2017-2018学年北京市平谷五中高二上学期期中数学试卷与解析(理科)

2017-2018学年北京市平谷五中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（12小题，每题5分，共60分）
1．（5分）某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，现选出的两人中有中国人的概率为（）
A．B．C．D．1
2．（5分）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（）
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶D．只有1次中靶
3．（5分）设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．（5分）下列命题中是全称命题并且是真命题的是（）
A．∀x∈R，x2+2x+1＞0 B．若2x为偶数，则∀x∈N
C．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数
5．（5分）如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[15，20]内的频数（）
A．20 B．30 C．40 D．50
6．（5分）已知A（﹣1，a）、B（a，8）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行，则a的值为（）
A．﹣10 B．17 C．5 D．2
7．（5分）经过圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心且斜率为1的直线方程为（）A．x﹣y+3=0 B．x﹣y﹣3=0 C．x+y﹣1=0 D．x+y+3=0
8．（5分）设P是椭圆+=1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|
等于（）
A．4 B．5 C．8 D．10
9．（5分）椭圆x2+4y2=1的离心率为（）
A．B．C．D．
10．（5分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）
A．B．C．D．
11．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x
12．（5分）已知F是抛物线y=x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是（）
A．x2=2y﹣1 B．x2=2y﹣C．x2=y﹣ D．x2=2y﹣2
二、填空题（共8小题，每题5分，共40分）
13．（5分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于．14．（5分）椭圆5x2﹣ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于．
15．（5分）已知双曲线上的一点P到双曲线一个焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离等于．
16．（5分）双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于．
17．（5分）已知抛物线经过点M（3，﹣2），则抛物线的标准方程为．
18．（5分）设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是．
19．（5分）若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为．
20．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为．
三、解答题（共5题，每题10分，共50分）
21．（10分）△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：
（1）BC边所在直线的方程；
（2）BC边上中线AD所在直线的方程；
（3）BC边的垂直平分线DE的方程．
22．（10分）k代表实数，方程kx2+2y2﹣8=0
（1）讨论k为何值时表示椭圆；
（2）讨论k为何值时表示双曲线．
23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，A、B分别为直线x+y=2与x、y轴的交点，C为AB的中点、若抛物线y2=2px（p＞0）过点C，求焦点F到直线AB的距离．
24．（10分）已知椭圆的左焦点为F1，直线l：y=x﹣2与椭圆C交于A、B两点．
（Ⅰ）求线段AB的长；
（Ⅱ）求△F1AB的面积．
25．（10分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C 上，且PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，
（1）求椭圆的方程
（2）若直线L过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B 关于点M对称，求直线L的方程．
2017-2018学年北京市平谷五中高二（上）期中数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（12小题，每题5分，共60分）
1．（5分）某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，现选出的两人中有中国人的概率为（）
A．B．C．D．1
【解答】解：所有的基本事件的个数为=6 个，有中国人的基本事件有=3个，
故选出的两人中有中国人的概率为=，
故选：C．
2．（5分）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（）
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶D．只有1次中靶
【解答】解：由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，
再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”，
故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，
故选：C．
3．（5分）设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【解答】解：∵：|x﹣2|＜3，
∴﹣1＜x＜5，
显然，甲⇒乙，但乙不能⇒甲，
故甲是乙的充分不必要条件．
故选：A．
4．（5分）下列命题中是全称命题并且是真命题的是（）
A．∀x∈R，x2+2x+1＞0 B．若2x为偶数，则∀x∈N
C．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数
【解答】解：对A，是全称命题，但不是真命题；故A不正确；
对B，是真命题，但不是全称命题，故B不正确；
对C，是全称命题，也是真命题，故C正确；
对D，是真命题，但不是全称命题，故D不正确，
故选：C．
5．（5分）如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[15，20]内的频数（）
A．20 B．30 C．40 D．50
【解答】解：如图，第一个小矩形的面积为0.04×5=0.2，第二个小矩形的面积为0.1×5=0.5，
故[15，20]对应的小矩形的面积为1﹣0.2﹣0.5=0.3
样本落在[15，20]内的频率为0.3，
样本落在[15，20]内的频数为0.3×100=30，
故选：B．
6．（5分）已知A（﹣1，a）、B（a，8）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行，则a的值为（）
A．﹣10 B．17 C．5 D．2
【解答】解：由平行直线斜率相等得：，∴a=2
故选：D．
7．（5分）经过圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心且斜率为1的直线方程为（）A．x﹣y+3=0 B．x﹣y﹣3=0 C．x+y﹣1=0 D．x+y+3=0
【解答】解：由题意知，直线过点（﹣1，2），斜率为1，代入点斜式得，y﹣2=x+1，即直线方程为x﹣y+3=0．
故选：A．
8．（5分）设P是椭圆+=1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于（）
A．4 B．5 C．8 D．10
【解答】解：由椭圆的第一定义知|PF1|+|PF2|=2a=10，
故选：D．
9．（5分）椭圆x2+4y2=1的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，得到a=1，b=，
则c==，所以椭圆的离心率e==．
故选：A．
10．（5分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）
A．B．C．D．
【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则
∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，
∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5
∴双曲线方程为．
故选：B．
11．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x
【解答】解：由题意可得e==，
即为c2=a2，
由c2=a2+b2，可得b2=a2，
即a=2b，
双曲线的渐近线方程为y=±x，
即为y=±2x．
故选：D．
12．（5分）已知F是抛物线y=x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是（）
A．x2=2y﹣1 B．x2=2y﹣C．x2=y﹣ D．x2=2y﹣2
【解答】解：抛物线y=x2的焦点为F（0，1），
设P（p，q）为抛物线一点，则：p2=4q，
设Q（x，y）是PF中点，
则：x=，y=，
即p=2x，q=2y﹣1，
代入p2=4q得：（2x）2=4（2y﹣1），
即为x2=2y﹣1．
故选：A．
二、填空题（共8小题，每题5分，共40分）
13．（5分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于．【解答】解：由题意，∵椭圆的长轴长是短轴长的2倍，
∴a=2b
∴
∴=
故答案为：
14．（5分）椭圆5x2﹣ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于﹣1．
【解答】解：椭圆5x2﹣ky2=5化为标准方程+=1，则c2=﹣1=4，解得k=
﹣1，
满足＞1，故k=﹣1．
故答案为﹣1．
15．（5分）已知双曲线上的一点P到双曲线一个焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离等于13．
【解答】解：根据题意，双曲线中上，有a==5，
若P在双曲线上，设双曲线的两个焦点为M、N，且|PM|=3，
则有||PM|﹣|PN||=2a=10，
则|PN|=13或﹣7（舍），
故|PN|=13，
故答案为：13
16．（5分）双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于．
【解答】解：双曲线﹣y2=1的顶点坐标（2，0），其渐近线方程为y=±x，所以所求的距离为=．
故答案为：．
17．（5分）已知抛物线经过点M（3，﹣2），则抛物线的标准方程为y2=x或x2=﹣y．
【解答】解：根据题意，抛物线经过点M（3，﹣2），则抛物线开口向右或向下，若抛物线开口向右，设抛物线的方程为y2=mx（m＞0），
代入M（3，﹣2），可得4=3m，
解可得m=，
则其标准方程为y2=x，
若抛物线开口向下，或设抛物线的方程为x2=ny（n＜0），
代入M（3，﹣2），可得9=﹣2n，
解可得n=﹣，
则抛物线的方程为x2=﹣y，
综上可得，抛物线的标准方程为y2=x或x2=﹣y，
故答案为：y2=x或x2=﹣y．
18．（5分）设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是6．
【解答】解：∵抛物线的方程为y2=8x，设其焦点为F，
∴其准线l的方程为：x=﹣2，
设点P（x0，y0）到其准线的距离为d，则d=|PF|，
即|PF|=d=x0﹣（﹣2）=x0+2
∵点P到y轴的距离是4，
∴x0=4
∴|PF|=4+2=6．
故答案为：6．
19．（5分）若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（2，2）．
【解答】解：由题意得F（，0），准线方程为x=﹣，设点M到准线的距离为d=|PM|，
则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，
故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=3﹣（﹣）=．把y=2代入抛物线y2=2x 得x=2，故点M的坐标是（2，2），
故答案为：（2，2）．
20．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为x=﹣1．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，
两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），
又因为直线的斜率为1，所以=1，
所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，
即y1+y2=4，所以p=2，
所以抛物线的准线方程为x=﹣=﹣1．
故答案为：x=﹣1．
三、解答题（共5题，每题10分，共50分）
21．（10分）△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：
（1）BC边所在直线的方程；
（2）BC边上中线AD所在直线的方程；
（3）BC边的垂直平分线DE的方程．
【解答】解：（1）BC边所在直线的方程为：y﹣1=（x﹣2），化为：x+2y﹣4=0．
（2）线段BC的中点D（0，2），可得BC边上中线AD所在直线的方程：=1，化为：2x﹣3y+6=0．
（3）k DE=﹣=2．∴BC边的垂直平分线DE的方程为：y=2x+2．
22．（10分）k代表实数，方程kx2+2y2﹣8=0
（1）讨论k为何值时表示椭圆；
（2）讨论k为何值时表示双曲线．
【解答】解：根据题意，方程kx2+2y2﹣8=0变形可得+=1，
（1）若方程表示椭圆，则有＞0且≠4，解可得k＞0且k≠2，
则当k＞0且k≠2时，方程表示椭圆；
（2）若方程表示双曲线，则有＜0，解可得k＜0，
则当k＜0时，方程表示双曲线．
23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，A、B分别为直线x+y=2与x、y轴的交点，C为AB的中点、若抛物线y2=2px（p＞0）过点C，求焦点F到直线AB的距离．
【解答】解：由已知可得A（2，0），B（0，2），C（1，1），
解得抛物线方程为y2=x
于是焦点
∴点F到直线AB的距离为
24．（10分）已知椭圆的左焦点为F1，直线l：y=x﹣2与椭圆C交于A、B两点．
（Ⅰ）求线段AB的长；
（Ⅱ）求△F1AB的面积．
【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
因为+=1和y=x﹣2相交，把两个方程联立，得
代入得到x2+2（x﹣2）2﹣8=0，即3x2﹣8x=0，解得x1=0，x2=
所以y1=﹣2，y2=，
所以|AB|==；
（Ⅱ）法一：因为点F1（﹣2，0）到直线y=x﹣2的距离为d==2，
所以=|AB|•d=××2=
法二：直线y=x﹣2通过椭圆的右焦点F2（2，0），
的面积为=|F1F2|•|y1﹣y2|=×4×=．
则△ABF
25．（10分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C 上，且PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，
（1）求椭圆的方程
（2）若直线L过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B 关于点M对称，求直线L的方程．
【解答】解（1）∵PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，
∴2a=|PF1|+|PF2|=+=6，
即a=3，
且4c2═|PF1|2+|PF2|2=（）2+（）2=
解得c2=，
∴b2=9﹣=，
故椭圆的方程为，
（2）设A（m，n），B（x，y），圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，
圆心M（﹣2，1），
∵A，B关于M对称，
∴，即，
∵A，B都在椭圆上，
∴，
两式相减得，即，
即直线AB的斜率k=，
∴直线方程为y﹣1=（x+2），
即56x﹣81y+193=0．。

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………。