互素多项式矩阵的秩的一个简单结论及其应用

ｆ２（ ｘ） ， …， ｆｍ（ ｘ） 两两互素， 且 ｆ１（ Ａ） ｆ２（ Ａ） …ｆｍ（ Ａ） ＝０， 则
１ ２
ｍｎ≤ｒ（ ｆ１（ Ａ） ） ＋ｒ（ ｆ２（ Ａ） ） ＋…＋ｒ（ ｆｍ（ Ａ） ）
≤（ ｍ－ １） ｎ．
我们可以进一步加强为：
命理 ４ 设 ｆｉ（ ｘ） ∈Ｐ［ｘ］， ｉ＝１， ２…， ｍ， Ａ∈Ｐｎ×ｎ 若 ｆ１（ ｘ） ， ｆ２（ ｘ） ， …， ｆｍ（ ｘ） 两两互素， 且 ｆ１（ Ａ） ｆ２（ Ａ） …ｆｍ（ Ａ） ＝０， 则
而（ ｆｋ（ Ａ） ｆｋ＋１（ Ａ） ） ＝１， 由定理得
ｒ（ ｆｋ（ Ａ） ｆｋ＋１（ Ａ） ） ＝ｒ（ ｆｋ（ Ａ） ） ＋ｒ（ ｆｋ＋１（ Ａ） ） － ｎ
（ ８）
把（ ８） 代入（ ７） 可得
ｒ（ ｆ１（ Ａ） ） ＋ｒ（ ｆ２（ Ａ） ） ＋…＋ｒ（ ｆｋ（ Ａ） ） ＋ｒ（ ｆｋ＋１（ Ａ） ） － ｎ ＝（ ｋ－ １） ｎ，
第 ６ 卷第 １ 期 ２００６ 年 ２ 月
金华职业技术学院学报
Ｖｏｌ．６ Ｎｏ．１ Ｆｅｂ． ２００６
互素多项式矩阵的秩的一个简单结论及其应用
邹晓光
（金华教育学院， 浙江 金华 ３２１０００）
摘 要 ： 本 文 给 出 了 互 素 多 项 式 在 矩 阵 的 秩 讨 论 中 的 一 个 简 单 结 果 ： 定 理 ： 设 ｆ（ ｘ） ， ｇ（ ｘ） ∈Ｐ［ｘ］， Ａ 是 ｎ 阶 方 阵 ， 若 （ ｆ（ ｘ） ， ｇ（ ｘ） ） ＝１， 则 ｎ＋ｒ［ｆ（ Ａ） ｇ（ Ａ） ］＝ｒ（ ｆ（ Ａ） ） ＋ｒ（ ｇ（ Ａ） ） ．以及结果的一些简单应用， 对文献［１］中的一些结论进一步讨论。
（ ｆ（ ｘ） ， ｇ（ ｘ） ） ＝１， 则
ｎ＋ｒ［ｆ（ Ａ） ｇ（ Ａ） ］＝ｒ（ ｆ（ Ａ） ） ＋ｒ（ ｇ（ Ａ） ） ．
证明 由（ ｆ（ ｘ） ， ｇ（ ｘ） ） ＝１ 知， 存在 ｕ（ ｘ） ， ｖ（ ｘ） ， 使
得
ｆ（ ｘ） ｕ（ ｘ） ＋ｇ（ ｘ） ｖ（ ｘ） ＝１
% & ０ － ｆ（ Ａ） ｇ（ Ａ）
所以 ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ－ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ＋Ａ） － ２ｎ＝０
（ ６）
结合（ ３） 、（ ６） 有 ｒ（ Ａ－ Ａ２） ＋ｒ（ Ａ＋Ａ２） － ｒ（ Ａ） ＝０，
即
ｒ（ Ａ－ Ａ２） ＋ｒ（ Ａ＋Ａ２） ＝ｒ（ Ａ） ．
将命题 ２ 的结论推广， 可以得到关于任意矩阵
的一般结论。
命题 ３ 设 Ａ∈Ｐ ｎ×ｎ， 则
阵， 若（ ｆ（ ｘ） ， ｇ（ ｘ） ） ＝１ 且
ｆ（ Ａ） ｇ（ Ａ） ＝０， 则 ｒ（ ｆ（ Ａ） ） ＋ｒ（ ｇ（ Ａ） ） ＝ｎ．
证明 应用我们的结论， 则即为结论的特例。
即： 当 ｆ（ Ａ） ｇ（ Ａ） ＝０ 时， ｎ＋ｒ［０］＝ｒ（ ｆ（ Ａ） ） ＋ｒ（ ｇ（ Ａ） ）
命题 ２ 若 Ａ 为三幂等矩阵（ 即 Ａ３＝Ａ） ， 则有
ｒ（ Ａ） ＝ｒ（ Ａ－ Ａ２） ＋ｒ（ Ａ＋Ａ２） ．
证明 Ａ－ Ａ２＝Ａ（ Ｅ－ Ａ） ， 设 ｆ（ ｘ） ＝ｘ， ｇ（ ｘ） ＝１－ ｘ， 显然
（ ｆ（ ｘ） ， ｇ（ ｘ） ） ＝１
由定理得 ｒ（ Ａ－ Ａ２） ＝ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ－ Ａ） － ｎ
同理：
ｒ（ Ａ＋Ａ２） ＝ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ＋Ａ） － ｎ
所以
ｒ（ Ａ－ Ａ２） ＋ｒ（ Ａ＋Ａ２） － ｒ（ Ａ）
＝ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ－ Ａ） － ｎ＋ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ＋Ａ） － ｎ－ ｒ（ Ａ）
＝ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ－ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ＋Ａ） － ２ｎ
（ ３）
又 Ａ３＝Ａ， Ａ－ Ａ３＝Ａ（ Ｅ－ Ａ２） ＝０， （ ｘ， １－ ｘ２）
由命题 １ 得
ｒ（ ｆ１（ Ａ） ） ＋ｒ（ ｆ２（ Ａ） ） ＋…＋ｒ（ ｆｍ（ Ａ） ） ＝（ ｍ－ １） ｎ． 证明 当 ｍ＝２ 时， 由命理 １ 可知结论成立．假设
结论在 ｍ＝ｋ 时成立， 当 ｍ＝ｋ＋１ 时， ｆ１（ Ａ） ， ｆ２（ Ａ） ， …，
ｆｋ＋１（ Ａ） ＝０， 由归纳假设及命理 １ 得
ｒ（ ｆ１（ Ａ） ） ＋ｒ（ ｆ２（ Ａ） ） ＋…＋ｒ（ ｆｋ（ Ａ） ｆｋ＋１（ Ａ） ） ＝（ ｋ－ １） ｎ （ ７）
关键词： 互素多项式； 矩阵的秩； 幂等矩阵 中图分类号： Ｏ１５１．２１７ 文献标识码： Ａ 文章编号： １６７１－ ３６９９（ ２００６） ０１－ ００８０－ ０２
Ａ Ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｒａｎｋｓ ｏｆ Ｃｏｐｒ ｉｍｅ Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ Ｍａｔｒ ｉｃｅｓ
ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ａ－ Ａ３） ＝ｒ（ Ａ－ Ａ２） ＋ｒ（ Ａ＋Ａ２） ．
证明 Ａ－ Ａ３＝Ａ（ Ｅ－ Ａ２） ， 设 ｆ１（ ｘ） ＝ｘ， ｇ１（ ｘ） ＝１－ ｘ２， 显 然（ ｆ１（ ｘ） ， ｇ１（ ｘ） ） ＝１， 由定理得
ｒ（ ｆ１（ Ａ） ， ｇ１（ Ａ） ） ＝ｒ（ ｆ１（ Ａ） ） ＋ｒ（ ｇ１（ Ａ） ） － ｎ 即 ｒ（ Ａ－ Ａ３） ＝ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ－ Ａ２） － ｎ．
１ 引言与引理
以 Ａ 代入，
得
ｆ（ Ａ） ｕ（ Ａ） ＋ｇ（ Ａ） ｖ（ Ａ） ＝Ｅ
矩阵的秩的研究是高等代数的一个重要内容，
本 文 在 参 考 文 献［１］的 基 础 上 做 更 进 一 步 的 讨 论 ， 结
合矩阵的相关知识， 得到一个更为精确的结论．文中
的讨论要用到以下几个基本引理：
引理１ 设 Ａ， Ｂ∈Ｐ ｎ×ｎ， 若 ＡＢ＝０， 则 ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｂ） ≤ｎ．
引理 ２ 设 Ａ， Ｂ∈Ｐ ｎ×ｎ， 则 ｒ（ Ａ＋Ｂ） ≤ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｂ） ．
引理 ３ 设 Ａ， Ｂ∈Ｐｎ×ｎ， 则 ｒ（ＡＢ） ≤ｍｉｎ #ｒ（ Ａ） ， ｒ（ Ｂ） $．
% & % & Ａ ０
０Ｂ
引理 ４ 秩
＝秩
＝秩（ Ａ） ＋秩（ Ｂ） ．
０Ｂ
Ａ０
本文将应用这些矩阵秩的性质及互素多项式矩阵
ＺＯＵ Ｘｉａｏ－ ｇｕａｎｇ （ Ｊｉｎｈｕａ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ， Ｊｉｎｈｕａ ３２１０００， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒ ａｃｔ：Ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｉｎｑｕｉｒｙ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｒａｎｋｓ ｏｆ ｃｏｐｒｉｍｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｍａｔｒｉｃｅｓ， ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｒａｗｓ ａ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ： Ｔｈｅｏｒｅｍ Ｌｅｔ ｆ（ ｘ） ， ｇ（ ｘ） ∈Ｐ［ｘ］ ａｎｄ Ａ∈Ｐ ｎ×ｎ， ｉｆ （ｆ（ ｘ） ， ｇ（ ｘ） ）＝１， ｔｈｅｎ ｎ＋ｒ［ｆ（ Ａ） ｇ（ Ａ） ］＝ｒ（ ｆ（ Ａ） ） ＋ｒ（ ｇ（ Ａ） ） ． Ａｎｄ ｓｉｍｐｌｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｆｕｒｔｈｅｒ ｉｎｑｕｉｒｉｅｓ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｉｎ ｄｏｃｕｍｅｎｔ ［１］ ａｒｅ ｏｆｆｅｒｅｄ ａｓ ｗｅｌｌ． Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ：ｃｏｐｒｉｍｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ； ｔｈｅ ｒａｎｋ ｏｆ ａ ｍａｔｒｉｘ； ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ
ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ－ Ａ２） ＝ｎ
（ ４）
又因为（ １－ ｘ， １＋ｘ） ＝１， 由定理得
ｒ［（ Ｅ＋Ａ） （ Ｅ－ Ａ） ］＝ｒ（ Ｅ－ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ＋Ａ） － ｎ
即 ｒ（ Ｅ－ Ａ２） ＝ｒ（ Ｅ－ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ＋Ａ） － ｎ
（ ５）
把（ ５） 代入（ ４） 可得，
ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ－ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ＋Ａ） － ｎ＝ｎ

从而
% &% &% & Ｅ ０ ｆ（ Ａ） ０ Ｅ ０
－ ｕ（ Ａ） Ｅ Ｅ ｇ（ Ａ） － ｖ（ Ａ） Ｅ
% ｆ（ Ａ）
＝
０&
Ｅ－ ｆ（ Ａ） ｕ（ Ａ） － ｇ（ Ａ） ｖ（ Ａ） ｇ（ Ａ）
% & ｆ（ Ａ） ０
＝ ０ ｇ（ Ａ）
因此
% & % & ｆ（Ａ） ０
ｆ（ Ａ） ０
秩
＝秩
Ｅ ｇ（ Ａ）
８１
＝ｎ＋ｒ［ｆ（ Ａ） ｇ（ Ａ） ］
（２）
由（１）、（２）可得
ｎ＋ｒ［ｆ（ Ａ） ｇ（ Ａ） ］＝ｒ（ ｆ（ Ａ） ） ＋ｒ（ ｇ（ Ａ） ） ．证毕。
３ 结论应用
应用定理证明一些关于矩阵的秩的结论， 证明
过程往往显得很简单：
在文献［１］中有如下结论：
命题 １［１］ 设 ｆ（ ｘ） ， ｇ（ ｘ） ∈Ｐ［ｘ］， Ａ∈Ｐｎ×ｎ 是 ｎ 阶 方
同理 ｒ（ Ａ＋Ａ２） ＝ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ－ Ａ） － ｎ，
ｒ（ Ａ－ Ａ２） ＋ｒ（ Ａ＋Ａ２） － ｒ（ Ａ－ Ａ３） － ｒ（ Ａ）
＝［ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ－ Ａ） － ｎ］＋［ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ＋Ａ） － ｎ］
－ ［ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ－ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ＋Ａ） － ２ｎ］－ ｒ（ Ａ） ＝０．
所 以 ｒ（ ｆ１（ Ａ） ） ＋ｒ（ ｆ２（ Ａ） ） ＋…＋ｒ （ ｆｋ＋１（ Ａ） ） ＝ｋｎ， 即 ｍ＝ｋ＋１ 时结论成立 ， 由 归 纳 法 原 理 可 知 ， 结 论 对
ｍ≥２ 的整数都成立．
参考文献： ［１］ 蒋永泉． 互素多项式在矩阵秩中的应用［Ｊ］． 徐州师范大学学报（ 自然科学版） ， ２００４， ２２（ ３） ： ７１￣７４． ［２］ 张禾瑞， 郝炳新． 高等代数（第四版）［Ｍ］． 北京： 高等教育出版社， １９７８． ［３］ 姚慕生． 高等代数学［Ｍ］． 复旦大学出版社， １９９８．２５５￣２６０． ［４］ 北京大学数学系几何代数教研室． 高等代数（ 第二版） ［Ｍ］． 北京： 高等教育出版社， ２００２．２０５￣２０８．
０ ｇ（ Ａ）
的秩得出一个新的结论。进而证明文献［１］中的结论。
＝ｒ（ ｆ（ Ａ） ） ＋ｒ（ ｇ（ Ａ） ）
（１）
由初等变换得
２ 主要结论
% &% &% & Ｅ － ｆ（ Ａ） ｆ（ Ａ） ０ Ｅ － ｇ（ Ａ）
０Ｅ
Ｅ ｇ（ Ａ） ０ Ｅ
定理 设 ｆ（ ｘ） ， ｇ（ ｘ） ∈Ｐ［ｘ］， Ａ 是 ｎ 阶方阵， 若
又由（ ５） 得 ｒ（ Ａ－ Ａ３） ＝ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ－ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ＋Ａ） － ２ｎ，
Ａ－ Ａ２＝Ａ（ Ｅ－ Ａ） ， ｆ２（ ｘ） ＝ｘ， ｇ２（ ｘ） ＝１－ ｘ， （ ｆ２（ ｘ） ， ｇ２（ ｘ） ） ＝１ 由定理得 ｒ（ Ａ－ Ａ２） ＝ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｅ－ Ａ） － ｎ，
从而命题得证．
特 别 地 ， 当 Ａ 是 三 幂 等 矩 阵 ， 即 Ａ３＝Ａ 时 ，
ｒ（ Ａ－ Ａ３） ＝０， 命题 ３ 变成命题 ２．
应用定理， 我们还可以把文献［１］中的定理 ３ 进
一步精确。
原命题［１］ 设 ｆｉ（ ｘ） ∈Ｐ［ｘ］， ｉ＝１， ２…， ｍ， Ａ∈Ｐｎ×ｎ 若 ｆ１（ ｘ） ，
＝ Ｅ０
% & % & ｆ（Ａ） ０
０ － ｆ（ Ａ） ｇ（ Ａ）
秩
＝秩
Ｅ ｇ（ Ａ）
Ｅ０
＝ｎ＋ｒ［－ ｆ（ Ａ） ｇ（ Ａ） ］
收稿日期： ２００５－ ０７－ １２ 作者简介： 邹晓光（ １９７０－ ） ， 男， 浙江金华人， 讲师， 从事代数教学研究。
第１期
邹晓光： 互素多项式矩阵的秩的一个简单结论及其应用