2004年高考试题分类汇编(立体几何)

2004年高考试题分类汇编（立体几何）
考点1空间点、线、面的位置关系
1．（2004·北京卷·文理科）设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m ⊥α，//n α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥ 其中正确命题的序号是
A ．①和② B.②和③ C ．③和④ D ．①和④ 2．（2004·福建卷·文理科）已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：
①若m α⊂，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若α
β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β.
其中真命题的个数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 3．（2004·重庆卷·文科）不同直线m 、n 和不同平面α、β，给出下列命题
① ////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭
③ m m n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭，n 异面 ④ //m m αββα⊥⎫
⇒⊥⎬⎭
其中假命题有：
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 4．（2004·湖南卷·理科）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为
A ．56
B ．52
C ．48
D ．40
5．（2004·全国卷Ⅰ·文理科）已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .
①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点
在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 6．（2004·全国卷Ⅱ·文理科）下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱
其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）.
考点2空间点、线、面的度量关系
考法1与球有关的组合体
1．（2004·北京卷·文科）某地球仪上北纬30 纬线的长度为12πcm ，该地球仪的半径是 cm ，表面积是 2cm .
2．（2004·福建卷·文理科）如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，
2AB =，4BC =，60ABC ∠=，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是 A
．arcsin
6 B
．arccos 6 C
．arcsin
．arccos 3．（2004·全国卷Ⅲ·文科）已知球的表面积为20π，球面上有A ，B ，C 三点.
如果AB AC BC ===，则球心到平面ABC 的距离为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2 4．（2004·全国卷Ⅱ·文理科）已知球O 的半径为1，A ，B ，C 三点都在球面
上，且每两点间的球面距离均为2
π
，则球心O 到平面ABC 的距离为
A ．31
B ．33
C ．3
2
D ．36
考法2点的轨迹
1．（2004·北京卷·文理科）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面
11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C D 11的距离相等，则动点P 的轨迹所
在的曲线是
A ．直线
B ．圆
C ．双曲线
D ．抛物线
A
B
C
O
2．（2004·福建卷·文科）如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P α∉，PB α⊥，
C 是α内异于A 和B 的动点，且PC AC ⊥，那么，动点C 在平面α内的轨迹是 A ．一条线段，但要去掉两个点 B ．一个圆，但要去掉两个点 C ．一个椭圆，但要去掉两个点
D ．半圆，但要去掉两个点
3．（2004·重庆卷·理科）若三棱锥A BCD -的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC 组成图形可能是
考法3体积与面积
1．（2004·福建卷·文理科）如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大.
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
P
A
B P
C
α
P
B
C
A
C
A
B
C
P
D
P
C
B
A
A
A
P
C
B
B
2．（2004·湖北卷·文科）四面体ABCD 四个面的重心分别为E 、F 、G 、H ，则四面体EFGH 的表面积与四面体ABCD 的表面积的比值是
A ．271
B ．161
C ．91
D ．81
3．（2004·全国卷Ⅰ·文理科）已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的
中心分别为E 、F 、G 、H .设四面体EFGH 的表面积为T ，则S
T
等于
A ．91
B ．94
C ．41
D ．31
4.（2004·全国卷Ⅲ·理科）正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 A ．
322 B ．2 C ．32 D ．3
2
4 5．（2004·全国卷Ⅲ·文科）正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45角，则此三棱柱的体积为 A ．
26 B ．6 C ．66 D ．3
6 考法4角度
1．（2004·湖北卷·理科）已知平面α与平面β所成的二面角为80，P 为α、β外一定点，过点P 的一条直线与α、β所成的角都是30，则这样的直线就有且仅有
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条 2．（2004·湖南卷·文理科）把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A ，B ，C ，
D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为 A ．90 B ．60 C ．45 D ．30 3．（2004·全国卷Ⅱ·文科）正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为
A ．75
B ．60
C ．45
D ．30 4.（2004·天津卷·理科）如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，
E 、
F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于
A ．510
B ．515
C ．54
D ．3
2
考点3解答题
1.（2004·北京卷·理科）如图，在正三棱柱ABC A B C -111中，3AB =，AA 14=，
M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求： （Ⅰ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长； （Ⅱ）PC 和NC 的长；
（Ⅲ）平面NMP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）
2.（2004·北京卷·文科）如图，在正三棱柱ABC A B C -111中，2AB =，12AA =，由顶点B 沿棱柱侧面经过棱1AA 到顶点1C 的最短路线与1AA 的交点为M ，求： （Ⅰ）三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（Ⅱ）该最短路线的长及1A M
AM
的值；
（Ⅲ）平面1C MB 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）
B
A
C
P
N M
A 1
B 1
C 1
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
E
O
F
3.（2004·福建卷·文理科）在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC
，SA SC ==M 为AB 的中点. （Ⅰ）证明：AC SB ⊥；
（Ⅱ）求二面角S CM A --的大小； （Ⅲ）求点B 到平面SCM 的距离.
4.（2004·湖北卷·理科）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点. （Ⅰ）试确定F 的位置，使得1D E ⊥平1AB F ；
（Ⅱ）当1D E ⊥平1AB F 时，求二面角1C EF A --的正弦值.
5.（2004·湖北卷·文科）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，AC
B
A
C
M
A 1
B 1
C 1
A
B
C
S
M A B
C
D
E
A 1
B 1
C 1
D 1
与BD 交于点E ，1CB 与1C B 交于点F . （Ⅰ）求证：1A C ⊥平面1BDC ； （Ⅱ）求二面角B EF C --的正弦值.
6.（2004·湖南卷·理科）如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，
60ABC ∠=，PA AC a ==，PB =PD =，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =.
（Ⅰ）证明PA ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；
（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF //平面AEC ？证明你的结论.
7.（2004·湖南卷·文科）如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，
60ABC ∠=，PA AC a ==，PB =PD =，点E 是PD 的中点.
（Ⅰ）证明PA ⊥平面ABCD ，PB ∥平面EAC ；
（Ⅱ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的正切值.
A
B
C
D
E
A 1
B 1
C 1
D 1
F
P
A
B
C
D
E
P
A
D
E
8．（2004·全国卷Ⅰ·文理科）如图，已知四棱锥P ABCD -，PB AD ⊥，侧面
PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120.
（Ⅰ）求点P 到平面ABCD 的距离， （Ⅱ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.
9．（2004·全国卷Ⅱ·文理科）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，
1AC =
，CB =11AA =，侧面11AA B B 的两条对角线交点为D ，11B C 的中点为M .
（Ⅰ）求证CD ⊥平面BDM ；
（Ⅱ）求面1B BD 与面CBD 所成二面角的大小.
10.（2004·全国卷Ⅲ·理科）三棱锥P ABC -中，侧面PAC 与底面ABC 垂直，
3PA PB PC ===. （Ⅰ）求证：AB BC ⊥；
（Ⅱ）设AB BC ==，求AC 与平面PBC 所成角的大小.
P
A
B
C
D
A
B
C
D
M
A 1
B 1
C 1
P
A
B
C
11.（2004·全国卷Ⅲ·文科）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，
8AB =
，AD =PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60. （Ⅰ）求四棱锥P ABCD -的体积； （Ⅱ）证明PA BD ⊥.
11.（2004·天津卷·理科）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F . （Ⅰ）证明PA //平面EDB ； （Ⅱ）证明PB ⊥平面EFD ； （Ⅲ）求二面角C PB D --的大小.
19．（2004·天津卷·文科）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点. （Ⅰ）证明 ∥PA 平面EDB ；
（Ⅱ）求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值.
A
B
C
D
P
A
B
C
P E
F
D
A
B
C
P
E
D。