2019届南通、扬州、泰州、苏北四市七市联考一模数学试卷(含附加)

2019届南通、扬州、泰州、苏北四市七市联考一模
2019届高三第一次调研测试 数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 已知集合{}13=A ，，{}01=B ，，则集合A
B = ▲ ．
【答案】{}013，，
2． 已知复数2i 3i 1i
z --=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ .
【答案
3． 某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：
则平均每人参加活动的次数为 ▲ . 【答案】3
4． 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ▲ ．
【答案】7
5． 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参
加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 ▲ ． 【答案】23
6． 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是cm ，
则这个正四棱柱的体积为 ▲ cm 3． 【答案】54
7． 若实数x y ，满足2+3
x y x ≤≤，则x y +的最小值为 ▲ ．
【答案】6-
8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)=>y px p 的准线为l ，直线l 与双曲线2
214
x y -=
的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB =p 的值为 ▲ ．
【答案】9． 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3y x t =+与曲线()sin cos y a x b x a b t =+∈R ，，相切于
（第4题）
点()01，，则()a b t +的值为 ▲ ． 【答案】4
10．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题：
①数列{}n a 是等比数列； ②数列{}1+n n a a 是等比数列； ③数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭
n a 是等比数列； ④数列{}2lg n a 是等比数列．
其中正确的命题有 ▲ 个．
【答案】3
11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=．当01<x ≤时，()=f x 31x ax -+，则实
数a 的值为 ▲ ． 【答案】2
12．在平面四边形ABCD 中，1AB DA DB ==，，32AB AC AC AD ⋅=⋅=，，则2AC AD +的最小
值为 ▲ ．
【答案】13．在平面直角坐标系xOy 中，圆221O x y +=：，圆()2
244C x y -+=：．若存在过点()0P m ，
的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是 ▲ ．
【答案】()
443
-，
14．已知函数()()
()2|||2|(0)f x x a x a x a a =+-++<．若(1)(2)(3)f f f +++…(672)0f +=，则满足()2019f x =的x 的值为 ▲ ．
【答案】337
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为棱P A ，PD 的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA =DP ． 求证：（1）MN ∥平面PBC ； （2）MD ⊥平面P AB ．
【证明】（1）在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为
棱P A ，PD 的中点，
（第15题）
C
D
P
M
N
所以MN ∥AD ．……………………2分 又底面ABCD 是矩形， 所以BC ∥AD ．
所以MN ∥BC ． …………………………………………………………………4分 又⊂⊄BC PBC MN PBC 平面，平面，
所以MN ∥平面PBC ． …………………………………………………………6分
（2）因为底面ABCD 是矩形， 所以AB ⊥AD ．
又侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧面P AD ∩底面ABCD =AD ，AB ⊂底面ABCD ， 所以AB ⊥侧面P AD ．……………………………………………………………8分 又MD ⊂侧面P AD ，
所以AB ⊥MD ． ………………………………………………………………10分 因为DA =DP ，又M 为AP 的中点，
从而MD ⊥PA ． ………………………………………………………………12分 又PA ，AB 在平面P AB 内，=PA
AB A ，
所以MD ⊥平面P AB ．…………………………………………………………14分 16．（本小题满分14分）
在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，cos cos a B A =，cos A =．
（1）求角B 的值；
（2）若a =ABC 的面积．
【解】（1）在△ABC 中，因为cos A ，0π<<A ，
所以sin =A ．………………………………………………………2分
因为cos cos a B A =，
由正弦定理sin sin =a b A B
，得sin cos cos =A B B A ．
所以cos sin =B B ． ………………………………………………………………… 4分
若cos =0B ，则sin =0B ，与22sin cos 1B B +=矛盾，故cos 0B ≠． 于是sin tan 1cos ==B B B ．
又因为0π<<B ，
所以πB =． …………………………………………………………………………7分
（2
）因为a =
sin A =，
由（1）及正弦定理=a b
=，
所以=b ． ………………………………………………………………………9分
又()()sin sin πsin C A B A B =--=+
sin cos cos sin =+A B A B
=12分 所以△ABC
的面积为11sin 22==S ab C .……14分
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221y x a b
+=(0)a b >>的左焦点为F ，右顶点为A ，
上顶点为B ．
（1）已知椭圆的离心率为12
，线段AF
，求椭圆的标准方程；
（2）已知△ABF 外接圆的圆心在直线y x -=上，求椭圆的离心率e 的值．
【解】（1）因为椭圆22
221x y a b +=(0)a b >>的离心率为12
，
所以
1
2
c a =，则2a c =． 因为线段AF
，
所以
2a c -．
所以c ，则28a =，2226b a c -==．
所以椭圆的标准方程为22
186
x y +=． …………………………………………………4分
（2）因为(0)(0)A a F c -，
，，， 所以线段AF 的中垂线方程为：2
a c
x -=
． 又因为△ABF 外接圆的圆心C 在直线y x -=上， 所以(
)22
a c a c
C ---，．…………………………………………………………………6分 因为(0)(0)A a B b ，
，，，
（第17题）
所以线段AB 的中垂线方程为：()22
b a a
y x b -
-=． 由C 在线段AB 的中垂线上，得()2222
a c
b a a
c a
b -----=，
整理得，2()b a c b ac -+=，…………………………………………………………10分 即()()0b c a b -+=．
因为0a b +>，所以b c
=．……………………………………………………………12分
所以椭圆的离心率c e a =
==
． …………………………………………14分 18．（本小题满分16分）
如图
1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ，AB AD ，的长分别为和 4m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，=3
COD 2π∠．
（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；
（2）现欲以B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，
如图2、图3、图4所示．设BC 与地面水平线l 所成的角为θ．记拱门上的点到地面 的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值．
【解】（1）如图，过O
作与地面垂
直的直线交AB CD ，于
点12O O ，，交劣弧CD 于点P ，1O P 的
长即为拱门最高点到地面的距离． 在2Rt O OC △中，
23
O OC π
∠=
，2CO = 所以21OO =，圆的半径2R OC ==． 所以11122=5O P R OO R O O OO +=+-=．
答：拱门最高点到地面的距离为5m ． …………………4分
（2）在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P ．
当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；
当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离． 由（1
）知，在1Rt OO
B △中，OB ．
O
O
O
D
D
D
C
C
A
A
A
C
D
O
以B 为坐标原点，直线l 为x 轴，建立如图所示的坐标
系．
（2.1）当点P 在劣弧CD 上时，ππ62
θ<≤． 由π
6
OBx θ∠=+
，OB = 由三角函数定义，
得
O ππ
))66
()θθ++，
则π
2)6h θ=++． …………………………………………………………8分
所以当ππ62θ+
=即π
3
θ=时， h
取得最大值2+ ……………………………………………………10分
（2.2）当点P 在线段AD 上时，06θπ
≤≤．
设=CBD ϕ∠，在Rt BCD △中，
DB ，
sin cos ϕϕ====．
由DBx θϕ∠=+
，得))()D θϕθϕ++，．
所以)h θϕ=
+4sin θθ=+．……………………………………14分 又当06
θπ
<<
时，4cos 4cos 066h θθππ'=->-=．
所以4sin h θθ=+在[0]6π
，上递增．
所以当6
θπ
=
时，h 取得最大值5．
因为25+>，所以h
的最大值为2+
答：4sin 06
π2)662h θθθθθπ⎧
+⎪⎪=⎨ππ⎪++<⎪⎩
，≤≤，，≤
；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地
面距离的最大值为（2+m ． ……………………………………………16分
19．（本小题满分16分）
θ
O
D
C
B A
x
y
已知函数()()ln a f x x a x =+∈R ．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()f x 有两个不相同的零点12x x ，．
① 求实数a 的取值范围；
② 证明：1122()()2ln 2x f x x f x a ''+>+．
【解】（1）()f x 的定义域为()0+∞，，且2()x a f x x
-'=． （1.1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以()f x 在()0+∞，为增函数； ………2分 （1.2）当0a >时，
（i ）当x a >时，()0f x '>，所以()f x 在()+a ∞，上为增函数；
（ii ）当0x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在()0a ，上为减函数．………4分 （2）①由（1）知，当0a ≤时，()f x 至多一个零点，不合题意；
当0a >时，()f x 的最小值为()f a ，
依题意知()=f a 1ln 0a +<，解得10e a <<．……………………………………6分
一方面，由于1a >，()10f a =>，()f x 在()+∞a ，为增函数，且函数()f x 的图 象在()1a ，上不间断．
所以()f x 在()a +∞，上有唯一的一个零点． 另一方面， 因为10e a <<，所以210e <<<a a ．
2211()ln 2ln f a a a a a =+=+，令()12ln =+g a a a
，
当10e a <<时，()2212210-'=-+=<a g a a a a ， 所以()()
211()2ln 20f a g a a g e a e
==+>=->
又()0f a <，()f x 在()0a ，为减函数，且函数()f x 的图象在()
2a a ，上不间断． 所以()f x 在()0a ，
有唯一的一个零点． 综上，实数a 的取值范围是()
10e ，
．……………………………………………10分 ② 设()()1122121211=2+a a a a p x f x x f x x x x x ⎛⎫
''=+=-+-- ⎪⎝⎭
．
又1
1
22
ln 0ln 0a x x a x x ⎧+
=⎪⎪
⎨
⎪+=⎪⎩，
， 则()122ln p x x =+．………………………………………12分 下面证明212x x a >．
不妨设12x x <，由①知120x a x <<<． 要证212x x a >，即证2
12
a x >．
因为()212
0a x a x ∈，，，()f x 在()0a ，上为减函数， 所以只要证()212a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 又()()12==0f x f x ，即证()222a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭
．……………………………………14分 设函数()()
()()2
2ln 2ln a x a F x f f x x a x a x a x
=-=--+>．
所以()()
2
2
0x a F x ax -'=
>，所以()F x 在()+a ∞，为增函数.
所以()()20F x F a >=，所以()22
2a f f x x >⎛⎫ ⎪⎝⎭
成立． 从而212x x a >成立.
所以()122ln 2ln 2p x x a =+>+，即()()11222ln 2''+>+x f x x f x a 成立. …16分
20．（本小题满分16分）
已知等差数列{}n a 满足44a =，前8项和836S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足()()212123(21)n
n k n k n k b a a n *+-=+=-∈∑N ，．
① 证明：{}n b 为等比数列；
② 求集合*3()=p m m p
a a m p m p ⎧⎫⎪⎪
∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭
N ，，，．
【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．
因为等差数列{}n a 满足44a =，前8项和836S =， 所以1134878362
a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩，，解得111a d =⎧⎨=⎩，． 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =． ………………………………………………3分
（2）①设数列{}n b 前n 项的和为n B ．
由（1）及()()212123(21)n
n k n k n k b a a n *+-=+=-∈∑N ，得，
()()()()()()2121
1
121213212321212n
n
k n k k n n k n k k b a n b a
n n +-=----=⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=+-⎪⎩
∑∑，
③≥， ④ 由③-④得
()()()1121223131321321+2n n n n n n b a b a b a b a n -------=++
++
()12322511+22n n n b a b a b a n ----++
+-
[]123225111(2)(2)+(2)2n n n n b a b a b a b a n ---=++++
+++
()12322511+22n n n b a b a b a n ----++
+-
()()1212+222n n n n n b b b b B b b -=++
++=-++．
所以13222n n n B b -⋅=-+()
2n n *∈N ≥，， 又()
1113212b a -=+，所以11b =，满足上式． 所以()
12232n n n B b n -*
-+=⋅∈N ⑤…………………………………………6分 当2n ≥时，2
112232n n n B b ----+=⋅⑥
由⑤-⑥得，2132n n n b b --+=⋅．………………………………………………………8分
()12122n n n n b b ----=--=
()
()1
1
120n b -=--=，
所以12n n b -=，
1
2n n
b b +=， 所以数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．………………………………10分 ②由
3=p m m p a a b b ，得11322
m p p m --=，即32p m
p m -=． 记n
n n
a c
b =，由①得，12n n n n a n
c b -==，
所以
11
12n n c n c n
++=≤，所以1n n c c +≥（当且仅当1n =时等号成立）
． 由
3=p m m p
a a
b b ，得3m p p
c c c =>， 所以m p <．…………………………………………………………………………12分 设t p m =-()
*m p t ∈N ，，，由32p m p
m -=，得323
t t m =-． 当1t =时，3m =-，不合题意；
当2t =时，6m =，此时8p =符合题意； 当3t =时，95m =，不合题意；
当4t =时，12113
m =<，不合题意．
下面证明当4t t *∈N ≥，
时，3123
t t m =<-． 不妨设()233x f x x =--()4x ≥，
()2ln 230x f x '=->，
所以()f x 在4+[)∞，上单调增函数， 所以()(4)10f x f =>≥，
所以当4t t *∈N ≥，
时，3123
t t m =<-，不合题意． 综上，所求集合*3()=p m m p a a m p m p b b ⎧⎫⎪⎪
∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭
N ，，，(){}=68，．………………16分
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵=a b c d ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦M ，10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣
⎦N ，且()1
1002-⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎣
⎦
MN ，求矩阵M ． 【解】由题意，()1
10402-⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，则40102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
MN ． ……………………………………4分 因为1
0=102⎡⎤⎢
⎥⎢⎥
⎣
⎦
N ，则110=02-⎡⎤⎢⎥⎣⎦N ．……………………………………………………6分 所以矩阵401040=1020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
M ．………………………………………………10分 B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2
x t y t =⎧⎨=⎩
，
（t 为参数）．以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程是sin()4ρθπ-=
求：（1）直线l 的直角坐标方程； （2）直线l 被曲线C 截得的线段长．
【解】（1）直线l
的极坐标方程可化为(sin cos cos sin )44
ρθθππ-=sin cos 2ρθρθ-=．
又cos sin x y ρθρθ==，
， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=． …………………………4分
（2）曲线C : 2
x t y t
=⎧⎨=⎩，
（t 为参数）的普通方程为2x y =． 由220
x y x y ⎧=⎨-+=⎩，
，得220x x --=，
所以直线l 与曲线C 的交点()11A -，，()24B ，． ……………………………8分
所以直线l 被曲线C 截得的线段长为AB 10分
C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知实数a b c ，
，满足222a b c ++≤1，求证：2221119
1114
a b c +++++≥
． 【证明】由柯西不等式，得
()()()222
222111111111a b c ++a b c ⎛⎫⎡⎤+++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭
2
9=≥，…………………………5分 所以
222222111999
1113134
++a b c a b c =
+++++++≥≥． …………………………10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)
“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位 “回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4， 其结果记为X ；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y ． （1）求X 为“回文数”的概率；
（2）设随机变量ξ表示X ，Y 两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．
【解】（1）记“X 是‘回文数’”为事件A ．
9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308， 352，396．其中“回文数”有：44，88．
所以，事件A 的概率2()9
P A =．……………………………………………………3分
（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．
由（1）得2()9
P A =．…………………………………………………………………5分
设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立．
根据已知条件得，()2
9205=9
P B C =． ()()()()()
2528=0=119981
P P A P B ξ=--=；
()()()()()()()252543=1=11P P A P B P A P B ξ+=-+-=；
()()()2510=2=9981
P P A P B ξ=⋅= ……………………………………………………8分 所以，随机变量ξ的概率分布为
所以，随机变量ξ的数学期望为2843107()0128181819
E ξ=⨯+⨯+⨯=．……………10分
23．(本小题满分10分)
设集合B 是集合{123n A =，，，…，32313}n n n n *--∈N ，，，的子集．记B 中所有元素的
和为S （规定：B 为空集时，S =0）．若S 为3的整数倍，则称B 为n A 的“和谐子集”． 求：（1）集合1A 的“和谐子集”的个数；
（2）集合n A 的“和谐子集”的个数．
【解】（1）集合{}1=123A ，，的子集有：φ，{}1，{}2，{}3，{}12，，{}13，，{}23，，{}123，，． 其中所有元素和为3的整数倍的集合有：φ，{}3，{}12，
，{}123，，． 所以1A 的“和谐子集”的个数等于4．……………………………………………3分 （2）记n A 的“和谐子集”的个数等于n a ，即n A 有n a 个所有元素和为3的整数倍的子集；
另记n A 有n b 个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有n c 个所有元素和为3的整数 倍余2的子集．
由（1）知，111=4=2=2a b c ，
，． 集合()+1{12332313313231}n A n n n n n n =--+++，，，
，，，，，，的“和谐子集” 有以下四类（考察新增元素()313231n n n +++，，）：
第一类 集合{123n A =，，，…，32313}n n n --，，的“和谐子集”，共n a 个；
第二类 仅含一个元素()31n +的“和谐子集”，共n a 个；
同时含两个元素3132n n ++，的“和谐子集”，共n a 个；
同时含三个元素()313231n n n +++，，的“和谐子集”
，共n a 个； 第三类 仅含一个元素31n +的“和谐子集”，共n c 个；
同时含两个元素()313+1n n +，的“和谐子集”
，共n c 个； 第四类 仅含一个元素32n +的“和谐子集”，共n b 个；
同时含有两个元素()3231n n ++，的“和谐子集”
，共n b 个， 所以集合+1n A 的“和谐子集”共有1422n n n n a a b c +=++个．
同理得1422n n n n b b c a +=++，1422n n n n c c a b +=++．………………………………7分 所以+112()n n n n a b a b +-=-，112a b -=，
所以数列{}n n a b -是以2为首项，公比为2 的等比数列． 所以=2n n n a b -．同理得=2n n n a c -．
又3=2n n n n a b c ++，所以()321
=2233
n n n a n *⨯+⨯∈N ，． ………………………10分。