山西省重点中学协作体2015-2016学年高二数学下学期第一次联考试卷(含解析)

2015-2016学年山西省重点中学协作体高二（下）第一次联考数学试
卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的ABCD四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U=R，集合A={x|＜0}，B={x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于（）
A．A∩B B．A∪B C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）
2．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知等比数列{a n}的前n项和S n，且a1+a3=，a2+a4=，则=（）
A．4n﹣1B．4n﹣1 C．2n﹣1D．2n﹣1
4．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（）
A．①②③B．②④ C．③④ D．②③④
5．方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示的曲线是圆，则a的取值范围是（）
A．R B．（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）C．（﹣，2）D．（﹣2，）
6．已知f（x+1）为偶函数，且f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，a=f（2），b=f（log32），
c=f（），则有（）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b
7．已知函数f（x）=x2的图象在点A（x1，f（x1））与点B（x2，f（x2））处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是（）
A．（﹣，3）B．（0，﹣4）C．（2，3）D．（1，﹣）
8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线BD1垂直的概率为（）
A． B． C． D．
9．设原命题为：“若空间两个向量与（≠）共线，则存在实数λ，使得=λ”，
则其逆命题、否命题、逆否命题为真的个数（）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．若a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是（）
A．a+B．a﹣C．D．
11．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=的最小值为（）
A．2 B．1 C．4 D．5
12．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，
△ABC的面积为，那么b为（）
A．B．C．D．
二．填空题：本大题共4小题，共20分.
13．设，q：0＜x＜m，若p是q成立的充分不必要条件，则m的取值范围是．
14．函数y=log3（2cosx+1），x∈的值域是．
15．定义在R上的函数f（x）：当sinx≤cosx时，f（x）=cosx；当sinx＞cosx时，f（x）=sinx．给出以下结论：
①f（x）是周期函数
②f（x）的最小值为﹣1
③当且仅当x=2kπ（k∈Z）时，f（x）取最大值
④当且仅当时，f（x）＞0
⑤f（x）的图象上相邻最低点的距离是2π
其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）
16．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围
是．
三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答时必须写出必要文字说明．
17．已知函数f（x）=sinx+acosx的一个零点是．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g（x）=[f（x）]2﹣2sin2x，求g（x）的单调递增区间．
18．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}
的前n项和S n．
19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b（cosA﹣2cosC）=（2c﹣a）cosB．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若cosB=，△ABC的周长为5，求b．
20．已知动圆P与圆F1：（x+3）2+y2=81相切，且与圆F2：（x﹣3）2+y2=1相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ 的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；
（Ⅲ）记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S=S1+S2，求S的最大值．
21．在经济学中，函数f（x）的边际函数定义为Mf（x）=f（x+1）﹣f（x）．某公司每月生产x台某种产品的收入为R（x）元，成本为C（X）元，且R（x）=3000x﹣20x2，C（x）=500x+4000（x∈N*）．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．
（I）求利润函数P（x）I以及它的边际利润函数MP（x）；
（II）求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．
22．已知函数f（x）=（ax2+bx+c）e x在[0，1]上单调递减且满足f（0）=1，f（1）=0．（1）求a取值范围；
（2）设g（x）=f（x）﹣f′（x），求g（x）在[0，1]上的最大值和最小值．
2015-2016学年山西省重点中学协作体高二（下）第一次联考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的ABCD四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U=R，集合A={x|＜0}，B={x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于（）
A．A∩B B．A∪B C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先解分式不等式化简集合A，求出集合A与集合B的并集，观察得到集合{x|x≤0}是集合（A∪B）在实数集中的补集．
【解答】解：由，得x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1．
所以A={x|＜0}={x|0＜x＜1}，
又B={x|x≥1}，
则A∪B={x|0＜x＜1}∪{x|x≥1}={x|x＞0}，
所以，集合{x|x≤0}=C U（A∪B）．
故选D．
2．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充要条件．
【分析】利用菱形的特征以及对角线的关系，判断“四边形ABCD为菱形”与“AC⊥BD”的推出关系，即可得到结果．
【解答】解：四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”那么菱形的对角线垂直，即“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BD”，
但是“AC⊥BD”推不出“四边形ABCD为菱形”，例如对角线垂直的等腰梯形，或筝形四边形；
所以四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．
故选：A．
3．已知等比数列{a n}的前n项和S n，且a1+a3=，a2+a4=，则=（）
A．4n﹣1B．4n﹣1 C．2n﹣1D．2n﹣1
【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列{a n}的前n项和S n，且a1+a3=，a2+a4=，求出q=，a1=2，可得a n、
S n，即可得出结论．
【解答】解：∵等比数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1+a 3=，a 2+a 4=，
∴两式相除可得公比q=，
∴a 1=2，
∴a n ==，S n ==4（1﹣），
∴=2n ﹣1，
故选：D ．
4．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①BM 与ED 平行；
②CN 与BE 是异面直线；
③CN 与BM 成60°角；
④DM 与BN 垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A ．①②③
B ．②④
C ．③④
D ．②③④
【考点】棱柱的结构特征．
【分析】正方体的平面展开图复原为正方体，不难解答本题．
【解答】解：由题意画出正方体的图形如图：
显然①②不正确；③CN 与BM 成60°角，即∠ANC=60°
正确；④DM⊥平面BCN ，所以④正确；
故选C ．
5．方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示的曲线是圆，则a的取值范围是（）
A．R B．（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）C．（﹣，2）D．（﹣2，）
【考点】二元二次方程表示圆的条件．
【分析】根据圆的一般方程进行求解即可．
【解答】解：若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示的曲线是圆，
则a2+（2a）2﹣4（2a2+a﹣1）＞0，
即﹣3a2﹣4a+4＞0，
则3a2+4a﹣4＜0，
解得﹣2＜a＜，
故选：D
6．已知f（x+1）为偶函数，且f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，a=f（2），b=f（log32），
c=f（），则有（）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】利用函数y=f（x+1）为偶函数得到f（﹣x+1）=f（x+1），可以得到函数关于x=1对称，然后利用当x≥1时，函数的单调性比较大小．
【解答】解：函数y=f（x+1）为偶函数，则f（﹣x+1）=f（x+1），
∴函数y=f（x）关于x=1对称，
∵f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，
∴f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增，
则f（2）=f（0），
∵0＜＜log32，
∴f（0）＜f（）＜f（log32），
故a＜c＜b，
故选：D．
7．已知函数f（x）=x2的图象在点A（x1，f（x1））与点B（x2，f（x2））处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是（）
A．（﹣，3）B．（0，﹣4）C．（2，3）D．（1，﹣）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】由已知函数解析式求得A，B的坐标，求出原函数的导函数，得到函数在A，B两点
出的导数值，由图象在点A（x1，f（x1））与点B（x2，f（x2））处的切线互相垂直得到，
由点斜式写出过A，B两点的切线方程，通过整体运算求得，即P点纵坐标
为，然后逐一核对四个选项可得答案．
【解答】解：由题意可知，（x1≠x2），
由f（x）=x2，得f′（x）=2x，
则过A，B两点的切线斜率k1=2x1，k2=2x2，
又切线互相垂直，
∴k1k2=﹣1，即．
两条切线方程分别为，
联立得（x1﹣x2）[2x﹣（x1+x2）]=0，
∴2x﹣（x1+x2）=0，x=．
代入l1得，，
结合已知选项可知，P点坐标可能是D．
故选：D．
8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线BD1垂直的概率为（）
A． B． C． D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是从20个点中取2个，但每条棱上3点任取2个是重复的，满足条件的事件是要与面A1DC1平行或在其面内，与A1C1平行或重合的有9条，根据古典概型公式得到结果．
【解答】解：解：由题意知本题是一个古典概型，
从20个点中取2个，共=190，
但每条棱上3点任取2个是重复的，
∴分母为190﹣12+12=166，
要与BD1垂直，则应与面A1DC1平行或在其面内，与A1C1平行或重合的有9条，共27条，
∴P=．
故选：D．
9．设原命题为：“若空间两个向量与（≠）共线，则存在实数λ，使得=λ”，
则其逆命题、否命题、逆否命题为真的个数（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】四种命题．
【分析】根据四种命题真假关系进行判断即可．
【解答】解：原命题为：“若空间两个向量与（≠）共线，则存在实数λ，使得
=λ”，则原命题正确，
则根据逆否命题的等价性质知，逆否命题为真命题，
命题的逆命题为若空间两个向量与（≠），若存在实数λ，使得=λ”，则两
个向量与（≠）共线，根据共线定理得正确，则逆命题为真命题，
则命题的否命题为真命题，
故其逆命题、否命题、逆否命题都为真命题，
故选：C
10．若a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是（）
A．a+B．a﹣C．D．
【考点】不等式的基本性质．
【分析】根据不等式的性质进行判断即可．
【解答】解：∵a＞b＞0，
∴＞＞0，
则a+＞0，
故选：A．
11．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=的最小值为（）
A．2 B．1 C．4 D．5
【考点】简单线性规划．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分．设P（0，﹣1），点Q（x，
y）是区域内的动点，可得z=表示直线PQ的斜率，再将点Q移动，观察倾斜角的变化
即可得到z的最小值，从而得到本题答案．
【解答】解：设直线x+y=3与直线x﹣y=﹣1交于点A，直线x﹣y=﹣1与直线2x﹣y=3交于点B，
直线x+y=3与直线2x﹣y=3交于点C，
可得A（1，2），B（4，5），C（2，1）
不等式组表示的平面区域为直线AB下方，
且在直线AC、BC上方的部分，如图所示．
设P（0，﹣1），点Q（x，y）是区域内的动点
可得z=，表示直线PQ的斜率，运动点Q，可得
当Q与C重合时，z==1，此时z达到最小值
故选：B
12．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，
△ABC的面积为，那么b为（）
A．B．C．D．
【考点】数列与三角函数的综合．
【分析】根据等差中项的性质可知2b=a+c．平方后整理得a2+c2=4b2﹣2ac．利用三角形面积求得ac的值，进而把a2+c2=4b2﹣2ac．代入余弦定理求得b的值．
【解答】解：∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c．
平方得a2+c2=4b2﹣2ac．
又△ABC的面积为，且∠B=30°，
故由S△=acsinB=ac•sin30°=ac=，
得ac=2，
∴a2+c2=4b2﹣4．
由余弦定理
cosB====．
解得b2=．
又∵b为边长，
∴b=．
故选C．
二．填空题：本大题共4小题，共20分.
13．设，q：0＜x＜m，若p是q成立的充分不必要条件，则m的取值范围是
（2，+∞）．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】将条件关系转化为集合的包含关系；据集合的包含关系得到集合的端点的大小关系，列出不等式即可求出m的范围．
【解答】解：解不等式可得：0＜x＜2，
因为p是q成立的充分不必要条件，
所以集合{x|0＜x＜2}是集合{x|0＜x＜m}的真子集
∴m＞2
故答案为：（2，+∞）
14．函数y=log3（2cosx+1），x∈的值域是（﹣∞，1] ．
【考点】对数函数的值域与最值．
【分析】利用换元法，结合三角函数和对数函数的图象和性质，即可得到函数的值域．【解答】解：设t=2cosx+1，
∵x∈，
∴，
即0＜t≤3，
∵y=log3t为增函数，
∴log3t≤log33=1，
即y≤1，
∴函数的值域为（﹣∞，1]，
故答案为：（﹣∞，1]．
15．定义在R上的函数f（x）：当sinx≤cosx时，f（x）=cosx；当sinx＞cosx时，f（x）=sinx．给出以下结论：
①f（x）是周期函数
②f（x）的最小值为﹣1
③当且仅当x=2kπ（k∈Z）时，f（x）取最大值
④当且仅当时，f（x）＞0
⑤f（x）的图象上相邻最低点的距离是2π
其中正确命题的序号是①④⑤．（把你认为正确命题的序号都填上）
【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．
【分析】根据题意，做出函数在一个周期上的图象，观察函数的图象，分别求解函数的周期，最值及取得最值的条件分别进行验证即可．
【解答】解：做出正弦函数y=sinx与y=cosx在一个周期上的图象如下图，取函数的最大值观察图象可知函数以2π为周期的周期函数，故①正确
观察函数的图象可得函数的最小值为﹣，故②错误
当故③错误
由图象可知，当时，f（x）＞0，故④正确
由图象可知相邻的最低点的距离为一个周期即2π，故⑤正确
故答案为：①④⑤
16．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是﹣4
＜m＜2 ．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】先把x+2y转化为（x+2y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2+2m求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．
【解答】解：∵，∴x+2y=（x+2y）=4++≥4+2=8
∵x+2y＞m2+2m恒成立，
∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2
故答案为：﹣4＜m＜2．
三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答时必须写出必要文字说明．
17．已知函数f（x）=sinx+acosx的一个零点是．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g（x）=[f（x）]2﹣2sin2x，求g（x）的单调递增区间．
【考点】正弦函数的单调性；函数的零点．
【分析】（I）根据函数解析式，得f（）=，将sin=、
cos=﹣代入，即可解出a的值；
（II）由（Ⅰ）得 f（x）=sinx+cosx，由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简整理得g
（x）=，结合正弦函数的单调性，解关于x的不等式即可得到求g（x）的
单调递增区间．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sinx+acosx，且，
∴，
即，解之得a=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）=sinx+cosx．
∴g（x）=[f（x）]2﹣2sin2x
=（sinx+cosx）2﹣2sin2x=sin2x+cos2x=．
解不等式，
得，k∈Z．
∴函数g（x）的单调递增区间为，k∈Z．
18．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}
的前n项和S n．
【考点】数列的求和；等比数列的性质；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出=，所以cosA=，由此能求出A=．（Ⅱ）由已知条件推导出（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，由此能求出a n=2n，从而得
以==，进而能求出{}的前n项和S n．
【解答】解：（Ⅰ）∵b2+c2﹣a2=bc，
∴=，
∴cosA=，
∵A∈（0，π），∴A=．
（Ⅱ）设{a n}的公差为d，
∵a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，
∴a1==2，且=a2•a8，
∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，解得d=2，
∴a n=2n，
∴==，
∴S n=（1﹣）+（）+（）+…+（）
=1﹣=．
19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b（cosA﹣2cosC）=（2c﹣a）cosB．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若cosB=，△ABC的周长为5，求b．
【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理化简即可求出所求式子的值；
（Ⅱ）由第一问c=2a，代入a+b+c=5中，表示出b，利用余弦定理列出关系式，将表示出的b，c以及cosB代入求出a的值，即可确定出b的值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，有===2R，
又b（cosA﹣2cosC）=（2c﹣a）cosB，
∴sinB（cosA﹣2cosC）=（2sinC﹣sinA）cosB，即sinBcosA﹣2sinBcosC=2sinCcosB﹣sinAcosB，
∴sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA，
则c=2a，即=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）∵c=2a，a+b+c=5，
∴b=5﹣（a+c）=5﹣3a，
由余弦定理得：b2=c2+a2﹣2accosB，
∴（5﹣3a）2=（2a）2+a2﹣4a2×，
解得：a=1或a=5，
当a=1时，b=2；当a=5时，与a+b+c=5矛盾，
则b=2．
20．已知动圆P与圆F1：（x+3）2+y2=81相切，且与圆F2：（x﹣3）2+y2=1相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ 的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；
（Ⅲ）记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S=S1+S2，求S的最大值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R，由已知条件推导出|PF1|+|PF2|=8＞|F1F2|=6，从而圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，由此能求出圆心P的轨迹C的方程．
（II）设直线OQ：x=my，则直线MN：x=my+3，由，能求出|OQ|2，由，
能求出|MN|，由此能求出|MN|和|OQ|2的比值为常数．
（III）由△QF2M的面积=△OF2M的面积，能求出S=S1+S2的最大值．
【解答】（本小题满分13分）
解：（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R
由于动圆P与圆相切，
且与圆相内切，所以动
圆P与圆只能内切
∴，∴|PF1|+|PF2|=8＞|F1F2|=6…
∴圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a=8，2c=6，
∴a=4，c=3，b2=a2﹣c2=7
故圆心P的轨迹C：．…
（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），
直线OQ：x=my，则直线MN：x=my+3
由，得：，∴，
∴…
由，得：（7m2+16）y2+42my﹣49=0，
∴，
∴
==
=…
∴，
∴|MN|和|OQ|2的比值为一个常数，这个常数为…
（III）∵MN∥OQ，∴△QF2M的面积=△O F2M的面积，
∴S=S1+S2=S△OMN
∵O到直线MN：x=my+3的距离，
∴…
令，则m2=t2﹣1（t≥1），
∵（当且仅当，即，亦即时取等号）
∴当时，S取最大值…
21．在经济学中，函数f（x）的边际函数定义为Mf（x）=f（x+1）﹣f（x）．某公司每月生产x台某种产品的收入为R（x）元，成本为C（X）元，且R（x）=3000x﹣20x2，C（x）=500x+4000（x∈N*）．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．
（I）求利润函数P（x）I以及它的边际利润函数MP（x）；
（II）求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（I）由“利润等于收入与成本之差．”可求得利润函数p（x），由“边际函数为Mf （x），定义为Mf（x）=f（x+1）﹣f（x）”可求得边际函数；
（II）由二次函数法研究p（x）的最大值，由一次函数法研究Mp（x），对照结果即可．【解答】解：（I）根据题意：
p（x）=R（x）﹣C（x）=﹣20x2+2500x﹣4000，（x≤100）．
Mp（x）=p（x+1）﹣p（x）
=﹣20（x+1+x）（x+1﹣x）+2500（x+1﹣x）
=﹣40x+2480（x≤100）．
（II）∵p（x）=﹣20x2+2500x﹣4000
=﹣20（x﹣62.5）2+74125
∴当x=62，63时，函数最大值为：74120
∵Mp（x）=﹣40x+2480
∴当x=0时，函数最大值为：2480
所以利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为：74120﹣2480=71680元．
22．已知函数f（x）=（ax2+bx+c）e x在[0，1]上单调递减且满足f（0）=1，f（1）=0．（1）求a取值范围；
（2）设g（x）=f（x）﹣f′（x），求g（x）在[0，1]上的最大值和最小值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）由题意，函数f（x）=（ax2+bx+c）e x在[0，1]上单调递减且满足f（0）=1，f（1）=0，可求出函数的导数，将函数在[0，1]上单调递减转化为导数在[0，1]上的函数值恒小于等于0，再结合f（0）=1，f（1）=0这两个方程即可求得a取值范围；
（2）由题设条件，先给出g（x）=f（x）﹣f′（x）的解析式，求出导函数，g′（x）=（﹣2ax﹣a+1）e x，由于参数a的影响，函数在[0，1]上的单调性不同，结合（1）的结论及g′（x）可得．
（i）当a=0时；（ii）当a=1时；（iii）当0＜a＜1时，分三类对函数的单调性进行讨论，确定并求出函数的最值
【解答】解：（1）由f（0）=1，f（1）=0得c=1，a+b=﹣1，则f（x）=[ax2﹣（a+1）x+1]e x，∴f′（x）=[ax2+（a﹣1）x﹣a]e x，
由题意函数f（x）=（ax2+bx+c）e x在[0，1]上单调递减可得对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）≤0
当a＞0时，因为二次函数y=ax2+（a﹣1）x﹣a图象开口向上，而f′（0）=﹣a＜0，所以只需要f′（1）=（a﹣1）e≤0，即a≤1，故有0＜a≤1；
当a=1时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=（x2﹣1）e x＜0，函数符合条件；
当a=0时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=﹣xe x＜0，函数符合条件；
当a＜0时，因f′（0）=﹣a＞0函数不符合条件；
综上知，a的取值范围是0≤a≤1
（2）因为 g（x）=f（x）﹣f′（x）=（ax2﹣（a+1）x+1）e x﹣[ax2+（a﹣1）x﹣a]e x=（﹣2ax+a+1）e x，g′（x）=（﹣2ax﹣a+1）e x，
（i）当a=0时，g′（x）=e x＞0，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1，最大值是g（1）=e
（ii）当a=1时，对于任意x∈（0，1）有g′（x）=﹣2xe x＜0，则有g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=0，最大值是g（0）=2；
（iii）当0＜a＜1时，由g′（x）=0得x=＞0，
①若，即0＜a≤时，g（x）在[0，1]上是增函数，所以g（x）在[0，1]上最大
值是g（1）=（1﹣a）e，最小值是g（0）=1+a；
②若，即＜a ＜1时，g （x ）在x=取得最大值g （）=2a ，在
x=0或x=1时取到最小值，
而g （0）=1+a ，g （1）=（1﹣a ）e ，
则令g （0）=1+a≤g（1）=（1﹣a ）e 可得＜a≤；令g （0）=1+a≥g（1）=（1﹣a ）
e 可得
≤a＜1
综上，当＜a≤时，g （x ）在x=0取到最小值g （0）=1+a ，
当≤a＜1时，g （x ）在x=1取到最小值g （1）=（1﹣a ）e。