2015高考数学试题分类汇编(下)

专题十九 几何证明选讲
1.（15年广东理科）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，
1BC =，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD =
图1
【答案】8．
【考点定位】本题考查直线与圆、直角三角形的射影定理，属于中档题．
2.（15年广东文科）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E
的垂线，垂足为D ．若4AB =，C E =，则
D A = ．
【答案】3
考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理． 3.（15年新课标2理科）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ΔABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点。

（1）证明：EF ∥BC ； （2）若AG 等于⊙O 的半径，
且AE MN ==求四边形EBCF 的面积。

4.（15年新课标2文科）如图O 是等腰三角形AB C 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.
G
A
E
F
O
N
D
B C M
（I ）证明EF BC ；
（II ）若AG 等于圆O 半径,且AE MN ==,求四边形EBCF 的面积.
【答案】（I ）见试题解析；（II
考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算.
5.（15年陕西理科）如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．
（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；
（II ）若D 3DC A =，C B =，求O 的直径．
【答案】（I ）证明见解析；（II ）3．
【解析】
试题分析：（I ）先证C D D ∠B =∠BE ，再证D D ∠BA =∠BE ，进而可证C D D ∠B =∠BA ；（II ）先由（I ）知D B 平分C ∠BA ，进而可得D A 的值，再利用切割线定理可得AE 的值，进而可得O 的直径．
试题解析：（I ）因为DE 为圆O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90
， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD+∠EDB=90°，从而∠CBD=∠BED. 又AB 切圆O 于点B ，得∠DAB=∠BED ，所以∠CBD=∠DBA.
（II ）由（I ）知BD 平分∠CBA ，则=3BA AD BC CD
=,又BC AB =
所以4AC =，所以D=3A .
由切割线定理得2
=AD AB AE ×，即2
=AD
AB AE =6，
故DE=AE-AD=3，即圆O 的直径为3.
考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理.
6.（15年陕西文科）如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于,D E 两点，
,BC DE ⊥垂足为C .
(I)证明：CBD DBA ∠=∠
(II)若3,AD DC BC ==
O 的直径.
【答案】(I)证明略，详见解析； (II)3. 【解析】
试题分析：：(I)因为DE 是O 的直径，则90BED EDB ∠+∠=︒，又BC DE ⊥，所以
90CBD EDB ∠+∠=︒，又AB 切O 于点B ，得D B A B E D ∠=∠，
所以CBD DBA ∠=∠；
(II)由(I)知BD 平分CB A ∠，则
3BA AD
BC CD
==，又BC =，从而AB =，由
222AB BC AC =+，
解得4AC =，所以3AD =，由切割线定理得2
AB AD AE =⋅，解得6AE =，故
3D E A E A D =-=，
即O 的直径为3.
试题解析：(I)因为DE 是O 的直径， 则90BED EDB ∠+∠=︒
又BC DE ⊥，所以90CBD EDB ∠+∠=︒ 又AB 切O 于点B ， 得DBA BED ∠=∠ 所以CBD DBA ∠=∠ (II)由(I)知BD 平分CBA ∠， 则
3BA AD
BC CD
==，
又BC =，从而AB =
所以4AC =
=
所以3AD =，
由切割线定理得2
AB AD AE =⋅
即2
6AB AE AD
==， 故3DE AE AD =-=， 即O 的直径为3.
考点：1.几何证明；2.切割线定理.
7.（15年江苏）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D
求证：ABD ∆∽AEB ∆
【答案】详见解析
考点：三角形相似
专题二十 不等式选讲
1.（15年福建理科）已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4． (Ⅰ)求a b c ++的值；
(Ⅱ)求222
1149
a b c ++的最小值． 【答案】(Ⅰ) 4；(Ⅱ)8
7
．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)由绝对值三角不等式得()||||f x x a x b c =++-+ 的最小值为|a |b c ++，故
|a |4b c ++=，即a b c ++= ；(Ⅱ)利用柯西不等式
2222222123123112233()()()x x x y y y x y x y x y ++++≥++求解．
试题解析：(Ⅰ)因为(x)|x ||x ||(x )(x )||a |f a b c a b c b c =++++?-++=
++ 当且仅当a x
b -＃时，等号成立
A
（第21——A 题）
又0,0a b >>，所以|a b |a b +=+,所以(x)f 的最小值为a b c ++, 所以a b c 4++=．
(Ⅱ)由(1)知a b c 4++=，由柯西不等式得
()()2
2
222114912+3+1164923a b
a b c c a b c 骣骣琪琪++++炒创=++=琪琪桫
桫
,
即
222118
497
a b c ++?. 当且仅当11
32231
b a
c ==,即8182,,777a b c ===时，等号成立
所以2221149
a b c ++的最小值为87.
考点：1、绝对值三角不等式；2、柯西不等式．
2.（15年新课标2理科）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a + b = c + d ，证明： （1）若ab > cd
（2
>||||a b c d -<-的充要条件。

3.（15年新课标2文科）设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明： （I ）若ab cd > ,
>；
（II >a b c d -<-的充要条件. 【答案】 【解析】
试题分析：（I ）由a b c d +=+及ab cd >,可证明
2
2
>,开方即得
（II ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证
明. 试题解析：
解：（I ）因为2
2
a b c d =++=++
考点：不等式证明.
4.（15年陕西理科）已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}
24x x <<． （I ）求实数a ，b 的值；
（II 【答案】（I ）3a =-，1b =；（II ）4． 【解析】
试题分析：（I ）先由x a b +<可得b a x b a --<<-，再利用关于x 的不等式x a b +<的
解集为{}
24x x <<可得a ，b 的值；（II ，
的最大值．
试题解析：（I ）由||x a b +<，得b a x b a --<<-
则2,
4,
b a b a --=⎧⎨
-=⎩解得3a =-,1b =
（II =
4==
，即1t =时等号成立，
故
max
4=.
考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.
5.（15年陕西文科）已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{|24}x x << (I)求实数,a b 的值；
(II). 【答案】(I) 3,1a b =-=；(II)4. 【解析】
试题分析：(I)由x a b +<，得b a x b a --<<-，由题意得2
4
b a b a --=⎧⎨
-=⎩，解得
3,1a b =-=；
(II)柯西不等式得
=≤4==，
=1t =时等号成立，故min
4=.
试题解析：(I)由x a b +<，得b a x b a --<<-
则2
4
b a b a --=⎧⎨
-=⎩，解得3, 1.a b =-=
(II)+=
≤
4==
=1t =时等号成立，
故
min
4=
考点：1.绝对值不等式；2.柯西不等式. 6.（15年江苏）解不等式|23|3x x ++≥ 【答案】153x x x ⎧⎫
≤-≥-⎨⎬⎩⎭
或
【解析】
试题分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可
试题解析：原不等式可化为3232x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩或32332
x x ⎧≥-
⎪⎨⎪+≥⎩．
解得5x ≤-或13
x ≥-
． 综上，原不等式的解集是153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭
或．
考点：含绝对值不等式的解法
专题二十一 矩阵与变换
1.（15年福建理科）已知矩阵2111,.4301A B 骣骣琪琪==琪琪-桫桫
(Ⅰ)求A 的逆矩阵1
A -； (Ⅱ)求矩阵C ，使得AC=B.
【答案】(Ⅰ)312221⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭； (Ⅱ)32223⎛⎫
⎪ ⎪--⎝⎭
．
【解析】
试题分析：因为2143A 骣琪=琪桫，得伴随矩阵3142A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
，且2A =，由11A A A -= 可求得1
A -；(Ⅱ)
因为AC B =，故1
C A B -=，进而利用矩阵乘法求解．
试题解析：(1)因为|A|=23-14=2创
所以1
3
13
12222422122A --⎛⎫
⎛⎫ ⎪-
⎪==
⎪
⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭
(2)由AC=B 得11()C A A A B --=,
故1313112C ==222012123A B -⎛⎫⎛⎫
-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭---⎝⎭⎝⎭
考点：矩阵和逆矩阵．
2.（15年江苏）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦
⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.
【答案】1120-⎡⎤
A =⎢⎥⎣⎦
,另一个特征值为1．
【解析】
试题分析：由矩阵特征值与特征向量可列出关于x,y 的方程组，再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值
试题解析：由已知，得2ααA =-
，即1112012x x y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则122x y -=-⎧⎨=⎩，即12x y =-⎧⎨=⎩，所以矩阵1120-⎡⎤
A =⎢⎥⎣⎦
．
从而矩阵A 的特征多项式()()()21f
λλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1．
考点：矩阵运算，特征值与特征向量
专题二十二 坐标系与参数方程
1.（15北京理科）在极坐标系中，点π23⎛
⎫ ⎪⎝
⎭‚
到直线()
cos 6ρθθ+=的距离为
． 【答案】1 【解析】
试题分析：先把点(2,)3
π
极坐标化为直角坐标
，再把直线的极坐标方程
()
cos 6ρθθ+=
化为直角坐标方程60x +
-=
，利用点到直线距离公式
1d =
=.
考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离.
2.（15年广东理科）已知直线l 的极坐标方程为24
sin(2=-）
π
θρ，点A 的极坐标为
74A π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，则点A 到直线l 的距离为
． 【解析】依题已知直线l
：2sin 4πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
和点74A π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
可化为l ：10x y -+=和()2,2A -，所以点A 与直线l 的距离为
2
d =
=
，故应填入． 【考点定位】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的距离，属于容易题． 3.（15年广东文科）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ
+=-，曲线2C 的参数方程为
2
x t
y ⎧=⎪⎨
=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】()2,4-
【解析】
试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为2
8y x =，由
228x y y x
+=-⎧⎨=⎩得：2
4x y =⎧⎨
=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-．
考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．
4.（15年福建理科）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x t
y t ì=+ïí=-+ïî
为参数.
在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为
sin()m,(m R).4
p
q -
=? (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．
【答案】(Ⅰ) ()
()2
2
129x y -++=，0x y m --=；(Ⅱ) m=-3±
【解析】
试题分析：(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得()
()2
2
1
29x y -++= ，利用
cos x ρθ=，sin y ρθ=将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)利用点到直线距离
公式求解．
试题解析：(Ⅰ)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()
22
129x y -++=,
sin()m 4
p
q -
=，得sin cos m 0r q r q --=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y m --=. (Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即
|12m |
2
，
--+=解得m=-3±考点：1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直线距离公式．
5.（15年新课标2理科）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t α
α=⎧⎨=⎩
（t 为参数，t ≠ 0），
其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：
ρθ=。

（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；
（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值。

6.（15年新课标2文科）在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,
:sin ,
x t C y t αα=⎧⎨
=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,
其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
23:2sin ,:.C C ρθρθ==
（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.
【答案】（I ）()30,0,2⎫
⎪⎪⎝⎭
；（II ）4.
【解析】
试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为
2220
x y y +-=,
220
x y +-=,联立解
考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.
7．（15年陕西理科）在直角坐标系x y O 中，直线l
的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以
原点为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，C
的极坐标方程为ρθ=． （I ）写出C 的直角坐标方程；
（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
【答案】（I
）(2
2
3x y +=；
（II ）()3,0． 【解析】
试题分析：（I ）先
将
ρθ=两边同乘以ρ可
得2s i n ρθ=，再利用
222x y ρ=+，sin x ρθ=可得C 的直角坐标方程；
（II ）先设P 的坐标，
则C P ，再利用二次函数的性质可得C P 的最小值，进而可得P 的直角坐标．
试题解析：（I
）由2,sin ρθρθ==得，
从而有(2
222
+,+3x y x y ==所以.
(II)
设1(32P +又,
则|PC |==， 故当t=0时，|PC|取最小值，此时P 点的直角坐标为（3，0）.
考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质.
8.（15年陕西文科）在直角坐标版权法xOy 吕，直线l
的参数方程为132(2
x t t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩为
参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程
为
ρθ=.
(I)写出C 的直角坐标方程；
(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. 【答案】
(I) (2
2
3x y +=； (II) (3,0).
【解析】 试题分析：(I)
由
ρθ=
，得2sin ρθ=
，从而有22x y +=
，所以
(2
23x y +=
(II)
设13,22P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，又C
，则PC ==故当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0). 试题解析：(I)
由ρθ=，
得2sin ρθ=，
从而有22x y +=
所以(2
2
3x y +=
(II)
设13,22P t ⎛⎫+
⎪⎝⎭
，又C ，
则PC ==，
故当0t =时，PC 取得最小值， 此时P 点的坐标为(3,0).
考点：1. 坐标系与参数方程；2.点与圆的位置关系.
9.（15年江苏）已知圆C 的极坐标方程为2sin()404
π
ρθ+--=，求圆C 的半径.
考点：圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化。