直角三角形的存在性问题(教案)

直角三角形的存在性问题（教案）
学习目标：
1、经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧。

2、体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性。

一、课前准备
1.已知直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长为 .
2.如图，A （0，4），C （4，0），点P 是线段OC 的中点，AP ⊥BP ，BC ⊥PC ，则BC 的长度为 .
【设计意图】通过两个简单的关于直角三角形的练习，检测学生对勾股定理、M 型相似的应用情况，同时引出课题——直角三角形的存在性问题.
二、我们一起来探究
如图，A （0，1），B （4，3）是直线12
1
+=
x y 上的两点，点P 是x 轴上一个动点. 问：是否存在这样的点P ，使得△ABP 为直角三角形？如果存在，请求出满足条件的点P 的坐标.
y
x
B
A O
y
x
B
A O
y
x
B
A
O
（备用图1） （备用图2）
提问：（1）这样的问题，你怎么思考的？ 需要针对直角顶点进行分类. （2）一般会有几种情况？ 三种. （3）分类之后需要做什么？ 画图.
（4）解题有哪些方法？
（5）当直角顶点在点P 的时候，如何精确地找到点P ？ 以AB 为直径的圆与x 轴的交点.
变式跟进：将上述直线向上平移a 个单位，A 、B 两点也同时向上平移到相应的位置，x 轴上存在唯一的点P ，使得∠APB=90°. 求a 的值.
【小结】直角三角形的存在性问题解题策略： . 【设计意图】通过这个环节，探究直角三角形存在性问题解题策略：分类——画图——解题，重在让学生了解这类题的的三种解法：几何法、解析法、代数法，从而为后面的练习做好铺垫.
三、反馈练习
1.如图，点O （0，0），A （1，2），若存在格点P ，使△APO 为直角三角形，则点P 的个数有 个.
2.在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，BC=6cm ，动点P 、Q 分别同时从A 、B 出发，其中点P 在线段AB 上向点B 移动，速度是2cm/s. 点Q 在线段BC 上向点C 运动，速度为1cm/s.
设运动时间为t s ，当t= 时，△BPQ 是直角三角形.
3.如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =角形，求x 的值；
追问：x 的取值范围如何？
【设计意图】通过这三个题的练习，让学生了解尽管题目的背景不同，但是方法是一样的，旨在检测学生对分类讨论思想的应用，学会针对直角顶点进行分类画图，并采用合适的方法予以解答.
四、链接中考（2011 济南）
如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）. 抛物线
83
4
942++-=x x y 经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ，Q 是AC 上一点，且AQ ＝5. 请问在抛物线对
称轴l 上是否存在点F ，使得△FDQ 为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由。

y x
Q D
O C
B
A
y x
Q
D
O C
B
A
（备用图）
【设计意图】本题是二次函数与直角三角形的存在性问题的结合题，二次函数的复杂性是学生比较困惑的地方，加入直角三角形之后难度增大. 但是，主要方法并没有改变，旨在帮助学生分析、理解题意，找到相应的直角三角形. 解题时，要关注到点Q 的特殊位置.
五、课堂小结：在本节课中，对“直角三角形的存在性问题”，你有什么感想？
（1）角： （2）边：
（3）函数： 分类：直角顶点
画图
解题
构造相似三角形 勾股定理
1
21-=⋅k k C
六、课后练习
（2012山东）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，
点C 为 (－1，0) ．如图所示，B 点在抛物线y ＝12x 2＋1
2
x －2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且
B 点横坐标为－3．
（1）求证：△BDC ≌△COA ； （2）求BC 所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。