量子力学导论Chap8-2

(2) 对于 j = l-1/2
j l 1 / 2 , ( , , s z ) （l0） l m Y lm 2 l 1 l m 1Y l , m 1 1
所以，mmax = l-1, mmin = -l。 为什么？ 于是 m = l-1, l-2, …, 0, …, -l+1, -l。 而 mj = (m+1/2)， 这样，mj = l-1/2, l-3/2, …, -l+3/2, -l+1/2 = j, j-1,…, -j j = l+1/2 此时， mj 也共有(2j+1)个取值
3) l2 仍然是守恒量
[ [ [
ˆ , ˆ ] iˆ jx jy jz ˆ , ˆ ] iˆ jy jz jx ˆ , ˆ ] iˆ jz jx jy
2
2 ˆ ˆ [l , s l ] 0 , ˆ ,l2] 0 [H
4) 守恒量完全集
j l 1 / 2 , ( , , s z )
（l0）
(l2, j2, jz) 对应的本征值分别是
ˆ 2 l ( l 1) 2 , ˆ 2 j ( j 1) 2 ( j l 1 / 2 ) l j ˆ m (m 1 / 2 ) jz j
4) mj 的取值问题（分两种情况） (1) 对于 j = l+1/2
j l 1 / 2 , ( , , s z ) l m 1Y lm 2 l 1 l m Y l , m 1 1
所以，mmax = l, mmin = -(l+1)。 为什么？ 于是 m = l, l-1, …, 0, …, -(l+1)。 而 mj = (m+1/2)， 这样， mj = l+1/2, l-1/2,…,-(l+1/2) = j, j-1,…,-j j = l+1/2 可见，mj 共有(2j+1)个取值
2 ˆ [l , j ] 0
ˆ ,l2, j2, ˆ ) (H jz
能量本征态可以选取 它们的共同本征态
ˆ2 ˆ2 ˆ2 令 j jx j y jz
j , ˆj 0 , x , y , z
2

3、共同本征态 空间角度部分与自旋部分的波函数的共同本征态 取 ( l 2 , j 2 , ˆ ) 的共同本征态。 jz 在 (, , sz)表象中，设共同本征态为
方可得到
ˆ 2 l ( l 1) 2 l ˆ (m 1 / 2) jz
对 jz 本征值求解的说明
aY lm ( , ) ˆ ( lˆ s ) ( lˆ s ) ˆz ˆz jz z z bY ( , ) l , m 1 aY lm ( , ) 1 lˆz bY ( , ) 2 0 l , m 1 0 aY lm ( , ) bY 1 l , m 1 ( , )
j m j 1Y j 1 / 2 , m 1 / 2 1 j j m j 1Y j 1 / 2 , m j 1 / 2 2j2
2、总角动量 定义
j l s
性质 1）中心力场中考虑自旋－轨道耦合，j 为守恒量
ˆ ˆ ˆ [ j , s l ] 0, ˆ , ˆ] 0 [H j
[ l , s ] 0 ( , x , y , z )Βιβλιοθήκη 2) 总角动量的对易关系式
它是 a 和 b 的齐次线性方程组，有非平庸解的条 件是其系数行列式必为零
即，l ( l 1) 3 / 4 m
( l m )( l m 1)
( l m )( l m 1) l ( l 1) 3 / 4 ( m 1)
0
解之，得 的两个实根，即
本征方程
lˆ ( j / 2 ) z 1 z 1 lˆz 2 ( j / 2 ) 2 z
可见，1 和 2 都是 lz 的本征态，但对应的本征值 却相差 。
结合 l2 对 1 和 2 的要求，取
aY lm ( , ) ( , , s z ) bY ( , ) l , m 1
1 Y lm 0 2l 1 1 2j
或 ljm j
j m j Y j 1 / 2 , m j 1 / 2 j m j Y j 1 / 2 , m j 1 / 2
(2) j = l－1/2 (l 0), mj = m+1/2
最终，(l2, j2, jz) 的共同本征函数 (1) j = l+1/2，mj = m+1/2
ljm
j
2l 1 1
l m 1Y lm l m Yl , m 1 0 Yl , m 1 1 2l 1 lm

l m 1
ljm j
l m Y lm 2 l 1 l m 1Y l , m 1 1 l m 1 0 Yl , m 1 1 2l 1
1 Y lm 0 2l 1 lm 或 ljm j
( lˆx i lˆy )
求本征值 代入 j2 的本征值方程，并利用 l 算符的性质，得
[ l ( l 1) 3 / 4 m ] aY lm ( l m )( l m 1) bY lm aY lm ( l m )( l m 1) aY l , m 1 [ l ( l 1) 3 / 4 ( m 1)] bY lm bY l , m 1
§8.2 总角动量
1、 自旋－轨道耦合 电子自旋是一种相对论效应 中心力场的相对论波动方程在非相对论极限条件 下，哈密顿量中将出现自旋－轨道耦合作用项
( r ) s l 1 1 dV ( r ) 2 2 2 c r dr
原子光谱的精 细结构和反常 塞曼效应都与 此有密切关系
ˆ Y ( l m 1)( l m )Y l lm l , m 1
lˆ lˆx i lˆy
泡利表象中(其中要用到泡利矩阵)，j2的矩阵形式
2 ˆ s ） lˆ 2 s 2 2 s lˆ ˆ ˆ j l ˆ （ 2
lˆ
2
3 4
(ˆ x lˆx ˆ y lˆy ˆ z lˆz )
maY lm ( , ) aY lm ( , ) ( m 1) bY ( , ) 2 bY l , m 1 ( , ) l , m 1

( m 1 / 2 ) aY lm ( , ) aY lm ( , ) (m 1 / 2) ( m 1 / 2 ) bY bY ( , ) ( , ) l , m 1 l , m 1
a / b ( l m ) /( l m 1) (当 j l 1 / 2， l 0 )
综合 1)、2) 和 3) ，可写出 (l2, j2, jz) 的共同本征函 数，并加以归一化
j l 1 / 2 , ( , , s z ) 2l 1 1 2l 1 1 l m 1Y lm l m Yl , m 1 l m 1Y l , m 1 l m Y lm
上式两边分别乘以
Y 和Y
* lm
* l , m 1
, 并对 和 积分
[ l ( l 1) 3 / 4 m ] a ( l m )( l m 1) b 0 ( ) ( l m )( l m 1) a [ l ( l 1) 3 / 4 ( m 1) ]b 0
注：在外磁场较强的正常塞曼效应中，该项可以 忽略，但在外磁场较弱或为零时，此项不可忽略
在中心力场中考虑自旋－轨道耦合后： 电子轨道角动量 l 和自旋角动量 s 都不是守恒量
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , s l ] 0, ˆ [l , s l ] 0 , [ s ˆ ˆ , l ] 0,[ H , s ] 0 ˆ ˆ [H
( , , / 2 ) 1 ( , ) ( , , s z ) ( , , / 2 ) ( , ) 2
它必须同时满足如下要求： 是 l2 的本征态 是 jz 的本征态 是 j2 的本征态
2
lˆ 2 3 2 / 4 lˆ z ( lˆx i lˆy ) lˆ 2 3 2 / 4 lˆ z lˆ
ˆ 2 3 2 / 4 lˆ l z ˆ 2 3 2 / 4 lˆ l z lˆ
本征值
C。
ˆ j ( j 为实数 ) jz z z
ˆ ˆ z lˆz s z j 1 1 lˆz 0 2 2 0 1 1 ＝ j z －1 2 2
1) l2 的本征态
1 1 l C ( C 为实数 ) l C 2 2
2 2
l 1 C 1 , l 2 C 2 1和 2 都是 l
2 2
2
的本征态，对应相同的
2) jz 的本征态
1 ( l 1 / 2 )( l 3 / 2 ), 2 ( l 1 / 2 )( l 1 / 2 )
或表为 j ( j 1), j l 1 / 2
再求 a 和 b 的关系 将 j = l1/2 对应的根 代入式(*)中，立即得到
a /b ( l m 1) /( l m ) (当 j l 1 / 2 )
3) j2 的本征态
j
2 2
aY lm aY lm 2 即， j bY bY l , m 1 l , m 1
2
如何求 、 a和b？
为了方便求解 j2 本征值，事先作两个说明： a. 在 j2 中，由于涉及 s2，在 泡利表象中 s2 就等于 3/4 ћ2 lˆ lˆx i lˆy b. 定义两个新算符，l 的升降算符：