高中数学第一章函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件北师大版

⑤把图像向上（下）平移| b | 个单位长度，得
y A sin(x ) b 的图像.
方法四： ①先画出 y sin x 的图像； ②把正弦曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍，这 时的曲线就是函数 y A sin x的图像； ③把曲线向左（右）平移 | | 个单位长度，得 到函数 y A sin(x ) 的图像； 1 ④使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍，得到函数 y A sin(x ) 的图像； ⑤把图像向上（下）平移| b | 个单位长度，得
个单位长度
个单位长度 个单位长度 个单位长度
练习：已知函数y=3sin(x+π /5)x∈R的图象为C. (1)为了得到函数y=3sin(x-π/5)，x∈R的图象，只 需把C上所有的点 向右平行移动2π/5个单位长度
(2)为了得到函数y=4sin(x+π/5)，x∈R的图象，只 需把C上所有的点 纵坐标伸长到原来的4/3倍， 横坐标不变
解：由题意可得
向右平移 个单位 6

y sin 2 x y sin 2( x ) sin( 2 x )
6 3
Байду номын сангаас


y sin( x 3 )
横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变

练习2：如下图，它是函数 y A sin(x )( A 0, 0),
1、为得到ｙ＝４sin(2x+ )，x∈ R，的图像， 3 只需将函数ｙ＝2sin(2x+ )，x∈ R的图像上 3
所有点( C )
课 堂 练 习
(A)横坐标变为原来的２倍，纵坐标不变
1 (B)横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变 2
(C)纵坐标变为原来的２倍，横坐标不变
(D)纵坐标变为原来的 1 倍，横坐标不变
y A sin(x ) b 的图像.
方法二：
①先画出 y sin x 的图像； ②把正弦曲线向左（右）平移 | | 个单位长度，得 到函数 y sin(x ) 的图像； 1 ③使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍，得到函数 y sin(x )的图像； ④把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍，这时的 曲线就是函数 y A sin(x ) 的图像； ⑤把图像向上（下）平移| b | 个单位长度，得
x
2x
12

6
0
)
2
6
5 12
2 3
11 12

3 2
2
sin( 2 x

6
0
1
1
0
1 0
y 3 sin( 2 x ) 1 6

4
1 2 1
（2）描点和作图
问题：可不可以由函数 y sin x 的图像而得到函数
y 3 sin( 2 x
1 例3 作函数 y sin 2 x 及 y sin 2 x 的图像。 1. 列表：
x
2x sin 2 x
0 0

4

2

3 4

2 0
2
3 2
0
1
0
1
2. 描点： 2 y
1
2
O
3 x
1
2
1. 列表：
对于函数y sin 1 x 2
x
0

4

1 0 x 2 1 sin x ０ 2
2
2、将函数y=3sinx的图像向右平移
个单位长度，得到函数的解析式
4
y 3 sin( x ) 为: 4 。
3、为得到函数ｙ＝sin(2x-- ),x ∈ R，的图 3 像，只需将函数ｙ＝sin2x, x ∈ R，的图像 上所有点( B )
(A)向左平移 6 (B)向右平移 6 (C)向左平移 3 (D)向右平移 3
y 温度/0C
30 20 10 时间/h 6 10 14
o
x
( 1 ) 20 C 解： (2) A 10, b 20
T 14 6 8 2 T 16 2 16

8
y 10 sin(

因为函数过点 (6,10), 所以10sin( 6 ) 20 10 8 3 即 6＋ 2k (k Z ) 8 2 3 取k 0, 则 , 4 3 该函数的解析式为 y 10sin( x ) 20, x [6,14] 8 4
x ) 20 8
例 1
求下列函数的最大值、最小值，以及达
到达到最大值、最小值时x的集合。
（ 1 ）y sin x 2 4 1 ( 2) y sin x 3 2 1 (3) y cos(3 x ) 2 4
例 2
1 (1)求函数 y 2 sin( x ) 的递增区间。 2 3 1 5 (2)求函数 y cos( 4 x ) 的递减区间。 3 6
1
y=2sinx
y＝sinx
y＝ 1 sinx 2
2
什么发生 了变化
o -1
-2

3 2
2
x
A sin x( A 0) 的图像可以看作是把 y sin x的图像上所有
归纳总结：函数 y 点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0<A<1时） 到原来的A倍（横坐标不变）而得 到。
例2：画出函数 y sin( x ) 和 y sin( x ) 的简 6 4 图，并说明它们与函数 y sin x 的关系。
小结：函数 y （当 1 时）或伸长（当 0 1时）到原来的 1 倍（纵坐标不变）而得到的。

例4：画出函数 y sin x 和函数 y 3 sin( 2 x ) 1 的简 6 图。
解： （1）列表

x
y sin x
0 0
2

0
3 2 2
1
1
0
| | 的图像，根据图中数据，写出该函数解析式。
y
5
O
4

5 x 2
5
5 解：由图像可知，A 5, T 2 ( ) 3 2 2 2 2 于是， T 3 3 2 所以，y 5 sin( x ) 3 2 将最高点坐标 ( ,5) 代入 y 5 sin( x ) 得： 4 3 5 sin( ) 5
解：作图
决定了 由例 2可以看出，在函数 y sin(x ) 中，
x=0时的函数值，通常称 为初相， x 为相位。
小结：函数 y sin(x ) 的图像，可以看作是把
y sin x 的图像上所有的点向左（当 >0时）或向
右（当 <0时）平行移动 | |个单位长度而得到的。

6
1 y sin ( x ) 3 6 。
个单位长度，得到的函数的解
练习1：使函数 y f ( x) 图像上每一点的纵坐标保持 1 不变，横坐标缩小到原来的 2 倍，然后再将其图像 沿 x 轴向左平移 个单位得到的曲线与 y sin 2 x 的 6 图像相同，则 f ( x) 的表达式为__________________
(3)求函数 y 2 tan (2 x ) 的递增区间。
3

例3
1 已知函数 f ( x) sin( 2 x ) 2 4
（1）求f(x)的单调增区间；
（2）求f(x)的最值，以及取得最值时x的值； （3）求f(x)的图像的对称中心； （4）求f(x)的图像的对称轴。
1 (D)纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变 2
2、将函数y=2sin（x+
）的图像上 5
所有点的横坐标变为原来的２倍，
纵坐标不变，得到的函数的解析
x y 2sin( ) 2 5 。 式为:
3、将函数y=sinx的图像上所有点的横坐标变为
原来的３倍，纵坐标不变，再将所得函数图
像向左平移 析式为:
2. 描点：
y
2

3 4
3 2

2
2
１
０
－１
０
1
2 3 4 x
O
1
由例 3 可以看出，在函数 y sin x( 0) 中，
决定了函数 的周期 T 2 ，通常称周期的倒数 1 为频率。 f T 2
小结：函数
y sin x( 0) 的图像，可以看作
2 2k (k Z ), 取 ＝ 3 3

6
6
2k

(k Z ),
2 该函数的解析式为 y 5 sin( x ) 3 3
练习3：如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲
线近似满足 y A sin(x ) b （1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式。
y A sin(x ) b 的图像.
课堂练习
1 1、为得到ｙ＝２sin( x -- )，x∈ R，的图像，只 2 3 需将函数ｙ＝２sin(x－ )，x∈ R的图像上所有点 3 (Ａ )
(A)横坐标变为原来的２倍，纵坐标不变
(B)横坐标变为原来的 1 倍，纵坐标不变
2
(C)纵坐标变为原来的２倍，横坐标不变
程。

6 变换过程
) 1 的图像？如果可以，请给出过
问题：可不可以由函数 y sin x 的图像而得到函数
y A sin(x )( A 0, 0) 的图像？
如果可以，请给出过程。 方法－： ①先画出 y sin x 的图像； 1 ②从 y sin x 的图像上各点的横坐标变为原来的 倍, y sin x 得到函数 的图像； | | ③把所得到的曲线向左（右）平移 个单位长度，得 y sin( x ) 到函数 的图像； ④把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍，这时的 曲线就是函数 y A sin(x ) 的图像； ⑤把图像向上（下）平移| b | 个单位长度，得
y A sin(x ) b 的图像.
方法 三： ①先画出 y sin x 的图像； ②把正弦曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍，这 时的曲线就是函数 y A sin x的图像； 1 ③把图像上各点的横坐标变为原来的 倍,得到函数 y A sin x 的图像； | | ④把所得到的曲线向左（右）平移 个单位长度，得 y A sin( x ) 到函数 的图像；

是把 y sin x 的图像上所有点的横坐标缩短（当 1 时）或伸长（当 0 1 时）到原来的 1 倍（纵坐标不变）而得到的。
问题：函数 y 函数 y
f (x) 0, 1 的图像能否由
f ( x) 的图像变化而得到呢？应该作怎样的
变化呢？
f (x) 0, 1 的图像，可以 看作是把 y f ( x) 的图像上所有点的横坐标缩短
函数y＝Asin（ω x＋φ ）的图象
1 例1 作函数 y 2 sin x及 y sin x 的图像。 2
1、列表： 解： x
sin x 2 sin x
0 0 0 0
2
五点法

3 2
2 0 0 0
1
0 0 0
1
2
2
1 sin x 2
1 2
1 2
2. 描点、作图：
想一想?
y
2