2018年高考数学第五章平面向量专题19平面向量的数量积及其应用考场高招大全

专题十九平面向量的数量积及其应用
考点42平面向量的数量积
考场高招1 三大方法(定义法、坐标法、转化法)解决平面向量数量积问题
1.解读高招
2.典例指引
1(1)(2017届山西临汾一中等五校三联)如图,在△ABC中,AD⊥AB,=3,||=1,则的值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)在菱形ABCD中,对角线AC=4,E为CD的中点,则=()
A.8
B.10
C.12
D.14
(3)如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则的值是()
A.-
B.-
C.-
D.-
(2)(坐标法)特殊化处理,用正方形代替菱形,边长为2,以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),C(2,2),E(,2).
所以=(2,2),=(,2).
所以=2+2³2=12.故选C.
(3)(转化法)∵=2,r=1,
∴||==()²()
=²()+=+0-1=-,故选B.
【答案】(1)C(2)C(3)B
3.亲临考场
1.(2014课标Ⅱ,理3)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a²b=()
A.1
B.2
C.3
D.5
【答案】 A
∵|a+b|=,∴(a+b)2=10,
即a2+b2+2a²b=10.①∵|a-b|=,∴(a-b)2=6,
即a2+b2-2a²b=6.②由①②可得a²b=1.故选A.
2.(2013课标Ⅱ,理13)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则= .
【答案】2
高手解惑
典题(2017四川资阳一诊)已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且满足+2+4=0,则= ()
A.-
B.-
C.
D.
考生困惑：感觉所求的无法和已知条件联系到一起.如何将已知条件+2+4=0通过转化得到所求的,采用什么运算方式达到转化目的是困惑点.
解惑绝招：
第一步:明确转化法
分析已知条件含有三个向量,观察所求,联系到,代入所求
=()²,问题可以转化为求,这一步体现了利用“转化法”的指导作用.
第二步:借助平方技巧
如何将已知+2+4=0进行转化,达到消去的目的是解题的关键.将已知变形为2=-4,借助两边平方技巧,既能达到消去的目的,又能得到,胜利就在眼前!
第三步:回扣条件顺利求解
利用△ABC的外接圆半径为1,即||=||=||=1,化简第二步得到的等式,顺利求解.
【解析】由+2+4=0,得2=-4,两边平方,
得4+4=16.
因为△ABC的外接圆半径为1,所以||=||=||=1.
所以4+1+4=16.所以.
所以=()²-1=.
故选C.
考场高招2 求向量a在向量b方向上的投影的方法
1.解读高招
方向上的投影为
2.典例指引
2(1)(2017辽宁葫芦岛第二次考试)已知向量a,b满足|a|=1,a⊥b,则向量a-2b在向量-a方向上的投影为()
A.0
B.1
C.2
D.-1
(2)圆O为△ABC的外接圆,半径为2,若=2,且||=||,则向量在向量方向上的投影为
【答案】 (1)D(2)3
3.亲临考场
1.(2016陕西西安质检)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,且a⊥(a+b),则b在a方向上的投影为()
A.3
B.-3
C.-
D.
【答案】 B由a⊥(a+b)得a²(a+b)=0,即a2+a²b=0,于是a²b=-9,
因此b在a方向上的投影为=-3.
2.(2017江西抚州七校联考)在Rt△AOB中,=0,||=,
||=2,AB边上的高线为OD,点E位于线段OD上,若,则向量在向量方向上的投影为()
A. B.1 C.1或 D.
【答案】 D因为•=0,所以OA⊥OB,|AB|=5,
S△OAB=²AB²OD=²OA²OB.
所以OD==2.
因为=||²||²cos∠DEA=,所以||²||=.
所以(2-||)²||=,即||=或||=.故选D.
考点43 平面向量的长度与角度
考场高招3 平面向量基本定理的应用方法
1.解读高招
>=
2.典例指引
3(1)(2017河北唐山期末)设向量a与b的夹角为θ,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),则cos θ=()
A.-
B.
C.
D.-
(2)若a,b均为非零向量,且(a-2b)⊥a,( b-2a)⊥b,则a,b的夹角为.
【答案】 (1)A(2)
3.亲临考场
1.(2016课标Ⅲ,理3)已知向量,
则∠ABC=()
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
【答案】 A由题意得cos∠ABC==,
所以∠ABC=30°,故选A.
2.(2017湖南郴州二测)已知a,b均为单位向量,且(2a+b)²(a-2b)=-,则向量a,b的夹角为()
A. B. C. D.
【答案】 A设向量a,b的夹角为θ,因为|a|=|b|=1,所以(2a+b)²(a-2b)=-3a²b=-3cosθ=-,
即cosθ=,θ=.故选A.
3.(2017广东阶段测评)已知向量满足,
||=2,||=1,E,F分别是线段BC,CD的中点,若=-,则向量的夹角为()
A. B. C. D.
考场高招4 巧用公式法、几何法求解向量的模
1.解读高招
2.典例指引
4(1)已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=2,a²b=-3,则|a+2b|= .
(2)若向量=(1,-3), ||=||,=0,则||=
3.亲临考场
1.(2017课标Ⅰ,理13)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .
【答案】 2
【解析】因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4²|a|²|b|²cos60°+4|b|2
=22+4³2³1³+4³1=12,
所以|a+2b |==2.
2.(2017云南大理一测)已知向量a与b的夹角为30°,且|a |=,|b|=2,则|a-b|等于()
A.1
B.
C.13
D.
【答案】 A因为a²b=|a|²|b|²cos<a,b>=3,
所以|a-b |====1.故选A.
考场高招5三法(代数法、几何法、不等式法)搞定向量模的最值
1.解读高招
2.典例指引
5(1)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为()
A.6
B.7
C.8
D.9
(2)若平面向量a,b满足|2a-b|≤3,则a²b的最小值是.
方法二:同方法一,得||=|2|.
又,所以||=|2|
=|-3|=
=
==7,
当且仅当∠POB=180°时取等号,故||的最大值为7.
方法三:同方法一,得||=|2|.
设B(cosα,sinα),则|2|
=|2(-2,0)+(cosα-2,sinα)|=|(-6+cosα,sinα)|
==7,
当cosα=-1,即B落在点(-1,0)处时取等号.
故||的最大值为7.
(2)由向量的数量积知,-|a||b|≤a²b≤|a||b|⇒|a||b|≥-a²b(当且仅当<a,b>=π时等号成立).
由|2a-b|≤3⇒4|a|2-4a²b+|b|2≤9⇒9+4a²b≥4|a|2+|b|2≥4|a||b|≥-4a²b⇒a²b≥-(当且仅当2|a|=|b|,<a,b>=π时取等号),所以a²b的最小值为-.
【答案】 (1)B(2)-
3.亲临考场
1.(2017课标Ⅱ,理12)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则²()的最小值是 ()
A.-2
B.-
C.-
D.-1
所以²()=2x2-2y(-y)=2x2+2≥-.
当点P的坐标为时,²()取得最小值为-,故选B.
2.(2015天津,理14)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和
DC上,且=λ,则的最小值为.
【答案】
=³1³1³cos120°-³1³2³cos180°-λ³1³1³cos120°+1³2³cos60°=-+1
=+2,
当且仅当λ=时等号成立.故应填.
考点44 平面向量的综合应用
考场高招6 用向量解决平面几何问题的“三部曲”
1.解读高招
2.典例指引
6.(1)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若=1,则AB的长为. (2)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF.若=1,则λ的值为.
方法二:以A为原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,过点D作DM⊥AB于点M.
由AD=1,∠BAD=60°,可知AM=,DM=.
设|AB|=m(m>0),
则B(m,0),C,D.
因为E是CD的中点,所以E.
所以.
由=1可得=1,即2m2-m=0.
所以m=0(舍去)或m=.故AB的长为.
(2)如图,由题意可得=||²||cos120°=2³2³=-2.
在菱形ABCD中,易知,所以
=-2=1,解得λ=2.
【答案】 (1)(2)2
3.亲临考场
1.(2017课标Ⅲ,理12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若
=λ+μ,则λ+μ的最大值为()
A.3
B.2
C.
D.2
【答案】 A建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,1),B(0,0),D(2,1).
设z=x-y+1,即x-y+1-z=0.
因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=上,
所以圆心C到直线x-y+1-z=0的距离d≤r,
即,解得1≤z≤3,
所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.
2.(2016湖北宜昌一模)已知△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若3+4+5=0,则△AOC的面积为()
A. B. C. D.
3.(2016辽宁大连质检)设F1,F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2面积最大时,的值等于()
A.0
B.2
C.4
D.-2
【答案】 D由题意得
c==2=2³²|F1F2|²h(h为△PF1F2的边F1F2上的高),所以当h=b=1时,取最大值,
此时∠F1PF2=120°,||=||=2.
所以当四边形PF1QF2面积最大时,=||||cos120°=2³2³=-2.。