝ln2＋14. 又f－34－f14＝ln32＋196－ln72－116＝ln37＋12＝121－ln499<0. 所以f(x)在区间－34，14上的最大值为f14＝116＋ln72.
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第14讲 │ 要点探究
时，f(x)在[0,1]上的最大值为a24e2.
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► 探究点2 生活中的优化问题
例2某电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加家电 下乡活动．若厂家投放A、B型号电视机的价值分别为p，q万
元，农民购买电视机获得的补贴分别为
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第14讲 │ 问题思考
► 问题2 求实际问题中的最大、最小值，与求一般函数 最值一样．( )
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第14讲 │ 问题思考
[答案]错 [解析] 求实际问题中的最大、最小值，利用求函数最值的 方法求解，注意结果应与实际情况相结合，不符合实际意义的应 舍去．
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► 问题3 求实际问题中的最值时，如果区间内只有一 个极值点，就是最值点．( )