工程力学最新版教学课件第5章

整个T形截面对形心轴xc的惯性矩为：
I xc
II xc
I
II xc
204.2106(mm4)
截面的几何性质
5.1 截面静矩与形心
5.1.1 静矩
dSx dAy dS y dAx
Sx dSx ydA
A
A
S y dS y xdA
A
A
y
x
dA
y
x
5.1 截面静矩与形心
5.1.2 形心
y
形心坐标
x Sy A
y Sx A
截面对通过其形心的坐标轴的静矩恒为零；
反之，截面对于某一轴的静矩若等于零，则该轴必 通过截面形心。
简单截面图形对形心轴的惯性矩
矩形：
Ix
bh3 12
圆形：
Ix
πd 4 பைடு நூலகம்4
圆环形：
Ix
πD4 64
1 4
式中， = d / D，为内外径比
型钢截面： 查型钢表
y y
y
C C
d 工字钢 dD
x xx
x
5.3 平行移轴定理
y
yC
Iz IzC b2 A
z dA
a
C
zC
I y I yC a2 A
Ix Aix2
I y Aiy2
ix
Ix A
——图形对 x 轴的惯性半径
iy
Iy A
——图形对 y 轴的惯性半径
y
x dA
y
r
x
【例5-3】计算图示矩形截面对其形心轴xC和坐标轴x、y的惯性矩。
Ⅱ.3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理
组合截面的惯性矩
组合截面对某坐标轴的惯性矩等于各组成部分对于同一坐标轴 的惯性矩之和。
C1
建立如图所示的坐标系,由于y轴为T形截面的
C
对称轴，故图形的形心必在该轴上。因此只需
确定形心在y轴上的位置，则
C2
n
yc
yci Ai
i 1 n
Ai
15 300 30 165 270 50 105(mm) 300 30 270 50
i 1
补充：试确定如图所示T形截面对形心轴xc的惯性矩Ixc。
rb y
z
补充：求图示圆对其切线AB的惯性矩。
y
解：
Iz
Iy
IP 2
d4
64
d
O
z
A
B
I AB
Iz
(d )2 2
A
d 4 d 4 5 d 4
64 16 64
补充：试确定如图所示T形截面对形心轴xc的惯性矩Ixc。
解： （1）T形截面的分解
将T形截面看作由Ⅰ、Ⅱ两个矩形组成。
（2）确定形心C的位置
x dA
x
C
y y
x
组合截面
S y Ai xi Sx Ai yi
x
xi Ai A
y
yi Ai A
【例5-1】试计算图示半圆形截面对x轴的静矩及形心坐标。
【例5-2】如图所示，试确定L形截面形心C的位置。
5.2 惯性矩和极惯性矩
Ix y2dA A
I y x2dA A
力学计算中有时把惯性矩写成
（3）计算T形截面对xc轴的惯性矩
形心位置确定后，使用平行移轴公式，分别计算
矩形Ⅰ、Ⅱ对xc轴的惯性矩
C1
II xc
50 2703 12
602 270 50 130.6 106 (mm4 )
C
I II xc
300 303 12
902 30 300 73.6 106 (mm4 )
C2
n
Ix Ixi i 1
n
I y I yi i 1
I xi，I yi ----组合截面中第 i 部分对x、y轴的惯性矩
5.2 惯性矩和极惯性矩
Ir r 2dA
A
（x2+y2 )dA I y Ix A
Ixy xydA A
如果 x或 y 是对称轴，则Ixy =0
y
x dA
y
r
x
5.2 惯性矩和极惯性矩