重庆市高一下学期3月第一次月考数学试题(解析版)

,
3 2
或
B
1 2
,
3 2 ，
设 C x, y ，由 BC 1得 C 在以 B 为圆心，1 为半径的圆上，
或
所以 AC 的最小值为 AB 1
1 2
12
3 2
2 0
1
3 1.
故选：C
8.
若平面向量 a ， b ， c 满足
c
1
，
a
c
1
，
b
c
3
，
a
×b
=
2
，则
a
，
3
0
，
a
b
2
0
，
a
，
b
，
c
三者直接各自的夹角都为锐角，
c
1
，ac源自 accosa,c
1
，
b
c
b
c
cos
b,c
3，
a
cos
a,c
1 ， b cos
b,c
3
，即
a
在
c
上的投影为
1，
b
在
c
上的投影为
3，
A1, m ， B 3, n ，如图
a
1,
m
，
b
3,
高一（下）
三月质量检测数学试题
（120 分钟 150 分 命题人：张权 汤洁 审题人：屈玉洁）
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的 4 个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
z 1i
量积的运算判断 C；根据力做功的含义结合数量积（内积）定义判断 D.
【详解】 A .向量 ta 2b 与向量 2a 3b 共线，若 a 与 b 共线，则 t R ，A 错误；
B.有向线段与向量是不相同的概念，有向线段具有三要素：起点､方向､长度，
向量完全由模和方向确定，并且有向线段 AB 与有向线段 CD 的方向相反，二者不相等，B 错误
P
，总有
PG
1
PA PB PC
3
【答案】ACD 【解析】
【分析】根据三角形内心、外心、重心的几何性质及向量的几何关系得到相关向量的线性关系，判断各项
的正误.
【详解】A：由 G
为
AABC
的重心，则
3
AG
1
( AB
AC)
，
3
CG
1
(CA
CB)
，
2
2
2
2
3
BG
1
(BA
BC)
，
3 5
，
sin
π 4
5 13
，则
cos
π 4
（
）
A. 2 2
3
B.
2
56
C.
65
36
D.
65
【答案】C 【解析】
【分析】由已知，结合角的范围，即可得出
sin(
)
4 5
，
cos
π 4
12 13
.然后根据两角差余弦公
式，即可得出答案.
【详解】因为 0 π ， 0 ，所以 0 π ，
对于 B 选项，复数 z 的虚部为1，B 错；
对于
C
选项，
z z
1i 1 i
1 i2 1 i1 i
2i 2
i
，C
错；
对于 D 选项，令 z0 x yi, (x, y R) ，则 z0 z 2 (x 1)2 ( y 1)2 1，
即 z0 在圆心为 (1,1) 半径为 1 的圆上，而 z0 表示圆上点到原点的距离，
故选：C.
2.
已知平面向量 a
(1, 2),b
(2,
m)
，且
a
/
/b
，则
2a
3b
A. (5, 10)
B. 4, 8
C. 3, 6
D. 2, 4
【答案】B
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 ： 因 为 a (1, 2) ， b (2, m) ， 且 a / /b ， 所 以 m 4 0, m 4 ，
×b
=
2
得到两向量纵坐标的关系后，列
出 a ， b 夹角的余弦值的式子，利用基本不等式确定余弦值的范围，即可确定 a ， b 夹角的范围，注意
a
b
2
0
即
a
，
b
的夹角为锐角.
【详解】设
OA
a
，
OB
b
，
OC
c
，以
O
为原点，
c
方向为
x
轴正方向建立平面直角坐标系，
a
c
1
0
，
b
c
2a
3b
21, 2
32, 4
(4, 8)
，故选
B.
考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.
3. 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 A=45°，a=6，b=3 2 ，则 B 的大小为
（）
A. 30°
B. 60°
C. 30°或 150°
D. 60°或 120°
4
AM
CM
在△ACM 中，由正弦定理得 sinACM
＝
sinCAM
，
AM·sinCAM 30
所以 CM＝
＝
2
2 2 60 ，
sinACM
1
2
在 Rt△DCM 中，CD＝CM·sin∠AMD＝ 60 3 ＝30 3 . 2
故选：D.
7.
已知平面向量 PA ， PB 满足
PA
PB
1，
PA
b
夹角的取值范围是
（）
A.
π 6
,
π 2
B.
π 6
,
π
C.
π 3
,
π 2
D.
π 3
,
π
【答案】C
【解析】
【分析】利用
a
c
1，
b
c
3与
c
1
即可确定
a
在
c
上的投影与
b
在 c 上的投影， c 方向为 x 轴正方
向建立平面直角坐标系，即可确定
a
，
b
的横坐标，设出坐标由
a
1. 已知复数 z 满足
i （ i 为虚数单位），则复数 z 在复平面上的对应点位于（ ）
A. 第一象限 【答案】C 【解析】
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再判定象限.
【详解】因为
z
1 i
i
1 ii
i2
1 i
，所以复数
z
在复平面上的对应点为 1, 1 ，在第三象限.
1，
PA
，
PB
的
夹角为
2π
，
3
所以 PA PB PA PB cos
PA, PB
1，
2
不妨设 P 0, 0 ， A(1, 0)， B x0, y0 ，则 PA 1, 0 ， PB x0, y0 ，
则
PA
PB
PB
x0 x02 y02
1 2
1
，解得
B
1 2
2
2
所以， sin( ) 1 cos2 ( ) 4 . 5
又
π 4
π 4
π 4
，所以
cos
π 4
1
sin 2
π 4
12 13
.
所以，
cos
π 4
cos
π 4
cos
cos
π 4
sin
sin
π 4
3 12 4
5
56
.
5 13 5 13 65
故选：C. 6. 小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 AB，高
C. e1, e2 为平面中两个不共线的单位向量，若 a x1e1 y1e2 , b x2 e1 y2 e2 ，则 a b x1x2 y1 y2
D. 一个物体在力 F 的作用下产生位移 s ，那么力 F 所做的功就是力与位移所对应的向量的内积
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据向量的共线，考虑 a 与 b 共线情况，可判断 A；根据向量和有向线段的概念判断 B；根据数
n
a
b
3
mn
2
即
mn
1
，且
cos
a,b
a
b
a
b
2 1 m2 9 n2
则 cos2
a,b
2 1 m2
9 n2
2
9 n2
4 9m2
m2n2
4
10 n2 9m2
，
由基本不等式得 n2 9m2 2 n2 9m2 6mn 6 ，
cos 2
a,b
1，
4
a
又因为 a>b，所以 A>B，即 B=30°.
故选：A.
4. 在 AABC 中，若 AB CA 0 ，则 AABC 一定是（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形 【答案】D
D. 以上说法都不对
【解析】
【分析】根据向量数量积的定义及三角形内角性质得 0 A π ，但 B、C 的大小不定，即可得答案.
【答案】AC
【解析】
【 分 析 】 根 据 向 量 的 运 算 法 则 结 合 余 弦 定 理 得 到 b2 c2 8 ， 根 据 均 值 不 等 式 得 到 bc 4 ， 计 算
cos A≥ 1 2
，得到 AC
正确，B
错误，利用面积公式得到 S△ABC
bc2 4
2
3 ，得到答案.
【详解】
由圆心 (1,1) 到原点的距离为 2 ，结合圆上点到定点距离范围易知： z0 的最大值为 2 1，D 对.
故选：AD.
10. 下列说法错误的是（ ）
A.
若向量 ta 2b 与向量 2a 3b 共线，则 t
4
3
B. 在平行四边形 ABCD 中，有向线段 AB 与有向线段 CD 相等
则W | F || s | cos 就是力与位移所对应的向量的内积，D 正确，
故选：ABC
11.
在
A
ABC
中，记角
A，B，C
所对的边分别为
a，b，c．若
AB
AC
2
，
a
2
，则（
）
A. b2 c2 8
B.
向量 BA ， AC
夹角的最小值为 3
C. 内角 A 的最大值为
3
D. AABC 面积的最小值为 3
AB
AC
bc
cos
A
b2
c2
4
2
， b2
c2
8
，故
A
对；
2
b2
c2
8
2bc ， bc
4 ，当且仅当 b
c 时取等， bc cos
A
2 ， cos
A
2 bc
1 2
，即
Amax
3
，故
B 错，C 对；
S△ ABC
1 bc sin
2
A
1 bc
2
1 cos2 A 1 bc 2
1
4 bc
2
bc2 4
C.当 e1 e2 时， e1 e2 0 ，此时 a b (x1e1 y1e2 ) (x2 e1 y2 e2 ) x1x2 y1 y2 ，C 错误；
D.
一个物体在力 F 的作用下产生位移 s ，那么力 F
所做的功为W
| F || s | cos ,
为 F 和 s 的夹角，
与
b
的夹角为锐角，
0 cos
a,b
1，
2
由余弦函数可得：
a
与
b
夹角的取值范围是
π 3
,
π 2
，
故选：C.
二､多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的 4 个选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9. 已知复数 z 1 i ，则下列说法正确的是（ ） A. z 的共轭复数是1 i B. z 的虚部是 i
【详解】 sin15 sin 45 30 sin 45 cos 30 cos 45sin 30 2 3 2 1 6 2 ，
2 2 22 4
由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，
15 3 1
AB 在 Rt△ABM 中，AM＝ sin AMB ＝
6 2 30 2 ，
C. z i z
D. 若复数 z0 满足 z0 z 1，则 z0 的最大值是 2 1
【答案】AD
【解析】
【分析】利用共轭复数的定义可判断 A 选项；利用复数的概念可判断 B 选项；利用复数的除法可判断 C
选项；利用复数模几何意义可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，因为 z 1 i ，则 z 1 i ，A 对；
2
3 ，故 D 错.
故选：AC
12. 已知 O,G 分别为 AABC 的外心和重心， N 为平面内 AABC 一点，且满足 ON OA OB OC ，则
下列说法正确的是（ ）
A. GA GB GC 0
B. N 为 AABC 内心
C.
OG
1
GN
2
D.
对于
AABC
平面内任意一点
，
PB
的夹角为
2π
，若
3
BC
1 ，则
AC
的最小值
为（ ）
A. 2 1
B. 2 1
C. 3 1
D. 3 1
【答案】C
【解析】
【分析】不妨设 P 0, 0 ， A(1, 0)， B x0, y0 ， C x, y ，利用数量积和模长的坐标表示求得 C 点的轨
迹即可求解.
【详解】因为
PA
PB
2
2
所以
3
( AG
CG
BG)
1
( AB
AC
CA
CB
BA
BC)
0
2
【详解】由 AB CA AB CA cos(π A) AB CA cos A 0 ，即 cos A 0 ，
又 0 A π ，则 0 A π ，即 A 为锐角，
2 但不能确定 B、C 的大小，它们中可能存在钝角或直角或都为锐角. 故选：D
5.
若0
π 2
，0
， cos( ) 2
【答案】A
【解析】
【分析】先由正弦定理求出
sinB=
1 2
，可得
B=30°或
B=150°，再由
a>b，得
A>B，从而可求出
B=30°.
【详解】由正弦定理得 b a ， sin B sin A
即3 2 6 ， sin B sin 45