江苏省盐城市重点中学2011届高三检测试卷

江苏省盐城市重点中学2011届高三检测试卷
数学试题（理科）
一、填空题：（每小题5分，共70分）
1．函数2lg(2)y x x =-的定义域是______▲______________．
2．已知函数)1(log )(+=x x f a 的定义域和值域都是[]0,1，则实数a 的值是 ___▲_____ 3．函数y x a =-的图象关于直线3x =对称．则a =_____▲________． 4．集合}24
,{Z x
N x x A ∈-∈=且
用列举法可表示为A=_____▲________． 5．设M={a,b}，则满足M ∪N ⊆{a,b,c}的非空集合N 的个数为______▲________．
6．函数2
2
()1
x y x R x =∈+的值域为_________▲_______． 7．设函数()f x 是定义在R 上以3为周期的奇函数，若(1)1f >，23
(2)1
a f a -=
+， 则a 的取值范围是_______▲________．
8．已知2()lg(87)f x x x =-+-在(, 1)m m +上是增函数，则m 的取值范围是 ▲ ． 9．若函数12)(22
-=
+-a
ax x
x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____▲_________．
10．函数f （x ）=-x 2+4x -1在[t ，t+1]上的最大值为g （t ），则g （t ）的最大值为_____▲_______． 11．设f （x ）是定义在（-1,1）上的偶函数在（0,1）上增，若f （a-2）-f （4-a 2）<0，
则a 的取值范围为___▲______． 12．若2
()()x u f x e
--=的最大值为m ，且f （x ）为偶函数，则m+u=______▲__________．
13．已知])9,1[(2log )(3∈+=x x x f ，则函数)()]([2
2x f x f y +=的最大值是____▲_________．
14．某商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过500元，不享受任何折扣，如果顾客购物
总金额超过500元，则超过500元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算：
可以享受折扣优惠金额 折扣率
不超过200元的部分 5% 超过200元的部分
10%
某人在此商场购物获得的折扣金额为35元，则他购物实际所付金额为 ▲ 元
二、解答题：（本大题共6小题，共90分将解答过程写在答卷纸上相应的位置） 15．（本小题满分14分）A=11x x ⎧⎫
≥⎨⎬⎩⎭
，B={}
21,y y x x x R =++∈ （1）求A ，B
（2）求,R A B A C B ⋃⋂
16．（本小题满分14分）：已知函数b
x ax x f ++=
2
1)(()0≠a 是奇函数， 并且函数)(x f 的图像经过点（1，3），（1）求实数b a ,的值；（2）求函数)(x f 的值域 17．（本小题满分14分）
已知：在函数的图象上，x mx x f -=3
)(以),1(n N 为切点的切线的倾斜角为
.4
π
（I ）求n m ,的值；
（II ）是否存在最小的正整数k ，使得不等式]3,1[1993)(-∈-≤x k x f 对于恒成立？如果存在，请求
出最小的正整数k ，如果不存在，请说明理由。

18．（本题满分16分）设二次函数2
()f x ax bx c =++在区间[]2,2-上的最大值、最小值分别是M 、m ，
集合{}|()A x f x x ==．
（1）若{1,2}A =，且(0)2f =，求M 和m 的值；
（2）若{1}A =，且1a ≥，记()g a M m =+，求()g a 的最小值．
19．（本小题满分16分） 如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在AB 的延长线上，N
在AD 的延长线上，且对角线MN 过C 点。

已知AB=3米，AD=2米。

（I ）设x AN =（单位：米），要使花坛AMPN 的面积大于32平方米，求x 的取值范围； （II ）若)4,3[∈x （单位：米），则当AM ，AN 的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？
并求出最大面积。

20．（本题满分16分）
已知函数2()f x ax x =-⋅
，(),)g x a b =∈R ．
（1）当0b =时，若()(,2]f x -∞在上单调递减，求a 的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对(,)a b ：存在0x ，使得0()()f x f x 是的最大值，0()()g x g x 是 的最小值；
（3）对满足（II ）中的条件的整数对(,)a b ，试构造一个定义在{|D x x =∈R 且2,}x k k ≠∈Z 上的函
数()h x ：使(2)()h x h x +=，且当(2,0)x ∈-时，()()h x f x =．
附加题
1．设n为大于1的自然数，求证：
2
1
2
1
3
1
2
1
1
1
>
+
+
+
+
+
+
+n
n
n
n
．
2．已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求：
（1）A1D与EF所成角的大小；
（2）A1F与平面B1EB所成角；
（3）二面角C-D1B1-B的大小．
3．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。

（1）
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+
=
+
=
t
y
t
x
2
3
2
2
1
1
（t为参数）；
（2）
⎩
⎨
⎧
+
=
+
=
t
y
t
x
2
12
（t为参数）；
4．（本小题满分10分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=x3，f4（x）=sin x，f5（x）=cos x，f6（x）=2．
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
数学试题（理科）参考答案
一、填空题 1．(,0)
(2,)-∞+∞ 2．2 3．3 4．{}0,1,3,4,6 5．7 6．[)0,1 7．213
a -<<
8．13m ≤≤ 9．01a ≤≤ 10．3 11．)()2
2,5 12．1 13．13 14．915
二、解答题
15．（1）A={x|0<x≤1} B={y|y≥
43} （2）A B=[1,4
3] A C R B=（0,43
） 16．解：（1） 函数b
x ax
x f ++=2
1)(是奇函数，则)()(x f x f -=-
()0,,0,1122
=∴--=+-∴≠++-=+--+∴b b x b x a b
x ax b x x a ………（3分）
又函数)(x f 的图像经过点（1，3），,0,311,3)1(==++∴=∴b b
a
f ∴a=2 ……（6分）
（2）由（1）知()01
221)(2≠+=+=x x
x x x x f ………（7分）
当0>x 时，,2212212=⋅≥+
x x x x 当且仅当,12x
x =
即2
2
=
x 时取等号…（10分）
当0<x 时，()()2212,2212212-≤+∴=-⋅-≥-+
-x
x x x x x
当且仅当,1
)2(x
x -=
-即22-=x 时取等号……………（13分）
综上可知函数)(x f 的值域为(][)
+∞⋃-∞-,2222,…………（12分）
17．依题意，得.32,113,4tan )1(==-='m m f 即π
因为.3
1
,)1(-==n n f 所以…………6分
（II ）令.2
2
,012)(2
±
==-='x x x f 得…………8分
当;012)(,2
2
12>-='-
<<-x x f x 时
当;012)(,2
2222<-='<<-
x x f x 时 当
;012)(,32
2
2>-='<<x x f x 时
又.15)3(,3
2)22(,32)22(,31)1(=-==-=
-f f f f 因此， 当.15)(3
2
,]3,1[≤≤-
-∈x f x 时…………12分 要使得不等式]3,1[1993)(-∈-≤x k x f 对于恒成立，则.2008199315=+≥k
所以，存在最小的正整数.2008=k 使得不等式]3,1[1993)(-∈-≤x k x f 对于恒成立
18．（1）由(0)22f c ==可知，……………………………1分
又{}2A 1212(1)0.ax b x c =+-+=，
，故，是方程的两实根 1-b 1+2=a ,c 2=a
⎧
⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩…………………3分 1,2a b ==-解得…………4分 []22()22(1)1,
2,2f x x x x x ∴=-+=-+∈-
min 1()(1)1,1x f x f m ====当时，即……………………………5分 max 2()(2)10,10.x f x f M =-=-==当时，即……………………………6分
（2）2(1)0ax b x c +-+=由题意知，方程有两相等实根x=2, x=1
∴ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=+a c a b 2111， 即⎩⎨⎧=-=a c a b 21 ……………………………8分
∴f （x ）=ax 2+（1-2a ）x+a, x ∈[-2,2] 其对称轴方程为x=
=-a a 214-1a
21
又a≥1，故1-
⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∈1,2121a ……………………………9分 ∴M=f （-2）=9a-2 …………………………10分
m=a
a a f 411)212(
-=- ……………………………11分
g （a ）=M+m=9a-
a
41
-1 ……………………………14分
[)min 63
()1,1().4
g a a g a +∞∴==
又在区间上为单调递增的，当时，=431 ………16分 19．由于
,AM
DC
AN DN =则AM ＝
32x x - 故S AMPN ＝AN •AM ＝2
32x x - …………4分
（1）由S AMPN > 32 得 2
32
x x - > 32 ，
因为x >2，所以2332640x x -+>，即（3x －8）（x －8）> 0 从而8
283
x x <<
> 或
即AN 长的取值范围是8(2)(8)3
∞，，+…………8分
（2）令y ＝2
32x x -，则y′＝2226(2)334)(2)(2)x x x x x x x ---=--（ ………… 10分
因为当[3,4)x ∈时，y′< 0，所以函数y ＝2
32x x -在[3,4)上为单调递减函数，
从而当x ＝3时y ＝2
32
x x -取得最大值，即花坛AMPN 的面积最大27平方米，
此时AN ＝3米，AM=9米 (15)
20．1）当0b =时，()24f x ax x =-，…………………………………………………1分 若0a =，()4f x x =-，则()f x 在(],2-∞上单调递减，符合题意；………3分
若0a ≠，要使()f x 在(],2-∞上单调递减，
必须满足0,42,2a a
>⎧⎪
⎨≥⎪⎩ ……………………………………………………………………5分
∴01a <≤．综上所述，a 的取值范围是[]0,1 …………………………………6分 （2）若0a =，(
)f x =-，则()f x 无最大值，………………………7分
故0a ≠，∴()f x 为二次函数，
要使()f x 有最大值，必须满足2
0,
420,a b b <⎧⎨+-≥⎩
即0a <
且11b ≤≤+，…8分
此时，0x =()f x 有最大值．………………………………………分
又()g x 取最小值时，0x a =，………………………………………………………分
a =∈Z
，则
2a ，…………分
∵0a
<
且11b
≤)20a a <≤∈Z ，得1a =-，………………分 此时1b =-或3b =．
∴满足条件的整数对(),a b 是()()1,1,1,3---．……………………………12分 （3）当整数对是()()1,1,1,3---时，()22f x x x =--
(2)()h x h x +=，()h x ∴是以2为周期的周期函数，………………………分
又当()2,0x ∈-时，,构造()h x 如下：当()22,2,x k k k ∈-∈Z ，则， ()()()()()2
22222h x h x k f x k x k x k =-=-=----，
故()()()()2
222,22,2,.h x x k x k x k k k =----∈-∈Z …
附加题参考答案
1．证明：（放缩法）1111111
(1222222)
n n n n n n +++>++=++
解：不妨设正方体的棱长为1，以1,,DA DC DD 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则各点的坐标为A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），
1A （1，0，1），1C （0，1，1），E （
12,1,0）, F （0 , 1
2,0） 2．（1）因为111
(1,0,1),
(,,0),22
A D EF =--=--
所以
11((211
0022
A D EF A D EF =-==
-=
=++=
可知向量1A D 与EF 的夹角为60︒
因此1A D 与EF 所成角的大小为60︒
（2）在正方体1111ABCD A B C D -中，因为AB ⊥平面11B C CB ,所以AB 是平面1B EB 的法向量 因为 (1,1,0)(1,0,0)(0,1,0)AB =-=
111
(0,,0)(1,0,1)(1,,1)22
A F =-=--
所以131,,2AB A F == 112A F AB =，由11
cos ,3
A F A
B <>=，
所以可得向量之间的夹角约为19.47︒
（3）因为1AC ⊥平面11B D C ，所以1AC 是平面11B D C 的法向量，因为
111(1,1,1),(1,1,0),3,2,2AC AC AC AC AC AC =-=-===
所以16
cos ,AC AC <>=
，所以可得两向量的夹角为35.26︒
根据二面角夹角相等或互补可知，二面角约为35.26︒
3．（1
）由1
1,2
x t =+
得22t x =-
22)y x ∴=- 20y -+=，此方程表示直线
（2）由2y t =+，得2t y =- 2
1(2)x y ∴=+-
即2
(2)1y x -=-，此方程表示抛物线
4．（1）记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知
.5
1
)(2623==C C A P ………………………………4分
（2）ξ可取1，2，3，4．
103
)2(,21)1(151316131613=
⋅=====C C C C P C C P ξξ，
201
)4(,203)3(13
13141115121613141315121613=
⋅⋅⋅===⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ；………………8分
.4
20420310221=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE 答：ξ的数学期望为.47
………………………………10分。