江西省新余市第四中学2018届高三上学期第一次月考文科

2018届高三上学期第一次段考
文科数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知}11|{<<-=x x P ，}02{<<-=x Q ，则=Q P A ．)1,2(-
B ．)0,1(-
C ．)1,0(
D ．)1,2(--
2.设θ∈R ，则“ππ||1212θ-
<”是“1
sin 2
θ<”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.下列函数的零点不能用二分法求解的是（ ）
A.1)(3-=x x f
B.3ln )(+=x x f
C.x x f =)(
D.14)(2-+-=x x x f
4．已知命题p ：∃∈R x , 012≥+-x x ;命题q ：若2
2b a <,则b a <，下列命题为真
命题的是（ ）
A.∧p q
B.∧⌝p q
C. ⌝∧p q
D. ⌝∧⌝p q 5．平面向量a 与b 的夹角为o
60，(2,0)a =，||1b =，则|2|a b +=（ ）
A B ． C ．4 D ．12
6.已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8
221(log ),(log 4.1),(2)5
a f
b f
c f =-==，则
,,a b c 的大小关系为（ ）
A.a b c <<
B.b a c <<
C.c b a <<
D.c a b <<
7. 为了得到函数)6
2sin(π
-=x y 的图像，可以将函数x y 2sin =的图像（ ）
A.向右平移
6
π
个单位长度 B.向左平移12π个单位长度
C.向左平移6π
个单位长度 D.向右平移12π个单位长度
8.函数y =1+x +
2sin x
x
的部分图像大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9. 若)2ln(2
1)(2
++-
=x b x x f 在),1(+∞-上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A 、),1[+∞- B 、),1(+∞- C 、]1,(--∞ D 、)1,(--∞
10.已知,31cos 6sin =-⎪⎭⎫
⎝
⎛+απα则⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-32cos πα的值为（ ）
A ．185-
B ．18
5
C ．9
7
-
D ．
9
7 11.设()x f '为()x f 的导函数，已知()()(),1
,ln 2
e
e f x x xf x f x ==+'则下列结论正确的是（ ）
A. ()x f 在()+∞,0上单调递增
B. ()x f 在()+∞,0上单调递减
C. ()x f 在()+∞,0上有极大值
D. ()x f 在()+∞,0上有极小值
12.已知函数()(),6
3,630,lg ⎩⎨
⎧≤<-≤<=x x f x x x f 设方程()()R b b x f x ∈+=-2的四个实根从小到大依次为,,,,4321x x x x 对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为（ ） A. 221=+x x B. 9121<<x x C. ()()166043<--<x x D.
25943<<x x
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数=''+=)2(,)1(3)(2
f x f x x f 则 。

14.已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为
_________．
15.设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，
则满足1
()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________.
16.在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，已知7,600==a A ，现有以下判断： ①c b +不可能等于15； ②
bc
b B
c C 7cos cos =+； ③作A 关于BC 的对称点A A A ''则,的最大值是37； ④若C B ,为定点，则动点A 的轨迹围成的封闭图形的面积是π3
49。

请将所有正确的判断序号填在横线上 。

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）
设p ：实数x 满足01222≤-+-m x x ，其中0>m ，q ：12
12
≥+x 。

（1）若2=m 且p 或q 为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围。

18.（12分）
已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –sin x cos x （x ∈R ）. （1）求f （
2π
3
）的值. （2）求f （x ）的最小正周期及单调递减区间.
19.（12分）
已知函数c bx ax x x f +++=23)(在3
2
-=x 与1=x 时都取得极值，
（1） 求a ，b 的值；
（2）若对[2-∈x ，]2，2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

20．（12分）
已知向量),cos 1,(sin B B -=且与向量)0,2(=所成角为3
π，其中ABC C B A ∆是,,的内角。

（1）求角B 的大小； （2）求C A sin sin +的取值范围.
21.（12分） 已知函数()1
2
+=x x f 定义在R 上，且()x f 可以表示为一个偶函数()x g 与一个奇函数()
x h 之和，设()t x h =，()()()().1222
R m m m x mh x g t p ∈--++= （1）求出()t p 的解析式；
（2）若()12--≥m m t p 对于任意[]2,1∈x 恒成立，求m 的取值范围；
22．(12分)
已知函数x ax x f ln )(+=。

(1)若)(x f 在区间)1,0(上单调递增，求实数a 的取值范围 (2)设函数)(21)(2x f x x h --
=有两个极值点1x 、2x ，且⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∈1,211x ，求证：2ln 22)()(21-<-x h x h 。

2018届高三上学期第一次段考文科数学试卷答案
1.A
2. A
3. C
4. B
5. B
6. C
7. D 8. D 9. C 10. D 11. B 12.D
13. 1 14. 6 15.
1
(,)4
-+∞ 16. ①②③． 17.解：（1）当2=m 时，310322≤≤-⇒≤--x x x 。

由
⎩
⎨⎧≤->⇒⎩⎨⎧+≥>+⇒≥+102212021212
x x x x x ，则102≤<-x 。

p 或q 为真命题，则p 为真命题或q 为真命题，得102≤<-x 。

(2)由01222≤-+-m x x ，得m x m +≤≤-11，所以p ⌝：m x +>1或m x -<1。

由
12
12
≥+x ，得102≤<-x ，所以q ⌝：10>x 或2-≤x ， 因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，
所以⎩
⎨⎧≤+-<-10112m m ，解得3<m 。

因为0>m ，所以30<<m 。

18.解：（Ⅰ）f （x ）=22sin cos cos cos22x x x x x x --=-
=-2πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 则f （2π3）=-24ππsin 2.36⎛⎫
+=
⎪⎝
⎭ （Ⅱ）f （x ）的最小正周期为.
令2πππππ
π22πππ.26236
k x k k k x k k Z Z ，，得，-≤+≤+∈-≤≤+∈ 函数f （x ）的单调递减区间为ππππ.36k k k Z ，，⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
19.解：①∵b ax x x f ++=23)('2，由已知条件可知：3
2
-
和1为0)('=x f 的两根， 由韦达定理得：⎪⎩⎪⎨⎧⨯-=+-=-1
32313232
b a ，∴21-=a ，2-=b ②由①得：
c x x x x f +--=221)(23，由题知：当∈x (－2， 3
2
-)时，0)('>x f
∴函数)(x f 在区间(－2，3
2
-)上是增函数；
当∈x (32-，1)时，0)('<x f ，∴函数)(x f 在(32
-，1)上是减函数；
当∈x (1，2)时，0)('>x f ，∴函数)(x f 在(1，2)上是增函数，
∴当2-=x 时，c f +-=-6)2(；当1=x 时，c f x f +-==2
3
)1()(极小
∵c c +->+-62
3
，∴∈x [－2，2]时，c x f +-=6)(最小，
由)(x f 在∈x [－2，2]时，2)(c x f -≥恒成立得：26c c -≥+- 由此解得：23≥-≤c c 或
∴c 的取值范围为：(∞-，3-]∪[2，∞+)
20.
解：①由=
3
cos
π
得01cos cos 2cos 22sin 22=---=
B B B B 即
1cos 2
1
cos =-=∴B B 或
又3
2,21cos ),0(π
π=-=∈B B B 即故
②)3
sin()3
(
sin sin sin sin π
π
+
=-+=+A A A A C A
30π<<A 3233ππ
π<+<∴A 1
)3
sin(23≤+<∴πA
21.解：(1)假设f (x )＝g (x )＋h (x )①，则 f (－x )＝g (x )－h (x )②，
由①②解得∴g (x )＝ f (x )＋ f (－x )2＝
2x ＋
1＋2
－x ＋1
2
＝2x ＋1
2
x ，
h (x )＝ f (x )－ f (－x )2＝
2x ＋
1－2－x ＋1
2
＝2x －1
2
x .
由2x －12x ＝t ，则t ∈R ，平方得t 2＝(2x －12x )2＝22x ＋1
22x －2，
∴g (2x )＝22x ＋1
22x ＝t 2＋2，∴p (t )＝t 2＋2mt ＋m 2－m ＋1.
(2)∵h (x )对于x ∈[1,2]单调递增，∴32≤t ≤15
4
，
∴P (t )＝t 2＋2mt ＋m 2－m ＋1≥m 2－m －1对于t ∈[32，15
4]恒成立，
∴m ≥－t 2＋22t 对于t ∈[32，15
4
]恒成立，
令φ(t )＝－t 2＋22t ，由φ(t )在t ∈[32，15
4]上单调递减，
∴φ(t )max ＝φ(32)＝－1712，∴m ≥－17
12为m 的取值范围．
22．解：(1) )(x f 在区间)1,0(上单调递增， 则01
)(≥+='x
a x f 在)1,0(上恒成立， 即x
a 1
-
≥在)1,0(上恒成立， )1,0(∈x ，)1,(1
--∞∈-∴x ，1-≥∴a 。

(2)证明：x ax x x f x x h ln 2
1)(21)(2
2---=--=，
x
ax x x h 1
)(2++-
='，0>x 。

因为函数)(x h 有两个极值点1x 、2x ， 则1x 、2x 为方程012=++ax x 的两个正根，
得⎩⎨⎧=-=+12
121x x a
x x ，得121x x =，
1
212212
221ln 2)()(x x
ax ax x x x h x h +-+-=-，
1x 、2x 是方程012=++ax x 的根，
1211--=∴x ax ，12
22--=x ax ，
1
22
221122
122212221ln 2ln 112)()(x x x x x x x x x x x h x h +-=+++---=-∴。

把1
21
x x =
代入上式得 21
2121211ln )1(21)()(x x x x h x h +-=
-∴， 令2
1
x t =，则⎪⎭
⎫⎢⎣⎡∈1,41t ， 令t t
t x h x h t g ln )1
(21)()()(21--=
-=， 0)11
(211)11(21)(22>-=-+='t t t
t g ，
)(t g ∴在⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∈1,41t 上单调递增。

02ln 28
15
)41()(min <+-==∴g t g ，
min )(t g 无限接近01ln )11(21
)1(=--⨯=g 。

2ln 222ln 28
15
)()(21-<-<-∴x h x h ，问题得证。