第22章电磁感应

v B 负号表示 E感 阻止 的增加
2、导体棒 、
v v B v ∴ ε 感 = ∫ E感 dl = ∫∫ dS t S v
t
v v ε 感 = ∫ E感 dl
L
感生（涡旋）电场与库仑电场（静电场） 二、感生（涡旋）电场与库仑电场（静电场） 1、起因不同：感生电场是由变化的磁场激发； 、起因不同：感生电场是由变化的磁场激发； 静电场是由带电物体激发。 静电场是由带电物体激发。 2、 、
的长直螺线管中通有变化的电流， 例3：在半径为 的长直螺线管中通有变化的电流， ：在半径为R的长直螺线管中通有变化的电流 如果管内磁通以dB/dt 的变化率增加，求螺线管内外感应 的变化率增加， 如果管内磁通以 电场的场强。 电场在管内（ ）
× × ×L × × ×R × ×r × × ×
是有旋场
产生电流—顺时针 产生电流 顺时针
v B 产生磁场 阻止 的增加 t
符合法拉第电磁感应定律
2、感生电动势 、 ）、导体回路 （1）、导体回路 ）、
v v ε 感 = ∫ E感 dl
由法拉第电磁感应定律
r v v d Φm d B r ε感 = = (∫∫ B dS ) = ∫∫ dS dt dt S v S t
εi =
dt
如有N匝 ε 如有 匝： = d ( Nφm ) = d Ψ i
r B
dt
dt
Ψ 磁通链数
r B
L
εi
Φm增 大
L
Φm减 小
εi
ε i = ε 动生 ε i = ε 感生
ε i = ε 感生 + ε 动生
r r 不变， 若 B 不变，回路 S 变； r r 不变； 若 B 变，回路 S 不变； r r 同时变； 若 B S 同时变；
L
方法二： 方法二：
ε回路动
d Φm = dt
例1：稳恒的均匀磁场垂直向里，导线 ：稳恒的均匀磁场垂直向里，导线abc形状是半径 形状是半径 圆周， 的角平分线方向以速度v水平向 为R的3/4圆周，导线沿 的 圆周 导线沿<aoc的角平分线方向以速度 水平向 的角平分线方向以速度 v v 右运动。 右运动。求 ε 动 方法一： 解：方法一：取线元 dl ，在 dl 处 v v v 方向竖直向上， v × B 方向竖直向上，与 dl 夹角 为 α ，由几何关系知
（一）、电磁感应定律 ）、电磁感应定律
1、电磁感应现象 、
应用程序
2、电磁感应定律 、 ）、楞次定律 （1）、楞次定律 ）、 内容： 内容：感应电流的方向总是企图使感应电流本身产生的 通过回路面积的磁通量， 通过回路面积的磁通量，去补偿或反抗引起感应 电流的磁通量的改变。 电流的磁通量的改变。 楞次定律的实质是能量转化与守恒定律在电磁感应现 象中的具体体现 ）、法拉第电磁感应定律 （2）、法拉第电磁感应定律 ）、 内容： 内容：回路中的感应电动势与通过回路的磁通量对时间 的变化率成正比。 的变化率成正比。 负号表示企图阻抗变化 表达式： 表达式： d Φ m （楞次定律的数学符号） 楞次定律的数学符号）
二十二、 电磁感应 二十二、
基本规律：楞次定律、 基本规律：楞次定律、法拉第电磁感应定律 基本概念：动生电动势、感生电动势、自感、互感、 基本概念：动生电动势、感生电动势、自感、互感、 电磁能量 重要计算： ） 重要计算：1）感应电动势的计算 2）自感、 2）自感、互感系数的计算 3）电磁能量和能量转换的问题 ）
（三）、感生电动势和涡旋电场（感生电场） ）、感生电动势和涡旋电场（感生电场） 感生电动势和涡旋电场
1、感生电场 、
应用程序
麦克斯韦假设： 麦克斯韦假设： 变化的磁场在其周围会激发一种电场（感生电场） 变化的磁场在其周围会激发一种电场（感生电场）
v B t
v E感 v E感
左手螺旋（唯一的） 左手螺旋（唯一的）
d Φm ε ac = = 2RvB dt
所以
ε abc = ε ac = 2RvB
方向： 指向 指向a； 点是负电荷 负极。 点是负电荷、 方向：由c指向 ；c点是负电荷、负极。
推广： 推广：任意形状导线在均匀磁场中沿直线运动所产生的 ε 动路等于导线两端连线在均匀磁场中运动产生的ε 动
a
连接ab成回路， 连接 成回路，则 成回路
因为ab段不转动，不切割磁力线， 因为 段不转动，不切割磁力线，因此 段不转动
ε ba = 0
a
所以 ε
r r 平行， 当线圈平面与 B 平行，即平面法线 n r r r dl 垂直 B 时(通常取平面法线与 B 平行 通常取平面法线与 R r θ dθ r r 时为 t = 0 时刻 ， 时刻)， v×B
D
l dB l 2 2 = R ( ) 2 dt 2 U D > UC 方向： 方向：由C到D 到
从外电路看） （从外电路看）
方法二：补成 回路， 为回路正向。 方法二：补成ODCO回路，并取 回路 并取ODCO为回路正向。 为回路正向 为什么要取回路正向？ （为什么要取回路正向？） 又因为 r r B dφm d (B S ) d ( BS ) ε ODCO = = = v dt dt dt D r dl dB dS dB lh dB E感 = S B = S = dt dt dt 2 dt o αh α l dB l 2 2 r = R ( ) E v感 r 2 dt 2
2） ）
d Φm ε总 = dt
r 如图是螺线管的截面图，管内磁场均匀分布。 解：如图是螺线管的截面图，管内磁场均匀分布。B 垂直
向里， 向里，dB/dt >0，当磁场随时间变化，在其周围产生感应 ，当磁场随时间变化， 电场。由磁场分布对称性知， 电场。由磁场分布对称性知，感应电场的电场线为圆心在 轴线上的一系列同心圆，方向如图所示。 轴线上的一系列同心圆，方向如图所示。 取半径为r的电场线 为积分回路 取半径为 的电场线L为积分回路， 的电场线 为积分回路， 由于L上各点感应电场的场强大小相等 上各点感应电场的场强大小相等， 由于 上各点感应电场的场强大小相等， 方向与回路相切， 方向与回路相切，因此
v v r ：（1） 解：（ ）在AOB取微元 dl ，分析可知 dl处 E感 方向 取微元 v 垂直于dl ，因此
B
r E感
v dl
D
αr vE感
ε AOB = ∫
B A
B
A
r r E感 dl
o α
h
= ∫ E感 cos =0
π
2
dl
r
A C
dl
∴U A = U B
方法一： 求 ε CD ： 方法一：
× × ×L × × ×R × ×r × × L’ ×
∫
L′
v v E感 dl = 2π rE感
d Φm 2 dB = π R dt dt
dB ∴ 2π rE感 = π R dt
2
R dB E感 = 2r 2r dt
v E感
2
( r > R)
R dB 2 dt
R
r
例4：如图，一被限制在无限长圆柱内的均匀磁场 ：如图， r 均匀增加， 的方向垂直向里。 均匀增加， B 的方向垂直向里。 并比较A、 及 、 电势的高低 电势的高低。 求（1）ε AOB 、 CD 。并比较 、B及C、D电势的高低。 ） ε
ω
r v B
∴ ε acb
acba
= ε acb + ε ba = ε acb = BSω sin ωt
c
b
ε acb
1 = BSω sin = BSω = π R 2 Bω 2 2
π
法拉第电磁感应定律表明， 法拉第电磁感应定律表明，只要穿过某闭合导体 回路的磁通量发生变化， 回路的磁通量发生变化，该回路中就会产生感应 电动势。回路中磁通量变化的原因， 电动势。回路中磁通量变化的原因，一般有三种 情况： 情况： (1) 磁场恒定，导体回路或回路的部分在磁场中有相 磁场恒定， 对运动， 对运动，这样产生的感应电动势称为动生电动势 (motional electromotive force)。 。 (2) 回路在磁场中没有相对运动，回路中磁通量的变 回路在磁场中没有相对运动， 化仅由磁场的变化而引起， 化仅由磁场的变化而引起，这样产生的感应电动 势称为感生电动势(induced electromotive force)。 势称为感生电动势 。 (3) 回路中磁通量的变化由回路在磁场中的相对运动 与磁场的变化共同引起， 与磁场的变化共同引起，这样产生的感应电动势 是动生电动势和感生电动势的叠加。 是动生电动势和感生电动势的叠加。
r v ∑ qint ∫∫ E库 dS =
ε0
r v ∫∫ E感 dS = 0 电场线闭合
有源场 3、 、
∫
L
v v E库 dl = 0
保守力场
v v v B v ∫ E感 dl = ∫∫ t dS
非保守力场
无源场
4、一般情况，空间中总电场 、一般情况， 总电场方程
r r r E总 = E感 + E库
∫
L
v v E感 dl = 2π rE感
v v d Φm 2 dB Q ∫ E感 dl = ε i = = π r L dt dt 2 dB ∴ 2π rE感 = π r dt
r dB E感 = 2 dt
( r < R)
（2）在管外（r>R） ）在管外（ ） 取半径为r的电场线 为积分回路， 的电场线L’为积分回路 取半径为 的电场线 为积分回路，同理有
r v 的方向： 确定 E 感的方向：作过 dl
的电场线， 的电场线，并取切线方向
B
r E感
ε CD = ∫
D
D
C
r r E感 dl
v dl
D
αr vE感
= ∫ E感 cos α dl
C
o αh
r
A C
dl
r dB =∫ cos α dl C 2 dt D r dB h =∫ dl C 2 dt r h dB D = ∫C dl 2 dt
r v B
= ∫ vB sin
a b a
π
cos( θ )dl 2 2
π
= ∫ rω B sin θ dl = ∫ R sin θω B sin θ Rdθ
0
π
c
= ∫ R ω B sin θ dθ
2 2 0
π
b
1 = ω BR 2π 2
方法二： 方法二：
ε acba
r r dφm d (B S ) d ( BS cos ωt ) = = = = BSω sin ωt dt dt dt
r v ∑ qint ∫∫ E总 dS =
ε0
v v v B v ∫ E总 dl = ∫∫ t dS
因此，回路中总感应电动势求解方法： 因此，回路中总感应电动势求解方法： 1） ε总 = ε 动 + ε 感 ）
L
v v v v v = ∫ ( v × B ) dl + ∫ E感 dl r B r v v v = ∫ ( v × B ) dl ∫∫ dS t L S
（二）、动生电动势 ）、动生电动势
1、动生电动势 动生的产生机理 、 电子受到的洛仑兹力： 电子受到的洛仑兹力：
ε
2、 动生 的大小和方向 、
ε
v v v F洛 = ev × B
方向： 指向b 方向：由a指向 指向
r v v v F洛 = ev × B = eE ′
a
Ii
v F 电
d
v F洛
v
v v a v v v ε动 = εba = ∫ E′ dl = ∫ ( v × B ) dl b b a v v v v v = ∫ vB sin(v , B)cos(v × B, dl )dl
α =θ + ,
π
4 dl = Rdθ = Rdα
所以 ε
abc
= ∫ vBdl cos α = ∫
abc
7π 4
π 4
vBRdα cos α
= 2RvB = acvB
方向： 指向 指向a； 点是负电荷 负极。 点是负电荷、 方向：由c指向 ；c点是负电荷、负极。 方法二: 方法二 连线ac，形成abca回路，当回路 回路， 连线 ，形成 回路 当回路abca在磁场中运动ε i = 0 在磁场中运动 故 ε abc = ε ca = ε ac = ε abc + ε ca v v d Φm = B dS = Bvdtac = 2RvBdt 而 ε abca
a b
r r F电 = eE ′
c
b
方向： 指向b 若 ε ba < 0 方向：由a指向 指向
若ε ba > 0 方向：由b指向 方向： 指向a 指向
3、动生电动势的计算 、 v v v 方法一：ε = v × B dl ε = 方法一： 动 动
∫(
L
)
v v v ∫ ( v × B ) dl
b
v v
c
v B
例2：如图在匀强磁场中有一个半圆形线圈沿 轴以 ：如图在匀强磁场中有一个半圆形线圈沿ab轴以 ω 角速度旋转。求其在此位置时产生的电动势。 角速度旋转。求其在此位置时产生的电动势。 方法一： 解：方法一：
ε ab
r r r = ∫ (v × B) dl
b
a
ω
R
r dl r θ dθ r r v×B