高中数学 第一章 集合 1.2.2 集合的运算 第2课时 补集学案 新人教B版必修1-新人教B版高一

第2课时补集
1．了解全集、补集的概念．2．理解补集的性质．3．掌握补集的求法．
1．全集
在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，用符号U表示．
2．补集
设U是全集，A是U的一个子集(A⊆U)，则由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作∁U A，读作A在U中的补集．
3．补集的性质
由补集的定义可知，对任意集合A，有
(1)A∪(∁U A)＝U；(2)A∩(∁U A)＝∅；
(3)∁U(∁U A)＝A．
1．设U＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝{1，3，5，7}，则∁U M＝( )
A．{1，2，7} B．{4，6}
C．{2，4，6} D．{2，4}
答案：C
2．下列叙述：
①∁U A＝{x|x∉A}；②∁U∅＝U；
③A∪(∁U A)＝∅；④若U＝{1，2，3}，A＝{2，3，4}，则∁U A＝{1}．
其中正确的序号是________．
解析：①应为∁U A＝{x|x∈U且x∉A}；
②正确；③应为A∪(∁U A)＝U；
④因为A⃘U，
所以∁U A无意义．
答案：②
3．全集一定包含任何一个元素吗？
解：不一定．全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，它含有与所研究问题有关
的各个集合的全部元素，而不一定包含任何一个元素．例如，全集U＝Q，而2∉U．
全集与补集
(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁U A为( )
A．{x∈R|0<x<2} B．{x∈R|0≤x<2}
C．{x∈R|0<x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2}
(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3，3，4}，则∁U A＝________，∁U B＝________．
【解析】(1)借助数轴易得∁U A＝{x∈R|0<x≤2}．
(2)法一：在集合U中，
因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3，3，4，5，所以U＝{－5，－4，－3，3，4，5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3，5}，
所以∁U A＝{－5，－4，3，4}，∁U B＝{－5，－4，5}．
法二：可用Venn图表示
则∁U A＝{－5，－4，3，4}，∁U B＝{－5，－4，5}．
【答案】(1)C (2){－5，－4，3，4} {－5，－4，5}
求集合补集的策略
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错．
(2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解．
设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－3＜x≤2}．
(1)求∁U A，∁U B；
(2)判断∁U A与∁U B的关系．
解：(1)因为A＝{x|x≥－3}，
所以∁U A＝∁R A＝{x|x＜－3}．
又因为B＝{x|－3＜x≤2}，
所以∁U B＝{x|x≤－3或x＞2}．
(2)由数轴可知：
显然∁U A∁U B．
集合的交、并、补的运算
设全集U＝R，集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|1<x<3}，求A∩B，A∪B，∁U(A∩B)，∁U(A∪B)．
【解】集合A，B在数轴上表示如图所示：
A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|1<x<3}＝{x|1<x<2}；
A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}；
∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x≥2}；
∁U(A∪B)＝{x|x≤－1或x≥3}．
解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．
(2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于( ) A．{x|－2<x≤1}
B．{x|x≤－4}
C．{x|x≤1}
D．{x|x≥1}
解析：选C．因为S＝{x|x>－2}，
所以∁R S＝{x|x≤－2}．
而T ＝{x |－4≤x ≤1}，
所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤－2}∪{x |－4≤x ≤1} ＝{x |x ≤1}．
补集思想的应用
已知集合A ＝{x |x 2
－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x ＜0}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的
取值范围．
【解】 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}＝⎩
⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－1，或m ≥32，若方程x
2
－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负，则⎩⎪⎨⎪
⎧Δ≥0，x 1＋x 2＝4m ≥0，x 1·x 2＝2m ＋6≥0，
⇒m ≥3
2
．
因为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≥32在全集U 中补集为{m |m ≤－1}．
所以实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．
A ∩
B ≠∅说明方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的根可能①有两负根；②一负根一零根；③一负
根一正根．三种情况讨论很麻烦，可求出两根均为非负时m 的范围，然后利用“补集”求解．
已知A ＝{x |x 2
－2x －8＝0}，B ＝{x |x 2
＋ax ＋a 2
－12＝0}．若B ∪A ≠A ，
求实数a 的取值范围．
解：若B ∪A ＝A ，则B ⊆A ．
又因为A ＝{x |x 2
－2x －8＝0}＝{－2，4}， 所以集合B 有以下三种情况：
①当B ＝∅时，Δ＝a 2
－4(a 2
－12)＜0，即a 2
＞16， 所以a ＜－4或a ＞4．
②当B 是单元素集时，Δ＝a 2
－4(a 2
－12)＝0， 所以a ＝－4或a ＝4．
若a ＝－4，则B ＝{2}⃘A ；若a ＝4，则B ＝{－2}⊆A ．
③当B ＝{－2，4}时，－2，4是方程x 2
＋ax ＋a 2
－12＝0的两根，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧－a ＝－2＋4，
a 2－12＝－2×4，所以a ＝－2．
综上可得，B∪A＝A时，a的取值范围为a＜－4或a＝－2或a≥4．
所以满足B∪A≠A的实数a的取值范围为{a|－4≤a＜4且a≠－2}．
求参数的取值范围
设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，求实数m的取值范围．
【解】由已知A＝{x|x≥－m}，
得∁U A＝{x|x<－m}，
因为B＝{x|－2<x<4}，(∁U A)∩B＝∅，
在数轴上表示，如图，
所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是m≥2．
1．若将本例中的条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U A)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解：由已知得A＝{x|x≥－m}，
所以∁U A＝{x|x<－m}，又(∁U A)∩B≠∅，所以－m>－2，解得m<2．
2．若将本例中的条件“(∁U A)∩B＝∅”改为“(∁U B)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解：由已知A＝{x|x≥－m}，
∁U B＝{x|x≤－2或x≥4}．
又(∁U B)∪A＝R，
所以－m≤－2，解得m≥2．
由集合的补集求解参数的方法
(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．
(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．
1．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁U A＝{3}，则实数a
等于( )
A ．0或2
B ．0
C ．1或2
D ．2
解析：选D ．由题意，知⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2
a 2－2a ＋3＝3，得a ＝2．
2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1}，B ＝{x |2a <x <a ＋3}，且B ⊆∁R A ，求实数a 的取值范围．
解：由题意得∁R A ＝{x |x ≥－1}，
①若B ＝∅，则a ＋3≤2a ，即a ≥3，满足B ⊆∁R A ； ②若B ≠∅，则由B ⊆∁R A ，得2a ≥－1且2a <a ＋3， 即－1
2
≤a <3．
综上，可得实数a 的取值范围是{a |a ≥－1
2
}．
1．补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在同一个全集中的补集也不同．另外全集是一个相对概念．
2．符号∁U A 存在的前提是A ⊆U ，这也是解有关补集问题的一个隐含条件，充分利用题目中的隐含条件也是我们解题的一个突破口．
集合语言的正确理解对题目的正确解答非常重要，因此一定要认真审题，理解好题意，对基本知识也要掌握牢固，只有这样，才能对题目做出正确解答．
1．设全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3，5}，B ＝{2，3}，则(∁U A )∪B ＝( ) A ．{2} B ．{2，3} C ．{2，4}
D ．{2，3，4}
解析：选D ．∁U A ＝{2，4}，(∁U A )∪B ＝{2，3，4}，故选D ． 2．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－1≤x ≤3}，则∁U M 等于( ) A ．{x |－1＜x ＜3} B ．{x |－1≤x ≤3} C ．{x |x ＜－1或x ＞3}
D ．{x |x ≤－1或x ≥3}
解析：选C ．集合M 的数轴表示如图所示， 由补集的定义，并结合数轴解题．
因为M＝{x|－1≤x≤3}，
所以∁U M＝{x|x＜－1或x＞3}．
3．设全集为U，用集合A、B、C的交、并、补集符号表示图中的阴影部分为________．
答案：(∁U C)∩(A∩B)
4．设全集为R，A＝{x|x<0或x≥1}，B＝{x|x≥a}，若∁R A⊆∁R B，则a的取值范围是________．
解析：∁R A＝{x|0≤x＜1}，
∁R B＝{x|x＜a}．
又∁R A⊆∁R B，
结合数轴(如图)，
可得a≥1．
答案：a≥1
[A 基础达标]
1．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∪B)＝( ) A．{2，6} B．{3，6}
C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}
解析：选A．由题知A∪B＝{1，3，4，5}，所以∁U(A∪B)＝{2，6}．故选A．
2．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，5}，∁U B＝{4，5，6}，则A∩B ＝( )
A．{1，2} B．{5}
C．{1，2，3} D．{3，4，6}
解析：选A．因为∁U B＝{4，5，6}，所以B＝{1，2，3}，所以A∩B＝{1，2，5}∩{1，2，3}＝{1，2}，故选A．
3．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}
解析：选D．由已知得A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，
故∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．
4．已知全集U＝{1，2，3，4}，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(∁U B)＝( ) A．{3} B．{4}
C．{3，4} D．∅
解析：选A．因为全集U＝{1，2，3，4}，且∁U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1，2，3}，又B＝{1，2}，所以∁U B＝{3，4}，A＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，所以A∩(∁U B)＝{3}．故选A．
5．设全集U是实数集R，M＝{x|x＜－2，或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}．如
图所示，则阴影部分所表示的集合为( )
A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤3}
C．{x|x≤2，或x>3} D．{x|－2≤x≤2}
解析：选A．阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x ＜1或x＞3}＝{x|－2≤x＜1}．故选A．
6．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为________．
解析：A＝{1，2}，B＝{2，4}，
所以A∪B＝{1，2，4}，
所以∁U(A∪B)＝{3，5}，故有2个元素．
答案：2
7．设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1，2}，则实数m＝________．解析：由题意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0，3}，
即0，3为方程x2＋mx＝0的两根，所以m＝－3．
答案：－3
8．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x<b}，∁U A＝{x|x<1或x≥2}，则实数b＝________．解析：因为∁U A＝{x|x<1或x≥2}，
所以A＝{x|1≤x<2}．所以b＝2．
答案：2
9．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足(∁R A)∩B＝{2}，A
∩(∁R B )＝{4}，求实数a ，b 的值．
解：由条件(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A ；4∈A ，但4∉ B ．将x
＝2和x ＝4分别代入B ，A 两集合中的方程得⎩
⎪⎨⎪⎧22
－2a ＋b ＝0，
42＋4a ＋12b ＝0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧4－2a ＋b ＝0，
4＋a ＋3b ＝0. 解得a ＝87，b ＝－12
7
即为所求．
10．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，P ＝⎩⎨⎧x ⎪
⎪⎪⎭⎬⎫
x ≤0或x ≥52．
(1)求(∁U B )∪P ； (2)求(A ∩B )∩(∁U P )． 解：借助数轴，如图．
(1)因为∁U B ＝{x |x ≤－1或x >3}，
所以(∁U B )∪P ＝⎩⎨⎧x ⎪
⎪⎪⎭⎬⎫
x ≤0或x ≥52． (2)A ∩B ＝{x |－1<x ≤2}．
∁U P ＝⎩⎨⎧x ⎪
⎪⎪⎭⎬⎫
0<x <52，
所以(A ∩B )∩(∁U P )
＝{x |－1<x ≤2}∩⎩⎨⎧x ⎪
⎪⎪⎭⎬⎫
0<x <52 ＝{x |0<x ≤2}．
[B 能力提升]
11．已知A ，B 均为集合U ＝{1，3，5，7，9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝( )
A ．{1，3}
B ．{3，7，9}
C ．{3，5，9}
D ．{3，9}
解析：选D ．因为A ∩B ＝{3}，所以3∈A ，又(∁U B )∩A ＝{9}，所以9∈A ．若5∈A ，则5∉B (否则5∈A ∩B )，从而5∈∁U B ，则(∁U B )∩A ＝{5，9}，与题中条件矛盾，故5∉A ．
同理1∉A ，7∉A ，故A ＝{3，9}．
12．已知M ＝{x |x <－2或x ≥3}，N ＝{x |x －a ≤0}，若N ∩∁R M ≠∅(R 为实数集)，则a 的取值范围是( )
A ．{a |a ≤3}
B ．{a |a >－2}
C ．{a |a ≥－2}
D ．{a |－2≤a ≤2}
解析：选C ．由题意知∁R M ＝{x |－2≤x ＜3}，N ＝{x |x ≤a }． 因为N ∩∁R M ≠∅， 所以a ≥－2．
13．已知A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }． (1)当m ＝1时，求A ∪B ；
(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围． 解：(1)m ＝1时，B ＝{x |1≤x <4}，
A ∪
B ＝{x |－1<x <4}．
(2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x >3}． 当B ＝∅，即m ≥1＋3m 时， 得m ≤－1
2，满足B ⊆∁R A ，
当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，
则⎩
⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，m >3， 解之得m >3．
综上可知，实数m 的取值范围是m >3或m ≤－12
．
14．(选做题)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2
＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2
＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，求实数m 的值．
解：由已知，得A ＝{－2，－1}， 由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，
因为方程x 2
＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2
－4m ＝(m －1)2
≥0，所以B ≠∅． 所以B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；
②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，
所以B ≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2．
经检验，知m＝1，m＝2均符合条件．
所以m＝1或2．。