2020届高三数学10月第一次大联考试题理(含解析)

2020届高三数学10月第一次大联考试题理
（含解析）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设全集，集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过函数的值域以及函数的定义域可得，，，然后对逐个选项判断即可.
【详解】∵，，
由此可知，，，，
故选：B.
【点睛】本题主要考查以函数的值域和定义域为背景，考查了集合间的运算，属于基础题.
2.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合子集的概念，可确定端点的关系，即可求解.
【详解】已知，，且，
所以.故实数的取值范围为，故选：B.
【点睛】本题主要考查了集合子集的概念，属于容易题.
3.下列命题中为真命题的是( )
A. 命题“若，则”的否命题
B. 命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题
C. 命题“若x＝1，则”的否命题
D. 命题“已知，若，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题
【答案】B
【解析】
【分析】
根据否命题的定义写出A，C的否命题，用特殊法判断其是否为真命题；
根据逆命题的定义写出B中命题的逆命题，判断真假;
根据D命题是假命题可知D的逆否命题为假命题.
【详解】A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则”假命题；
B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”真命题．
C．命题“若x＝1，则”的否命题为“若x≠1，则
”假命题．
D．假命题．因为逆命题与否命题都是假命题．
【点睛】本题考查命题真假的判断与应用,四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用．
4.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质，写出对称轴，比较对称轴与4的关系即可求解.
【详解】由于二次函数二次项系数为正数，对称轴为直线，
其对称轴左侧的图像是下降的，∴，故，
因此，实数的取值范围是，故选：D.
【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，对称轴与区间端点的关系是解题关键，属于中档题.
5.函数的图象可能是（）
A. B. C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
取特殊值排除选项得到答案.
【详解】排除BD
排除C
故答案选A
【点睛】本题考查了函数图像，用特殊值法排除选项是常用方法，也可以从函数的性质着手得到答案.
6.某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：
平均耗电量（单位：
公里）剩余续航里程（单位：公里）
（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=，剩余续航里程=，下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是
A. 等于12.5
B. 12.5到12.6之间
C. 等于12.6
D. 大于12.6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据累计耗电量的计算公式，即可求解．
【详解】由题意，可得，
所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是：大于12.6，
故选D．
【点睛】本题主要考查了函数模型的应用，其中解答中正确理解题意，根据累计耗电量的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
7.三个数，，的大小顺序是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数和对数函数性质，分析3个数与0，1大小即可.【详解】由指数函数和对数函数的图象与性质可知：，，，
所以，故选D.
【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，属于
中档题.
8.对于实数，，若：或，：，则是的
（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
取特殊值，,可知p q，利用逆否命题与原命题等价，可确定q p, 即可得出结论.
【详解】取，，满足条件p,此时，即p q，故是的不充分条件，
：：或等价于且，易知成立，所以是的必要条件.
故答案选B.
【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，逆否命题，属于中档题.
9.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对函数求导可得，根据函数的单调性可得在上恒成立，等价于，解出即可.
【详解】.
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，等价于，
故选B.
【点睛】本题主要考查了已知函数的单调性求参数问题，等价转化为恒成立问题是解题的关键，属于中档题.
10.已知是定义在上的偶函数，且当时，都有
成立，设，，，则，，的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，由函数的奇偶性可得，分
析可得在上为减函数，据此分析可得答案．
【详解】由于当时，都有成立，
故在上减函数，
，，而，
所以，即.
故答案为D.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数单调性，属于中档题．
11.已知函数值域为，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分段研究，当时,可得，所以只需时，取值为的子集即可.
【详解】当时，，所以；当时，为递增函数，所以，
因为的值域为，所以，故，故选B.【点睛】本题主要考查了分段函数的值域，二次函数、指数函数的单调性，属于中档题.
12.不等式解集中有且仅含有两个整数，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设，，通过导数判断的单调性，结合直线恒过定点，得到两函数的图象，结合题意得
不等式组，解出即可.
【详解】由题意可知，，
设，.
由.
可知在上为减函数，在上为增函数，的图象恒过点，在同一坐标系中作出，的图象如下，
若有且只有两个整数，，使得，且，则，
即，解得，故选C.
【点睛】本题主要考查了不等式与函数图象的关系，利用导数判断函数单调性，考查了学生的计算能力，属于中档题．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.函数的单调递减区间是_________
【答案】或
【解析】
【分析】
求出导函数，然后在定义域内解不等式得减区间．【详解】，由，又得
．
∴减区间为，答也对．
故答案为或．
【点睛】本题考查导数与函数的单调性，一般由确定增区间，由确定减区间．
14.已知函数，且，则曲线在处的切线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】
求导，利用求出，根据导数几何意义可求斜率，利用点斜式写出切线方程即可.
【详解】∵，∴，解得，即，，则，∴，曲线在点处的切线方程为，即.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.
15.以下说法中正确的是______.
①函数在区间上单调递减；
②函数的图象过定点；
③若是函数的零点，且，则；
④方程的解是；
⑤命题“，”的否定是，.
【答案】②④⑤
【解析】
【分析】
对于①，举出反例和；对于②，将点代入即可得结果；对于③，，中也有可能存在一个为零；对于④，根据指数与对数的运算性质解方程即可；对于⑤，由特称命题的否定为全称命题可得结果.
【详解】说法①：函数在、每个区间上单调递减，但是在整个定义域内不具有单调性，例如：，而，不具有单调递减的性质；
说法②：当时，，所以函数的图象过定点是正确的；
说法③：如果，中也存在一个为零时，就不符合
，故本说法不正确；
说法④：，故本说法④正确；说法⑤：命题“，”的否定是，.故⑤是正确的.
综上，本题的答案为②④⑤.
【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，函数单调性，函数零点的性质，特称命题的否定，属于中档题.
16.已知函数，，则函数的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
对函数进行求导得，令，，根据的符号以及复合函数的单调性得到的单调性，进而可得函数的最值.
【详解】因为，，
∴
，
令，∵，∴，
令，则，
∴令，则，，
∴当时，，当时，，
∵函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数在区间上递减，在区间上递增，
∴当，即，时，
，
∴函数的最小值为，故答案为.
【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，准确求导得到函数的单调性是解题的关键，考查了学生的计算能力，属于中档题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）
17.设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）p为真命题时，任意，不等式恒成立可转化为，求解即可（2）根据且、或命题的真假，确定，一真一假，结合（1），再化简命题q,即可求出的取值范围.
【详解】对于：成立，而，有
，
∴，∴.
：存在，使得不等式成立，只需
，
而，∴，∴；
（1）若为真，则；
（2）若为假命题，为真命题，则，一真一假.
若为假命题，为真命题，则，所以；
若为假命题，为真命题，则，所以.
综上，或.
【点睛】本题主要考查了命题的真假，且、或命题，不等式恒成立、存在性问题，属于中档题.
18.已知函数.
（1）若，求实数的值；
（2）设函数，若在上没有零点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）代入解析式，取对数即可求解（2）转化为方程在上无实数解，求的值域即可得到k的范围.【详解】（1）因为，即：，
所以
（2）由题意可知，，
函数在上没有零点等价于方程在上无实数解，
设，则，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴在上取得极小值，也是最小值，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查了函数与方程，利用导数求函数的极值、最值，转化思想，属于中档题.
19.设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线.
（1）求函数，的解析式；
（2）若函数在上的最小值为，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.【解析】
【分析】
（1）两函数在处有相同的切线可知，
，联立求解即可（2）利用导数可求出的唯一极小值，也就是最小值，转化为即可求t范围.
【详解】（1），，
由题意，两函数在处有相同的切线，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，.
（2）由（1）得.
当时，则，所以在上单调递增，
当时，则，所以在上单调递减，
而函数，∴，
即.
故实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数单
调性、极值，转化的思想，属于中档题.
20.已知函数在区间上的最小值为1.
（1）求的值；
（2）若存在使得不等式在成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）1；（2）.
【解析】
【分析】
（1）二次函数写出对称轴，分，，三种情况讨论即可求出最小值，根据最小值为1，写出（2）分离参数可得
，令，换元后求最小值，只需k大于最小值即可.
【详解】（1）.
当时，，解得；
当时，，解得不符合题意；
当时，，解得，不符合题意.
综上所述，.
（2）因为，
可化为，
令，则.
因，故.故不等式在上有解.
记，，故，
所以的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论，分离参数，不等式有解问题，属于中档题.
21.已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.
（1）求实数，的值；
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）M点坐标代入函数解析式，得到关于的一个等式；曲线在点处的切线恰好与直线垂直可知,列出关于的另一个等式，解方程组，求出的值.
（2）求出，令，求出函数的单调递增区间，由题意可知是其子集，即可求解.
【详解】（1）的图象经过点,
①,
因为，则,
由条件，即②，
由①②解得.
（2），
令得或，
函数在区间上单调递增，
,
或，
或
【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，直线垂直的充要条件，利用导数确定函数的单调区间，属于中档题.
22.已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数，求证：当时，在上恒有成立.
【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）当时，对函数求导可得，解不等式得单调性；（2）对函数求导可得，求出的最小值为，将与
相结合可证得不等式.
【详解】（1）函数的定义域为，
当时，，，
令，即，解得，
令，即，解得，
∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2），
，
由得，，
当时，，当时，，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
，
∵时，，∴，
即.
∴成立.
【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，利用导数解决恒成立问题，解决第二问的难点在于得到在给出的范围
内得到，属于难题.
2020届高三数学10月第一次大联考试题理
（含解析）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设全集，集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过函数的值域以及函数的定义域可得，，，然后对逐个选项判断即可.
【详解】∵，，
由此可知，，，，
故选：B.
【点睛】本题主要考查以函数的值域和定义域为背景，考查了集合间的运算，属于基础题.
2.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合子集的概念，可确定端点的关系，即可求解.
【详解】已知，，且，
所以.故实数的取值范围为，故选：B.
【点睛】本题主要考查了集合子集的概念，属于容易题.
3.下列命题中为真命题的是( )
A. 命题“若，则”的否命题
B. 命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题
C. 命题“若x＝1，则”的否命题
D. 命题“已知，若，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题【答案】B
【解析】
【分析】
根据否命题的定义写出A，C的否命题，用特殊法判断其是否为真命题；
根据逆命题的定义写出B中命题的逆命题，判断真假;
根据D命题是假命题可知D的逆否命题为假命题.
【详解】A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则”假命题；
B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”真命题．
C．命题“若x＝1，则”的否命题为“若x≠1，则”假命题．D．假命题．因为逆命题与否命题都是假命题．
【点睛】本题考查命题真假的判断与应用,四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用．
4.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质，写出对称轴，比较对称轴与4的关系即可求解.
【详解】由于二次函数二次项系数为正数，对称轴为直线，其对称轴左侧的图像是下降的，∴，故，
因此，实数的取值范围是，故选：D.
【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，对称轴与区间端点的关系是解题关键，属于中档题.
5.函数的图象可能是（）
A. B. C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
取特殊值排除选项得到答案.
【详解】排除BD
排除C
故答案选A
【点睛】本题考查了函数图像，用特殊值法排除选项是常用方法，也可以从函数的性质着手得到答案.
6.某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：
公里）（单位：公里）
（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的
电量，平均耗电量=，剩余续航里程=，下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是
A. 等于12.5
B. 12.5到12.6之间
C. 等于12.6
D. 大于12.6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据累计耗电量的计算公式，即可求解．
【详解】由题意，可得，
所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是：大于12.6，
故选D．
【点睛】本题主要考查了函数模型的应用，其中解答中正确理解题意，根据累计耗电量的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
7.三个数，，的大小顺序是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数和对数函数性质，分析3个数与0，1大小即可.
【详解】由指数函数和对数函数的图象与性质可知：，，，
所以，故选D.
【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，属于中档题.
8.对于实数，，若：或，：，则是的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
取特殊值，,可知p q，利用逆否命题与原命题等价，可确定q p, 即可得出结论.
【详解】取，，满足条件p,此时，即p q，故是的不充分条件，：：或等价于且，易知成立，所以是的必要条件.
故答案选B.
【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，逆否命题，属于中档题.
9.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对函数求导可得，根据函数的单调性可得在上恒成立，等价于，解出即可.
【详解】.
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，等价于，
故选B.
【点睛】本题主要考查了已知函数的单调性求参数问题，等价转化为恒成立问题是解题的关键，属于中档题.
10.已知是定义在上的偶函数，且当时，都有成立，设
，，，则，，的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，由函数的奇偶性可得，分析可得在上为减函数，据此分析可得答案．
【详解】由于当时，都有成立，
故在上减函数，
，，而，
所以，即.
故答案为D.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数单调性，属于中档题．
11.已知函数值域为，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分段研究，当时,可得，所以只需时，取值为
的子集即可.
【详解】当时，，所以；
当时，为递增函数，所以，
因为的值域为，所以，故，故选B.
【点睛】本题主要考查了分段函数的值域，二次函数、指数函数的单调性，属于中档题.
12.不等式解集中有且仅含有两个整数，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设，，通过导数判断的单调性，结合直线
恒过定点，得到两函数的图象，结合题意得不等式组，解出即可.
【详解】由题意可知，，
设，.
由.
可知在上为减函数，在上为增函数，
的图象恒过点，在同一坐标系中作出，的图象如下，
若有且只有两个整数，，使得，且，则，
即，解得，故选C.
【点睛】本题主要考查了不等式与函数图象的关系，利用导数判断函数单调性，考查了学生的计算能力，属于中档题．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.函数的单调递减区间是_________
【答案】或
【解析】
【分析】
求出导函数，然后在定义域内解不等式得减区间．
【详解】，由，又得．
∴减区间为，答也对．
故答案为或．
【点睛】本题考查导数与函数的单调性，一般由确定增区间，由确定减区间．
14.已知函数，且，则曲线在处的切线方程为
______.
【答案】
【解析】
【分析】
求导，利用求出，根据导数几何意义可求斜率，利用点斜式写出切线方程即可.
【详解】∵，∴，解得，即，，则，∴，曲线在点
处的切线方程为，即.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.
15.以下说法中正确的是______.
①函数在区间上单调递减；
②函数的图象过定点；
③若是函数的零点，且，则；
④方程的解是；
⑤命题“，”的否定是，.
【答案】②④⑤
【解析】
【分析】
对于①，举出反例和；对于②，将点代入即可得结果；对于③，，中也有可能存在一个为零；对于④，根据指数与对数的运算性质解方程即可；对于⑤，由特称命题的否定为全称命题可得结果.
【详解】说法①：函数在、每个区间上单调递减，但是在整个定义域内不具有单调性，例如：，而，不具有单调递减的性质；
说法②：当时，，所以函数的图象过定点是正确的；
说法③：如果，中也存在一个为零时，就不符合，故本说法不正确；
说法④：，故本说法④正确；
说法⑤：命题“，”的否定是，.故⑤是正确的.综上，本题的答案为②④⑤.
【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，函数单调性，函数零点的性质，特称命题的否定，属于中档题.
16.已知函数，，则函数的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
对函数进行求导得，令，，根据的符号以及复合函数的单调性得到的单调性，进而可得函数的最值.
【详解】因为，，
∴
，
令，∵，∴，
令，则，
∴令，则，，
∴当时，，当时，，
∵函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数在区间上递减，在区间上递增，
∴当，即，时，
，
∴函数的最小值为，故答案为.
【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，准确求导得到函数的单调性是解题的关键，考查了学生的计算能力，属于中档题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）
17.设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）p为真命题时，任意，不等式恒成立可转化为
，求解即可（2）根据且、或命题的真假，确定，一真一假，结合（1），再化简命题q,即可求出的取值范围.
【详解】对于：成立，而，有，
∴，∴.
：存在，使得不等式成立，只需，
而，∴，∴；
（1）若为真，则；
（2）若为假命题，为真命题，则，一真一假.
若为假命题，为真命题，则，所以；
若为假命题，为真命题，则，所以.
综上，或.
【点睛】本题主要考查了命题的真假，且、或命题，不等式恒成立、存在性问题，属于中档题.
18.已知函数.
（1）若，求实数的值；
（2）设函数，若在上没有零点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）代入解析式，取对数即可求解（2）转化为方程在上无实数解，求的值域即可得到k的范围.
【详解】（1）因为，即：，
所以
（2）由题意可知，，
函数在上没有零点等价于方程在上无实数解，
设，则，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴在上取得极小值，也是最小值，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查了函数与方程，利用导数求函数的极值、最值，转化思想，属于中档题.
19.设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线.
（1）求函数，的解析式；
（2）若函数在上的最小值为，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）两函数在处有相同的切线可知，，联立求解即可
（2）利用导数可求出的唯一极小值，也就是最小值，转化为即可求t范围.
【详解】（1），，
由题意，两函数在处有相同的切线，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，.
（2）由（1）得.
当时，则，所以在上单调递增，
当时，则，所以在上单调递减，
而函数，∴，
即.
故实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数单调性、极值，转化的思想，属于中档题.
20.已知函数在区间上的最小值为1.
（1）求的值；
（2）若存在使得不等式在成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）1；（2）.
【解析】
【分析】
（1）二次函数写出对称轴，分，，三种情况讨论即可求出最小值，根据最
小值为1，写出（2）分离参数可得，令，换元后求最小值，只需k大于最小值即可.
【详解】（1）.
当时，，解得；
当时，，解得不符合题意；
当时，，解得，不符合题意.
综上所述，.
（2）因为，
可化为，
令，则.
因，故.故不等式在上有解.
记，，故，
所以的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论，分离参数，不等式有解问题，属于中档题.
21.已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线
垂直.
（1）求实数，的值；
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）M点坐标代入函数解析式，得到关于的一个等式；曲线在点处的切线恰好与直线垂直可知,列出关于的另一个等式，解方程组，求出的值.
（2）求出，令，求出函数的单调递增区间，由题意可知是其子集，即可求解.
【详解】（1）的图象经过点,
①,
因为，则,
由条件，即②，
由①②解得.
（2），
令得或，
函数在区间上单调递增，
,
或，
或
【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，直线垂直的充要条件，利用导数确定函数的单调区间，属于中档题.
22.已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数，求证：当时，在上恒有成立.
【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析.【解析】
【分析】
（1）当时，对函数求导可得，解不等式得单调性；（2）对函数求导可得，求出的最小值为
，将与相结合可证得不等式.
【详解】（1）函数的定义域为，
当时，，，
令，即，解得，
令，即，解得，
∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2），
，
由得，，
当时，，当时，，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
，
∵时，，∴，
即.
∴成立.
【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，利用导数解决恒成立问题，解决第二问的难点在于得到在给出的范围内得到，属于难题.。