高二数学不等式的性质1

注意：在解决含字母的代数式问题 时，不要忘记代数式中字母的取值范围， 一般情况下，取值范围是实数集时可以 省略不写． 例 1 、例 2 是用作差比较法来比较两 个实数的大小，其一般步骤是： 作差——变形——判断符号．
这样，就把两个数的大小问题转化 为判断它们差的符号问题，至于差本身 是多少，在此无关紧要．
课堂练习：
1 3. 设a > 0且a 1，t > 0，比较 log a t 2 t 1 与 loga 的大小． 2
当a > 1时，≤；当0 < a < 1时，≥．
4. 设a > 0且a 1，比较loga(a3 + 1)与 > loga(a2 + 1)的大小．
小结：
本节学习了实数的运算性质与大小 顺序之间的关系，并以此关系为依据， 研究了如何比较两个实数的大小，其具 体解题步骤可归纳为： 1. 第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式； 2. 第二步：判断差值与零的大小关系， 必要时须进行讨论； 3. 第三步：得出结论．
例题讲解
例 2 已知 x≠0 ，比较 (x2+1)2 与 > x4+x2+1 的大小． 分析：此题与例 1 基本类似，也属于 两个代数式比较大小，但是其中的x有一 定的限制，应该在对差值正负判断时引 起注意 ． 本题知识点：乘法公式，去括号法 则，合并同类项．
思考：例2中，若没有x≠0这个条件， 则结论如何？
小结：
简言之就是：
作差→变形→定号→结论． 在某些特殊情况下 ( 如两数均为正， 且作商后易于化简)还可考虑运用作商法 比较大小．它与作差法的区别在于第二 步，作商法是判断商值与1的大小关系．
y = + 的大小. 2.比较2sin与sin2的大小(0<<2). 3.教材P5练习中第1、2、3题. 4.教材P8习题6.1中第1、2、3题.
y
课堂练习：
1. 在以下各题的横线处适当的不等号： (1) ( 3 2) _____ < 6 2 6;
2
(2) ( 3 2) _____( 6 1) ; <
2 2
(3)
1
(4) 当a > b > 0时，log 1 a < log 1 b．
2 2
52
_____ <
1
6 5
;
课堂练习：
2. 若a < 0，－1 < b < 0，则有( D ) A．a > ab > ab2 B．ab2 > ab > a C．ab > a > ab2 D．ab > ab2 > a 分析：利用作差比较法判断 a， ab ， ab2的大小即可． 分析：也可取特殊值判断 a ， ab ， ab2 的大小即可．
例题讲解
例1比较(a+3)(a5)与 < (a+2)(a4)的大小. 分析：此题属于两代数式比较大小， 实际上是比较它们的值的大小，可以作 差，然后展开，合并同类项之后，判断 差值正负(注意是指差的符号，至于差的 值究竟是多少，在这里无关紧要)．并根 据实数运算的符号法则来得出两个代数 式的大小．把比较两个实数大小的问题 转化为实数的运算符号问题． 本题知识点：整式乘法，去括号法 则，合并同类项．
第六章
不等式
1、不等式的定义： 用不等号连接两个解析式所得的式 子，叫做不等式．
说明：(1) 不等号的种类：>、<、 (≮)、 (≯ )、 .
(2) 解析式是指：代数式和超越式(包 括指数式、对数式和三角式等) (3) 不等式研究的范围是实数集R．
2、判断两个实数大小的充要条件： 对于任意两个实数a、b，在a > b， a = b，a < b三种关系中有且仅有一种成 立．判断两个实数大小的充要条件是： a > b a b > 0； a = b a b = 0； a < b a b < 0； 由此可见，要比较两个实数的大小，只 要考察它们的差的符号就可以了，这好比 站在同一水平面上的两个人，只要看一下 他们的差距，就可以判断他们的高矮了．
引例
生活中为什么糖水中加的糖越多越 甜呢？ 转化为数学问题就是： a克糖水中含有b克糖(a > b > 0)，若再加 m(m > 0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
b 分析：起初的糖水浓度为 ，加入m克糖 a b bm b m 后的糖水浓度为 ，只要证 a m > a am
即可．怎么证呢？
引言
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物 的形状结构，事与事成因与结果的不同等等 都表现出不等的关系，这表明现实世界中的 量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局 部的、相对的．研究不等关系，反映在数学 上就是证明不等式与解不等式．实数的差的 正负与实数的大小的比较有着密切关系，这 种关系是本章内容的基础，也是证明不等式 与解不等式的主要依据．因此，本节课我们 有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺 序之间的关系．
例3 已知a > b > 0，m > 0，试比较
b bm 与 am > a
的大小．
说明：这就揭示了“糖水加糖甜更 甜”的数学内涵． 其实，这就是真分数的性质，即： 真分数的分子、分母同时加上一个正数， 分数的值变大．
例4 比较a4 b4 与 4a3(a b)的大小．
说明：“变形”是解题的关键，是 最重要的一步．因式分解、配方、凑成 若干个平方和等是“变形”的常用方 x 法． 例5 已知x > y，且y ≠ 0，比较 与1 当y > 0时，>；当y < 0时，<． 的大小． 说明：“变形” 的目的是为了判 定符号，此题定号时，要根据字母取值 (分y >0与y < 0讨论) 范围，进行分类讨论．
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户照进来的月光时而明亮，时而昏暗。耿正的内心随着月光的明暗变化，也时而清晰，时而迷茫兄妹三人已经默默地在大木床上躺了 好一会儿了，但似乎谁也不想先开口说话。良久，耿英轻轻地说：“哥，咱们的日常消费实在是不能再节俭了，但剩的钱不多了，咱 得赶快想办法赚钱啊！”耿直赶快说：“姐姐，我还可以再少吃一点儿！”耿正摸摸弟弟的头，轻轻地说：“又说傻话了不是！赚不 来钱，光知道扎住嘴巴怎么行啊。哥已经有想法了，只是还有些犹豫不决”看到哥哥一直沉吟着没有下文，耿英轻轻地说：“哥，我 知道，你是在打算利用你那一手好二胡来起步了。我没有说错吧！”耿正吃惊地问：“你怎么知道的？”耿英轻轻地叹一口气，说： “唉，这还不明摆着的事情嘛。连着几天了，你在那几家大酒店的门口望着那些个艺人出神，回来了又拿起咱们的那把二胡不说话我 知道，你一直犹豫不决是因为担心我，你不想让我做卖艺的人其实没有什么的，我也会一些呢，弟弟也能说会唱的最重要的是做这个 不需要本钱，最多也就是再买两个笛子而已咱们不是打听过了嘛，那些个在大酒店里献艺的人赚得银子不少呢咱们可以先做做看的。 等赚到的银子够做其他生意了，咱再改行做其他生意”听妹妹如此说，耿正终于下决心了。第二天一早，耿正兄妹三人洗漱收拾停当 以后，都穿上前年儿刚到汉口镇上时爹爹给他们买的另一套从来没有舍得穿过的新衣服。这套衣服比穿过的那一套略微宽大一些，尤 其耿直的那一套更是大了一号。因此，虽然过去一年半了，他们或多或少地都长高长大了一些，但穿起来一看，衣服都非常合适。耿 直难过地说：“爹怎么知道我会长大这么多啊！”耿英叹一口气，轻轻地说：“咳，爹是看着我们长大的啊！”看到弟弟妹妹提起爹 爹来又要难过了，耿正赶快提醒他们：“今儿个咱们是去应试的，要打起精神来才好，必须注意所有的言行举止啊！”耿英点点头， 轻轻地说：“哥你放心，我知道！”耿直也说：“我也知道！”看看再没有什么需要准备的了，耿正带上那把跟随他们转辗而来的心 爱的二胡，和弟弟妹妹一起，先去“梁计小饭店”吃了最简单的早饭。然后，兄妹三人就直接奔离十字大街不远的“盛元酒店”去了。 兄妹仨前几日在街面上转悠着寻找活儿干的时候，耿正就已经注意到了，这“盛元酒店”在景德镇上虽然算不上数一数二的大酒店， 但其生意却特别好，几乎每日里的午餐和晚餐饭点儿上都是桌桌满座，这就表明，这家酒店的人气儿好！而酒店的人气儿好，也就直 接映射出来，该酒店老板的人品应该不会错的。更重要的是，耿正还留意观察，发现这家酒店的伙计们，对那些来这里献艺的艺人们 都很尊重，客客气气迎进送出的。当然，那些经常来此献艺的几个艺