§3.5平台式惯导的基本原理

§3.5 平台式惯性导航系统的基本原理
1、平台式惯导系统的基本组成原理
平台式惯导系统的核心是一个惯性级的陀螺稳定平台，它确定了一个平台坐标系(用p 来标识)p p p z y ox ，三个惯性级的加速度计的敏感轴分别沿三个坐标轴的正向安装，测得载体的加速度信息就体现为比力f v
在平台坐标系中的三个分量p x f 、p y f 和p z f 。

如果使平台坐标系精确模拟其一选定的导航坐标系(用n 来标识)n n n z y ox ，也便得到了比力在导航坐标系中的三个分量n x f 、n y f 和n z f ，通过必要的计算和补偿，
可从中提取出载体相对导航坐标系的加速度矢量v
&v 的三个分量，再通过两次积分，可得到载体相对导航坐标系的速度和位置。

平台式惯导系统按所选定的导航坐标系的不同又可分为：
1）当地水平面惯性导航系统。

这种系统的导航坐标系是一种当地水平坐标系，即平台系的两个轴p ox 及p oy 保持在水平面内，p oz 轴与地垂线相重合。

由于两个水平轴可指向不同的方位，故这种系统又可分为
（1）指北方位惯导系统。

这种系统在工作时p ox 指向地理东向(E)，
p oy 指向地理北向(N)，即平台系模拟当地地理坐标系(用t 来标
识)t t t z y ox 。

(2) 自由方位惯导系统。

在系统工作中，平台p oy 轴不跟踪地理北
向而是与正北方向夹某个角度)(t α，称自由方位角。

由于)(t α可以有多种变化规律，因此又有自由方位、游动方位等区分。

2) 空间稳定惯导系统。

这种系统的导航坐标系为惯性坐标系(用i 来标识)，一般采用原点定在地心的惯性坐标系。

i oz 轴与地轴重合指向北极，i ox 、i oy 轴处于地球赤道平面内，但不随地球转动（x 轴指向春分点）。

与当地水平面惯导系统相比，平台所取的空间方位不能把运动加速度和重力加速度分离开，而要依靠计算机进行补偿。

我们知道，地球相对惯性空间是转动的，因而在地表任何一点的水平坐标系也在随之一道转动。

如果选定某种水平坐标系作为导航坐标系，就必须给平台上的陀螺仪施加相应的指令信号，以使平台按指令所规定的角速度转动，从而精确跟踪所选定的导航坐标系。

指令角速度可分解为三个坐标轴向的指令角速率，分别以控制信号的形式加给相应陀螺的控制轴。

当然，指令角速率信号需由载体的运动信息经计算机解算后提供出来。

这样就组成了平台的控制回路。

下图给出了惯导系统各组成部分相互关系的示意图。

图 惯导系统各组成部分的示意图
由图可见，一组加速度计安装在惯性平台上，为导航计算机的计算提供加速度信息。

导航计算机根据加速度信息和由控制台给定的初始条件进行导航计算，得出载体的运动参数及导航参数，一方面送去显示器显示，一方面形成对平台的指令角速率信息施加给平台上的一
组陀螺仪，再通过平台的稳定回路控制平台精确跟踪选定的导航坐标系。

此外，从平台框架轴上的角传感器可以摄取载体的姿态信息送往显示器显示。

2、平台式惯导系统的基本结构
下图给出了平台式惯导系统的组成结构图。

p
x p
y p
z x A p
x f y
A p
y f z
A p z f
图 平台式惯导结构图
由于载体在空间作任意运动，要测出载体的位置和有关参数，惯导系统必须具有三个通道以与三维空间相对应。

图中所示的惯性平台是由三个单自由度陀螺组成的三环平台。

平台坐标系p p p z y ox 所跟踪的导航坐标系具体选为当地地理坐标系t t t z y ox 。

沿三个平台轴线分别安装三个加速度计x A 、y A 和z A ，它们测得的比力分量分别为t x f 、t y f 和t z f 。

此信号送给导航计算机，经过计算和补偿，最后可求得载体的即时地速、即时位置等导航参数。

问题：平台坐标系如何模拟导航坐标系？
当地地理坐标系相对惯性空间有转动角速度it ωv
，它的三个分量为
t itx
ω、t ity ω和t
itz ω。

平台坐标系欲精确跟踪当地地理坐标系，自身相对惯性空间也得有一转动角速度ip
ωv ，它的三个分量为p ipx ω、p ipy ω和p
ipz ω。

当两个坐标系达到重合时，显然有t itx p ipx
ωω＝、t ity p ipy ωω＝、t
itz p ipz ωω＝。

实际上角速度的上标p 和t 也完全等同。

计算机的作用是按照it ωv
算出三个分量，变为电信号后加给平台上相应的三个陀螺的控制轴上的力矩器
（用T 表示），使平台角速度ip ωv 和it ωv
完全相等。

我们称ip ωv
为系统对
平台的指令角速度，三个分量为系统对平台的三个指令角速率。

计算机还要完成导航参数的计算，结果送往控制台加以显示。

另外，可以通过控制台向计算机提供运动参数的初始值及某些已知数据。

系统各部件之间信号的传递关系已由图中的联线表示清楚。

应特别注意到，由加速度计向导航计算机提供比力信息，再由计算机向陀螺输送指令角速率信息，这样所构成的闭环大回路，其作用正是保证
平台精确稳定地跟踪导航坐标系，而条件则是回路参数必须满足舒勒调谐的要求以及精确的初始对准。

在平台的三个环架轴上都装有同步器，通过它们可以提供载体的姿态角信息。

也可以用二自由度陀螺仪来组成惯性平台，一个陀螺可以控制两个平台轴，故只需用两陀螺。

还余出一个测量轴可用电路自锁或安排其它用途。

不同方案的平台式惯导系统，其组成结构是相似的，区别主要是选用的导航坐标系不同，因而导航参数与指令角速率的计算过程不同，即力学编排方程不同。

当然，对元部件的要求也可能有所不同。

在各种元部件齐备之后，作为惯导系统所要解决的问题应当是： (1) 如何由比力信息中提取所需的加速度信息； (2) 如何完成导航参数及平台指令角速率的计算； (3) 如何使平台回路满足舒勒调谐； (4) 如何进行精确的初始对准。

3、比力方程和加速度信息的获取
如果把一个小质量块m ，通过具有三个自由度的弹性支承安装在
运动的载体上，则通过弹性支承的变形就能测出m 所受的比力f r
，当然这也就是载体所受到的比力。

实际的测量元件即安装在惯性平台上的三个互相垂直的加速度计。

由于平台的结构只能隔离角运动而不隔离线运动，因此载体所受的比力也可以说是平台所受的比力。

比力的定义式为 G a f v
v v −=
比力可定义为：作用在单位质量上惯性力与引力的矢量和。

因此与加速度有相同的量纲。

若选取地球坐标系(用e 来标识)e e e e z y x o (原点为地心e o ，e oz 轴为地轴，e ox 轴、e oy 轴处于赤道平面内，e ox 轴通过零经度线)为动坐标系，有
g v v f ep
ep ie ep v v v v &v v −×++=)2(ωω 式中ep v
&v
为平台(载体)相对地球坐标系的加速度，是惯导系统所要提取的信息；ep ie v v v ×ω2是载体的相对速度ep v v
与牵连角速度ie ωv
引起的哥式加
速度；ep ep v v
v
×ω是法向加速度，
而g v 为重力加速度，)(R G g ie ie v v v v v ××−=ωω。

可将上述式子写成以下形式：
E ep ep ie ep a f g v f v v v v v v v v &v −=−×+=])2[(ωω－
上式表明，必须从测得的比力f 中补偿掉有害加速度E a r
，才能提
取出载体的运动加速度ep v &v 。

E
a r 中又包含两部分，一是重力加速度g v ，另一部分中又包含哥氏加速度和法向加速度。

若按上式中的各个矢量，用它们各自在平台坐标系中的分量来表示，则为
p p ep p ep p ie p p ep g v f v ＋－×+=)2(ωω&
式中⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=p epz p epy p
epx p
ep v v
v v &&&&，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=p z p y p x p
f f f f ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡p iez p iey p iex p ie ωωωω＝，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡p epz p epy p epx p ep ωωωω＝，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=p epz
p epy p
epx p
ep v v v v ，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=p z p y p x p g g g g 。

这样就把矢量方程分解成为沿平台系三个轴向的分量方程组。

下面就来考察平台系模拟不同的坐标系对排除有害加速度的影响将起什么作用。

如果使平台系精确跟踪一个当地水平坐标系，则有
即在x 通道和y 通道里的水平加速度计将感受不到重力如速度，而在z 通道即高度通道里将感受全部重力加速度g 。

这样就从两个水平通道里把重力加速度完全分离出来。

至于其它那些不需要的哥氏加速度和法向加速度，三个通道都有，不可能用几何方法进行分离，还得靠计算补偿。

如果平台系跟踪的是以地心为原点的惯性坐标系i i i z y ox ，那么一般地说，三个通道都不可能避开重力加速度分量，而且三个分量还是时间的函数，即
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡=⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)()()(t g t g t g g g g g z y x z y x p
这时只能用计算补偿的方法来排除有害加速度。

对于像飞机、舰船等在地表附近运动的载体，最常用的导航坐标
系是当地水平坐标系，特别是当地地理坐标系t t t z y ox 。

因为在这个坐标系上进行经纬度的计算最为直接和简单。

对于像洲际导弹、运载火箭和宇宙探测器等远离地表飞行的载体，用惯性坐标系来确定它们的位置更为方便合理，导航坐标系一般选用地心惯性坐标系i i i z y ox 。

4、平台的水平控制回路及其舒勒调谐
当地水平面惯导系统中有两个水平通道，工作原理相同。

下面用
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=g g g g g z y x p 00
一个单通道的惯导系统来说明问题。

设载体在地球表面沿子午线向北航行，高度不变而且可略。

地球为理想球体且无转动。

载体可以俯仰，但无横滚和偏航。

平台装在载体上并已初始对准。

平台轴p ox 水平指东为正，它是平台唯一的转轴。

p oy 轴水平指北为正。

在平台上安装—个加速度计N A 和一个速率积分
陀螺仪E G 。

陀螺E G 的用于敏感角速率的轴沿p ox 方向，控制轴(施加指令力矩)和转子自转轴垂直于p x 轴。

加速度计的输入轴(敏感线加速
e
i ωr
t
x t
y t
z ϕ
N v 0
ϕϕ
p
x p
y p
z
图 单通道的惯导系统（指北方位平台东向轴修正回路（北向
水平修正回路））
度)沿p oy 方向。

再加上计算回路就组成一个单通道惯导系统，如图所示。

在航行过程中要求平台p oy 轴始终水平指北，即平台保持水平。

下图表示了在子午面里，平台法线绕p ox 轴跟踪当地垂线的情形。

图平台跟随地垂线的情形
惯导平台在A点时，设平台台面在当地水平面内，经过一段时间后，被运载体带到B点，为使平台台面到达B点时也在水平面内，平台必须作两种运动：一种是从A点到B点平动，运载体运动时，由运载体带动并由陀螺稳定系统保持平台与初始位置A的方位一致；另一个运动是转动，即稳定平台逆时针由虚线位置转到实线位置。

这种转动由修正回路来完成。

陀螺稳定平台的修正指令是由加速度信号经一次积分得到的，所
Φ与地以称为积分修正。

它完全依据舒勒摆原理，如果平台转动角
a
Φ完全相等，则平台就能理想地控制在当地水平面里，垂线变化角
b
而不受运载体加速度的影响。

4.1由加速度计
A到计算回路再到陀螺控制轴上的力矩器T的信
N
息传送过程
当载体以加速度N a 沿子午线向北航行时，当地垂线的方向不断发生变化，变化的瞬时角速率为()R v N −。

N v 是由N a 引起的载体的即时速率，R 为地球半径，负号则表示角速率是绕p ox 轴的负向转动。

为了使平台(法线)能够跟踪地垂线的变化，计算机应向陀螺提供相同的
指令角速率信息()R v N p
ipx
−=ω，此信息以电信号的形式加给陀螺控制轴上的力矩器T 。

具体的传送环节是：加速度计N A 以传递系数a k 敏感加速度N a 并将其变成相应的电信号送给计算回路中的积分器。

积分器的传递系数为u k ，信号被积分一次再加上载体的初始速率信号
()u a N k k v ⋅⋅0便得到载体的即时速率N v 的电信号。

再由计算机将其除以
地球半径R ，
就变为由载体N v 引起的当地垂线在空间的转动角速率信号。

此信号一方面送去进行第二次积分以求出载体所在的纬度ϕ，同
时，将它作为对平台的指令角速率p
ipx
ω的信号，以电流I 的形式送至陀螺力矩器T 以产生要求的控制力矩。

电信号的接法要保证指令角速率信号为负值。

采用算子s 可画出这一段信息传递的方框图。

4.2由对陀螺施矩到使平台跟踪地垂线的信息传递过程
指令信号电流I 加给陀螺力矩器T ，力矩器的传递系数为c k ，将信号电流变为相应的控制力矩而使陀螺发生进动，进动角速率等于控制
力矩除以陀螺自转动量矩H ，数量上应等于p
ipx
ω。

因此，力矩器与陀螺的总传递系数为H k c /。

应注意到，陀螺实际上是携带着整个平台一道进动，而这一点正是由平台的稳定回路来保证的。

由于稳定回路快速的过渡过程对缓慢的进动运动没有什么影响，因而可以将整个稳定回路简化为传递系数为1的环节，即从方框图中消失。

由指令角速
率信号电流I 到平台相对惯性空间的绝对转角a φ的过程如图所示。

N
a a
k s
k u u
a N k k v ⋅⋅0
图 产生指令角速率电流信号的过程
p ipx
ω
图 由指令信号到平台转角的过程
最后再来看当地垂线在空间的转动以及重力加速度g 在水平控制回路里起什么作用。

设地垂线绕p ox 的初始转角和角速度均为零，当载体有北向加速度N a 时，引起当地垂线绕p ox 轴的绝对转角b Φ为
dt dt a R dt R
v t t N t N
b ∫∫∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−=Φ000
1 平台在指令信号作用下的绝对转角a Φ（由陀螺进动得来的）将和当地垂线的绝对转角b Φ发生比较。

如果平台法线相对当地垂线的起始偏角00=Φx ，则当平台法线p Oz 与当地垂线t Oz 达到重合一致时有
00=Φ−Φ=Φ+Φ−Φ=Φb a x b a x
这时，平台将始终保持在当地水平面内，因而重力加速度g 不会被加速度计N A 所敏感，即对回路无影响，这正是我们所希望的。

但实际系统的工作总存在—定误差，x Φ不可能绝对为零，这时x Φ感受
到的比力y f 应为
x N x N y g a g a f Φ+≈Φ+=sin （G a f v
v v −=）(设地球不转动，无哥氏加速度和法向加速度)
相应的几何关系如图所示。

图 加速度计敏感比力值
根据以上各式不难得出整个水平控制回路的方框图。

a
k s
k u u
a N k k v ⋅⋅0R
1−H
k c 0
x Φs
k k u a 1−
ϕ
ϕ
图 单通道惯导系统方框图
由上图可以看到，当载体有加速度N a 时，两条并联的前向回路，一个表示当地垂线自然地在空间转动，另一个代表平台自动地跟踪转动。

如果两者不完全一致，将产生偏差角x Φ，通过重力加速度g 反馈到加速度计的输入端，形成闭环回路。

这是一个负反馈系统。

可以把两条并联的前向回路里的负号移到反馈回路里，就可看得更为清楚，如图所示。

a
k s
k u
x
Φ 图 平台水平控制回路方框图
图中设00=N v 、00=Φx 且略去了导航计算（计算纬度）。

平台水平控制回路的方框图给我们以启示，如果通过设计使两个并联的前向回路的传递函数完全相等，即满足
2
21
Rs
RHs k k k c u a = 亦即使
1＝H k k k c
u a
则无论加速度N a 为何值，两条前向回路的作用将始终互相抵消，恒有
0=Φ−Φb a ，只要严格初始对准使00=Φx ，则平台将始终跟踪当地水
平面，反馈回路将不起作用。

这实际上是实现对干扰量N a 的不变性原理，从而使系统方框图变为下图的形式。

x
Φ
图 实现舒勒调谐后的方框图
下面我们来证明，上述的不变性原理的设计，本质上就是使平台
实现舒勒调谐。

由上可求得x Φ的表达式
s
R g Rs Rs a s R g Rs a Rs g a x N
x N x N x Φ−=−+Φ−=−Φ−=Φ)11(11)(& 于是可得系统的微分方程：
0=Φ+Φ
x x R
g && 显然这是一个无阻尼振荡系统，系统的固有频率s ω为
R
g s =
ω 而这正是舒勒原理，相应的舒勒周期T 等于84.4min 。

1＝H
k k k c
u a 就是平台水平控制回路的舒勒调谐条件。

我们知道，一个简单的物理摆要实现舒勒调谐，必须要完成精确而细微的质心位置控制，而这实际上是办不到的。

陀螺摆和陀螺罗经
虽然要求略宽，但质心位置的调整难度仍然很大，而且陀螺罗经的舒勒条件里还包含了当地纬度，所以实际可能与理论要求相距甚远。

只是到了惯性平台出现后，舒勒调谐才变得比较容易实现。

根据
1H
k k k c
u a ，陀螺自转动量矩可以有很高的稳定度，而三个传递系数a k 、u k 、c k 的联合调整比质心位置的控制就要方便多了。

附录1 速率积分陀螺仪
速率积分陀螺仪是在单自由度陀螺仪的基础上增设阻尼器和角度传感器而成。

同速率陀螺仪相比，它只是缺少弹性元件，而阻尼器起了主要作用。

实际的速率积分陀螺仅均为液浮式结构，也可以说，单自由度液浮陀螺仪实为速率积分陀螺仪。

为了获得大的粘性约束，浮子与壳体之间的间隙一股仅为0.02mm ，并且采用密度和粘度都较大的液体如氟油作浮液。

图 速率积分陀螺仪结构示意图
在理想情况下，速率积分陀螺仪的输出电压U 与输入角速度x ω的
积分成正比，或者说，与输入转角x θ成正比。

附录2 地理坐标系相对于惯性坐标系的运动规律
综合考虑地球自转和航行速度的影响，地理坐标系相对惯性参考
系的转动角速度在地理坐标系各轴上的投影表达式为
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧++=++=+−=ϕψϕωωψϕωωψωtan sin sin sin cos cos h R v h R v h
R v ie t etz ie
t
ity t
itx。