安徽省芜湖市弋江区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

安徽省芜湖市弋江区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
(共12题；共24分)
1．（2分）下列图形是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．（2分）若代数式在1
x−3实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＜3B．x＞3C．x≠3D．x＝3
3．（2分）下列运算正确的是（）
A．a2⋅a3=a6B．a3÷a=a3C．(a2)3=a5D．(a2b)2=a4b2 4．（2分）如图，由边长为1的小等边三角形构成的网格图中，有3个小等边三角形已涂上阴影．在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影等边三角形组成一个轴对称图形，符合选取条件的空白小等边三角形有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．（2分）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断∠ABC∠∠DEF 的是（）
A ．A
B =DE B ．∠A =∠D
C ．AC =DF
D ．AC ∠FD
6．（2分）如图，在∠ABC 中，AB=AC ，AC 的垂直平分线交AB ，AC 分别于D ，E ，连接CD ，若
∠B=70°，则∠DCB 等于（ ）
A ．20°
B ．30°
C ．35°
D ．40°
7．（2分）若k 为正整数，则
(k +k +⋅⋅⋅+k ︸
k 个k
)k =
（ ）
A ．k 2k
B ．k 2k+1
C ．2k k
D ．k 2+k
8．（2分）如图，AD 垂直平分BC ，垂足为D ，∠BAC ＝45°，CE∠AB 于E ，交AD 于F ，BD ＝2，
则AF 等于（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
9．（2分）分解因式x 2-5x-14，正确的结果是（ ）
A ．（x －5）（x －14）
B ．（x －2）（x －7）
C ．（x －2）（x ＋7）
D ．（x ＋2）（x －7）
10．（2分）已知a +
1
a =5，则a 2+1a
2的值为（ ） A ．－5 B ．27 C ．23 D ．25
11．（2分）若关于x 的分式方程 3x x−2
＝ m 2−x +5的解为正数，则m 的取值范围为（ ）
A ．m ＜﹣10
B ．m ≤﹣10
C ．m ≥﹣10且m ≠﹣6
D ．m ＞﹣10且m ≠﹣6
12．（2分）如图，点P 是∠BAC 平分线AD 上的一点，AC=9，AB=5，PB=3，则PC
的长可能是
（）
A．6B．7C．8D．9
(共5题；共5分)
13．（1分）用科学记数法表示0.0000064，可写成．
14．（1分）若xy=-3，x+y=5，则2x2y+2xy2=．
15．（1分）计算：
y
x2−y2
÷(1−x x+y)的结果是.
16．（1分）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n=．
17．（1分）若1m−1n=5，则3m+mn−3n
m+3mn−n的值为．
(共6题；共39分)
18．（2分）
（1）（1分）【问题背景】过等腰直角∠ABC的两个锐角顶点，分别向直角顶点C所在的一条直线作垂线，垂足分别为点D，E．如图1，这种图形可归纳为“一线三等角”．其中已知
∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB，又由∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，得到∠ACD=∠CBE，所以∠ACD∠∠CBE，这种判定三角形全等的依据是（填写SSS，SAS，ASA，AAS或HL）．
图1
（2）（1分）【问题解决】如图2，已知平面直角坐标系中的两点A（-2，4），B（3，1），在直线AB的上方，以AB为边作等腰直角∠ABM，写出所有符合条件的点M坐
标：．
图2
19．（5分）如图，是平面直角坐标系中的网格线，每一小格的边长都是为1，∠ABC的顶点都是格点．
∠在网格图中作出∠ABC关于y轴的对称图形，并直接写出点A的对应点的坐标；
∠在x轴上有一点P，使得AP＋BP最短，找出并标记点P位置．
20．（5分）2021年12月14日，安徽省确定中长跑是2022年初中学业水平体育与健康学科考试必考项目．某体育用品商店预测某款运动鞋能够畅销，就用16000元购进了一批这款运动鞋，上柜后很快销完，该商店又用40000元购进第二批这款运动鞋，所购数量是第一批的2倍，但每双鞋的进价却高了10元，求第一次购买时，这款运动鞋每双的进价．
21．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∠CD，且AB=CD，点E在AB上，将∠BCE沿CE对折得到∠FCE，EF恰好过点A，FC边与AD边交于点G，且DC=DG．
（1）（5分）求证：∠ABC∠∠CDA；
（2）（5分）试判断∠FAG的形状，并说明理由．
22．（10分）已知：如图，在∠ABC中，AB＝AC，在∠ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．
（1）（5分）求证：∠ABD∠∠ACE；
（2）（5分）求证：FA平分∠BFE．
23．（7分）已知：如图，在等边∠ABC中，点O是BC的中点，∠DOE＝120°，∠DOE绕着点O旋转，角的两边与AB相交于点D，与AC相交于点E．
（1）（5分）若OD，OE都在BC的上方，如图1，求证：OD＝OE．
（2）（1分）在图1中，BD，CE与BC的数量关系是．
（3）（1分）若点D在AB的延长线上，点E在线段AC上，如图2，直接写出BD，CE与BC 的数量关系是．
答案解析部分1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。

2．【答案】C
【解析】【解答】解：要使
1
x−3有意义，则x－3≠0，即x≠3，
故答案为：C.
【分析】分式有意义的条件为分式的分母不为0，据此列式求解.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、a2⋅a3=a5，此选项错误；
B、a3÷a=a2，此选项错误；
C、(a2)3=a6，此选项错误；
D、(a2b)2=a4b2，此选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据幂的运算法则逐一计算可得.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
符合选取条件的空白小等边三角形有4个.
故答案为：C.
【分析】利用等边三角形的性质和轴对称图形的定义，可得到符合选取条件的空白小等边三角形的
个数.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵BF=EC，
∴BC=EF
A. 添加一个条件AB=DE，
又∵BC=EF，∠B=∠E
∴△ABC≌△DEF(SAS)
故A不符合题意；
B. 添加一个条件∠A=∠D
又∵BC=EF，∠B=∠E
∴△ABC≌△DEF(AAS)
故B不符合题意；
C. 添加一个条件AC=DF，不能判断∠ABC∠∠DEF，故C符合题意；
D. 添加一个条件AC∠FD
∴∠ACB=∠EFD
又∵BC=EF，∠B=∠E
∴△ABC≌△DEF(ASA)
故D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据三角形全等的判定方法逐项判断即可。

6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠B=70°，AB=AC，
∴∠A=180°-2×70°=40°，
又∵DE垂直平分AC，
∴DA=DC，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=70°-40°=30°．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和求出∠A的度数，再利用垂直平分线的性质可得∠ACD=∠A=40°，最后利用角的运算可得∠BCD=∠ACB-∠ACD=70°-40°=30°。

7．【答案】A
【解析】【解答】(k+k+⋅⋅⋅+k
︸
k个k
)k=(k⋅k)k=(k2)k
= k2k，
故答案为：A．
【分析】根据乘方的定义及幂的运算法则即可求解．8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AD垂直平分BC，BD=2，∴BC=2BD=4，
∵CE∠AB，
∴∠AEC=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠ACE=90°-45°=45°，
∴∠EAC=∠ACE，
∴AE=CE，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD∠BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B+∠BCE=90°，
∴∠BAD=∠BCE，
在∠AEF和∠CEB中，
{∠AEF=∠CEB
AE=CE
∠EAF=∠BCE
，
∴∠AEF∠∠CEB（ASA），∴AF=BC=4，
故答案为：B．
【分析】先根据垂直平分线的性质可得BC=2BD=4，再利用“ASA”证明∠AEF∠∠CEB，最后利用全等三角形的性质可得AF=BC=4。

9．【答案】D
【解析】【解答】解：x2-5x-14=（x-7）（x+2），
故答案为：D．
【分析】利用十字相乘法因式分解即可。

10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵a+1
a=5
，
∴(a+1
a)
2=52，
a2+1
a2
+2=25，
a2+1
a2
=23，
故答案为：C．
【分析】根据a+1
a=5
可得a2+1
a2
+2=25，再求出a2+1
a2
=23即可。

11．【答案】D
【解析】【解答】解：去分母得3x=−m+5(x−2)，
解得x=m+10 2，
由方程的解为正数，得到m+10>0，且x≠2，m+10≠4，
则m的范围为m>−10且m≠−6，
故答案为：D．
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
12．【答案】A
【解析】【解答】解：在AC上截取AE=AB=5，连接PE，
∵AC=9，
∴CE=AC-AE=9-5=4，
∵点P是∠BAC平分线AD上的一点，∴∠CAD=∠BAD，
在∠APE和∠APB中，{AE=AB
∠CAP=∠BAD
AP=AP
，
∴∠APE∠∠APB（SAS），
∴PE=PB=3，
∵4-3＜PC＜4+3，
解得1＜PC＜7，
观察四个选项，PC的长可能是6，
故答案为：A．
【分析】在AC上截取AE=AB=5，连接PE，先利用“SAS”证明∠APE∠∠APB可得PE=PB=3，再利用三角形三边的关系可得1＜PC＜7，最后判断即可。

13．【答案】6.4×10-6
【解析】【解答】解：0.0000064=6.4×10-6；
故答案为：6.4×10-6．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。

14．【答案】-30
【解析】【解答】解：2x2y+2xy2=2xy（x+y）．
∵xy=-3，x+y=5．
∴原式=2×（-3）×5，
=-30．
【分析】将代数式2x2y+2xy2变形为2xy（x+y），再将xy=-3，x+y=5代入计算即可。

15．【答案】1
x−y
【解析】【解答】解：
y
x2−y2
÷(1−x x+y)
=
y
(x+y)(x−y)÷(
x+y
x+y−
x
x+y)
=
y
(x+y)(x−y)÷
y
x+y
=
y
(x+y)(x−y)⋅
x+y
y
=1x−y，
故答案为：
1
x−y.
【分析】先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得.
16．【答案】12
【解析】【解答】解：由多边形的外角和定理可知，正六边形的外角为：360°÷6=60°，
故正六边形的内角为180°-60°=120°，
又正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，
∴正n边形的外角为30°，
∴正n边形的边数为：360°÷30°=12．
故答案为：12．
【分析】先根据外角和定理求出正六边形的外角为60°，进而得到其内角为120°，再求出正n边形的外角为30°，再根据外角和定理即可求解．
17．【答案】7
【解析】【解答】解：∵1
m−1
n=5，即
n−m
mn=5，
∴n-m=5mn，即m-n=-5mn，
∴3m+mn−3n
m+3mn−n=
3(m−n)+mn
(m−n)+3mn=
−15mn+mn
−5mn+3mn=
−14mn
−2mn=7，
故答案为：7．
【分析】根据1
m−1
n=5可得
n-m=5mn，即m-n=-5mn，再将其代入3m+mn−3n
m+3mn−n计算即可。

18．【答案】（1）AAS
（2）（1，9），（6，6），（2，5）
【解析】【解答】（1）证明：∵AD∠DE，BE∠DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在∠ACD和∠CBE中，{∠ADC=∠CEB ∠ACD=∠EBC
AC=BC
，
∴∠ACD∠∠CBE（AAS），
故答案为：AAS；
（2）解：当∠M1AB=90°，∠ABM1是等腰直角三角形，
过A作直线l∠y轴，过B作BF∠直线l于F，过M1作M1E∠直线l于E，
∴∠AEM1=∠AFB=90°，
∵∠BAM1=90°，
∴∠EAM1+∠FAB=∠FAB+∠ABF=90°，
∴∠EAM1=∠ABF，
∵AM1=AB，
∴∠AEM1∠∠BFA（AAS），
∴AE=BF，AF=EM1，
∵点A（-2，4），B（3，1），
∴AE=BF=5，AF=EM1=3，
∴M1（1，9），
当∠M3BA=90°，∠ABM3是等腰直角三角形，
过B作直线m∠x轴，分别过A，M3作AF∠m于F，M3G∠m于G，
同理，M3（6，6）；
当∠AM2B=90°，∠ABM2是等腰直角三角形，
∴∠M2AB=∠ABM2=∠M1AM2=∠AM1M2=45°，
∴M11M2=BM2，
∴M2是线段BM1的中点，
∴M2（2，5），
综上所述，符合条件的点M坐标为：（1，9），（6，6），（2，5），
故答案为：（1，9），（6，6），（2，5）
【分析】（1）利用“AAS”证明∠ACD∠∠CBE即可；
（2）分三种情况：①当∠M1AB=90°，∠ABM1是等腰直角三角形，②当∠M3BA=90°，∠ABM3是等腰直角三角形，③当∠AM2B=90°，∠ABM2是等腰直角三角形，再分别求解即可。

19．【答案】解：∠如图，∠A'B'C即为所求；
点A的对应点A'的坐标为（1，2）；
∠解：如图，点P即为所求．
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接并直接写出点的坐标即可；
（2）先作出点B关于x轴的对称点，再连接AB''，与x轴的交点坐标即可得到的点P的坐标。

20．【答案】解：设第一次购买时，这款运动鞋每双的进价为x元，则
16000x ×2=40000x +10
解得x=40．
检验：当x=40时，x （x+10）≠0．所以x=40是原方程的解． 答：第一次购买时，这款运动鞋每双的进价为40元．
【解析】【分析】设第一次购买时，这款运动鞋每双的进价为x 元，根据题意列出方程16000x ×2=
40000
x+10
，再求解即可。

21．【答案】（1）证明：∵AB∠CD ，
∴∠BAC=∠DCA ， ∵在∠BCA 和∠DCA 中， {AB =CD
∠BAC =∠DCA AC =CA ，
∴∠BAC∠∠DCA （SAS ）
（2）解：∠FAG 是等边三角形．理由如下： ∵∠BAC∠∠DCA ， ∴∠BCA=∠DAC ， ∴BC∠AD ， ∴∠FAG=∠ABC ，
由折叠的性质知：∠ABC =∠BFC ， ∴∠FAG=∠AFG ， ∵DC=DG ，
∴∠DCG=∠DGC=∠FGA ， ∵AB∠CD ， ∴∠AFG=∠DCG ， ∴∠FAG=∠AFG=∠FGA ， 所以∠FAG 是等边三角形．
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明∠BAC∠∠DCA 即可；
（2）先利用全等三角形的性质和平行线的性质可得∠FAG=∠ABC ，∠AFG=∠DCG ，根据折叠的性质可得∠ABC =∠BFC ，再证明∠FAG=∠AFG=∠FGA ，即可得到∠FAG 是等边三角形。

22．【答案】（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAC+∠CAD ＝∠DAE+∠CAD ， 即∠BAD ＝∠CAE ， 在∠BAD 和∠CAE 中， {AB =AC
∠BAD =∠CAE AD =AE ，
∴∠BAD∠∠CAE （SAS ）；
（2）证明：如图，作AM∠BD 于M ，作AN∠CE 于N ．
由∠BAD∠∠CAE ，
∴BD ＝CE ，S ∠BAD ＝S ∠CAE ， ∵12⋅BD ⋅AM =12⋅CE ⋅AN ， ∴AM ＝AN ，
∴点A 在∠BFE 平分线上， ∴FA 平分∠BFE ．
【解析】【分析】（1）先证明∠BAD ＝∠CAE ，再利用“SAS”证明∠BAD∠∠CAE 即可；
（2）作AM∠BD 于M ，作AN∠CE 于N ，根据全等三角形的性质可得BD ＝CE ，S ∠BAD ＝S ∠CAE ，再
根据12⋅BD ⋅AM =1
2
⋅CE ⋅AN 可得AM=AN ，可证点A 在∠BFE 平分线上，即可得到FA 平分
∠BFE 。

23．【答案】（1）证明：取AB 的中点F ，连接OF ．
∵∠ABC 是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵点O与点F分别是BC与AB的中点，∴BF=BO=OC，
∴∠BOF是等边三角形，
∴OF=OB=OC，
∠OFD=∠OCE=∠BOF=60°，
∴∠COF=120°=∠DOE，
∴∠DOF=∠EOC，
∵在∠DOF和∠EOC中，
{∠OFD=∠OCE
OF=OC
∠DOF=∠EOC
，
∴△DOF≅△EOC(ASA)，
∴OD=OE．
（2）2（CE+BD）=BC
（3）2（CE-BD）=BC
【解析】【解答】解：(2)结论：2（CE+BD）=BC．理由：∵△DOF≌△EOC，
∴DF=EC，
∴BD+EC=BD+DF=BF，
∵△BOF是等边三角形，
∴OB=BF，
∵BC=2OB，
∴2(CE+BD)=BC．
故答案为：2(CE+BD)=BC；
（3）结论：2(CE−BD)=BC．
理由如图2中，取AB的中点F，连接OF．
同（1）中的方法可证△BOF是等边三角形，△DOF≌△EOC，
∴DF=CE，
∴EC−BD=DF−BD=BF=OB，
∵BC=2OB，
∴2(CE−BD)=BC
【分析】（1）取AB的中点F，连接OF，利用“ASA”证明△DOF≅△EOC，再利用全等三角形的性质可得OD=OE；
（2）根据全等三角形的性质可得BD+EC=BD+DF=BF，再根据等边三角形的性质可得
OB=BF，再结合BC=2OB可得2(CE+BD)=BC；
（3）取AB的中点F，连接OF，先证明△BOF是等边三角形，△DOF≌△EOC，可得DF=CE，再利用线段的和差及等量代换可得2(CE−BD)=BC。