求极限值的几种常用方法

求极限值的几种常用方法
钱伟茂
（湖州广播电视大学 浙江 湖州 313000）
摘 要: 极限的概念与极限的运算贯穿于高等数学的始终，是研究函数的主要工具之一，全面掌握求极限的方法是学好高等数学的基本要求。

本文围绕求解极限值这个核心问题，探讨了利用初等数学思想的十种求解方法和利用高等数学思想的十一种求解方法。

关键词:数列；函数；极限值；求法
极限是高等数学的基本概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。

高
等数学中的诸如：连续、导数、微分、定积分、级数敛散性、多元函数偏导数、重积分、曲线积分、曲面积分等相关证明和运算都离不开求极限值。

本文将把分散于高等数学各章节中的求极限值的常用方法较系统地进行归纳，分为以初等数学思想和高等数学思想两种求解方法进行探讨。

一、初等数学思想的求解方法
1．利用约分
约分方法是指对分式求极限通常约去极限趋于零或无穷的因子以达到化简的目的。

例1 求1
1
1lim --→n m x x x
解：原式=n
m
x x x x x x x x x x x x n n m m n n m m =++++++→=+++-+++-→--------111lim 1)(1()1)(1(1lim 2
1212121 2．利用分子、分母同除于一个因子
分子、分母同除于一个因子，使每一项极限均存在，然后运用极限运算法则。

例2 求50
20
30)16()29()14(lim -++∞→x x x x
解：原式=1050
203050
20
30)32(694)16()29()14(lim =⨯=-++∞→x
x x x 3．利用分子、分母同乘一个非零因子 例3 若1<x ，求
)1()1)(1)(1(lim 242n
x x x x n ++++∞
→
解：原式=x x x x x x n n
-++++-∞→1)
1()1)(1)(1)(1(lim 242
=)1(11
11lim 1
2<-=--∞→+x x
x x n n
4． 利用通分
例4 求
)4
4
21(
2lim
2---→x x x
解：原式=
4
1
212lim )2)(2(22lim =+→=+--→x x x x x x
5．利用求和公式
对于若干项相加的式子，先求和，再求极限。

例5 求下列极限 （1）
)2
2321(lim n
n n n -+++++∞→
（2）设1
41
151312-+++=
n x n ，求n x n ∞→lim 解（1）原式21)2(2lim ]2)2(2)1([lim -=+-∞→=-++∞→=
n n n n n n n n
（2）因为
)1
21
121(21141
2---=
-n n n
所以：)1
21
1(21)]121121(
)5131()311[(21+-=+--++-+-=n n n x n 故
2
1
)1211(21lim lim =+-∞→=∞→n n x n n
6．利用三角恒等变形 例6 求极限
)sin 1(sin lim
x x x -++∞
→
解：2
1sin 2
1cos
2sin 1sin x
x x
x x x -+++=-+2
1sin
2x
x -+≤
而
0121sin lim 21sin lim
=++∞→=-++∞→x
x x x x x
所以，
0)sin 1(sin lim
=-++∞
→x x x
7． 利用分子、分母有理化 例7 求下列极限 （1）
)1(lim 2n n n x -+∞→ （2）
1
1sin 0lim -+→x x
x
解：（1）
2
111
11lim 1lim
)(lim 222=
++
∞
→=
++∞→=
-∞
→n
n n
n n
n n n n n （2）原式=
x
x x x x x x x x )
11(sin 0lim )
11)(11()
11(sin 0lim
++→=
++-+++→
=
2)11(0
lim
sin 0lim =++→⋅→x x x x x
8． 利用变量替换
例8 求)1arctan 4(lim x
x
x x +-∞→π
解：令x
x
y +-=
1arctan
4
π
，则当∞→x 时，0→y 原式=)4tan(0lim )
4
tan(10lim )4tan(1)4tan(0lim y y y y y y y y y -→⋅--→=---→π
πππ
=
2
1
tan 2)tan 1(0lim =+→y y y y
9． 利用换底
换底法主要是解决幂指函数型)
()
(x x u υ极限的求解方法，一般是利用对数恒等式
N e N =ln 进行换底，再求极限。

例9 求
2
1
)2(cos 0lim x x x →
解：原式=
2
2cos ln exp
lim
x x
x →=22cos ln 0lim exp x x x →x
x x 22tan 20lim exp 00-→ =2
)2exp(-=-e
10． 利用对数构造
例10 设01>=a x ，02>=b x ，n n n x x x 12++=（ ,3,2,1=n ）
求
n x x ∞
→lim
解：令a x ln ln 1==α，b x ln ln 2==β 由于n n n x x x 12++=
所以)ln (ln 2
1
ln 12n n n x x x +=++， ,3,2,1(=n ） 故)ln (ln 2
1
ln ln 112
n n n n x x x x --=-+++
当3≥n 时
)ln (ln )2
1
()(ln 21ln ln 122211x x x x x x n n n n n --=--=-----
=)ln (ln )2
1(2
a b n ---
从而：)ln (ln ln ln 12
1-=-+
=∑k n
k k
n x x
x x =∑-=--+2
1)21()ln (ln ln n k k a b x =])2
1
(1)[ln (ln 32ln 1----+
n a b a 32ln )ln ln 2(3
1
ln lim ab a b x n n =+=∞→
所以
32lim ab x n n =∞
→
二、高等数学思想的求解方法
1．利用极限的四则运算法则
例1 求极限4
522lim
23+-→x x x x
解：原式=442
lim
52lim 2
lim 2)45(2lim )2(2lim 2323
-=+→-→→=+-→→x x x x x x x x x x
对于极限四则运算法则中加法和乘法法则可推广到有限次的情形。

类似地，数列的极限，
多元函数的极限都有保持四则运算的性质。

2．利用函数连续性
函数的连续性描述函数的一种连续不断变化的状态。

确切地说来，函数在某点连续是指：当自变量趋于该点时，函数值的极限与函数在该点所取的值一致，可以证明，所有初等函数在其有定义的区间上都是连续的。

因此，得到一种求连续函数极限的方法。

例2。

.______________)]1
1ln(sin )31ln([sin lim =+-+∞→x
x x x （1996年考研试卷二，一（4））
解：填2。

这是因为，令),3
1ln(x
u +
=则0→u （∞→x ）时 1sin 0lim )
31ln()3
1ln(sin lim =→=++∞→u u u x
x x
于是，)31ln()
31ln()3
1ln(sin lim )31ln(sin lim x x x
x x x x x +⋅++∞→=
+∞→ =3ln )31ln(lim
33
3==+∞→⋅e x
x x
同理，
1)1
1ln(sin lim
=+∞→x
x x
综上所述，
2)]1
1ln(sin )31ln([sin lim =+-+∞→x
x x x
3．利用单调有界原理 准则
)
43](1[p ：单调有界数列必有极限
例3 设101=x ，n n x x +=+61，
n=1,2,3,……，试求n x n ∞
→lim （1996年考研试卷一，
三（2））
解：由101=x 和42=x ，知21x x >，设对某自然数k ，有1+>k k x x ，则
214166+++=+>+=k l k x x x x
由数学归纳法可知，数列{}n x 是单调递减的。

由n n x x +=
+61易知0>n x ， ,3,2,1=n ，即数列{}n x 有下界。

故
n x n ∞
→lim 存在，并
设
A x x n =∞
→lim 。

在n n x x +=
+61两边同时取极限，得A=A +6，即062=--A A ，解得A=-2或
A=3，由0>n x ，得
3lim =∞
→n x n 。

4．利用夹逼定理
定理1
)
49](5[： 如果数列{}n x ，{}n y 和{}n z 满足下列条件：
(1) n n n z x y ≤≤ ,3,2,1(=n );
(2) a y n n =∞→lim ，a z n n =∞
→lim
那么数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞
→lim
定理'
1)
49](5[：如果
（1）当x 在0x 的去心邻域时（或x 充分大以后），)()()(x h x f x g ≤≤； （2）
A x h x x x g x x =→=→)(lim
)(lim 0
则
A x f x x =→)(lim
（A 为有限或无穷大）
例4，求下列极限 （1）
]2
[0lim
x
x x →（[x]表示x 的取整数） （2）
2
6
26
26
221(
lim n
n n n
n n
n n ++
+++
+∞
→
解（1）
x
x x 2]2[12≤<- 所以当0>x 时，2]2
[2≤<-x
x x ；当0<x 时，x x
x -<≤2]2[2
但
2)2(0
lim =-→x x ，
220
lim =→x
所以，
2]2
[0lim
=→x
x x （2）因为
n k n
n kn
n n
n ,3,2,1(1116
6
2
6
=+≤
+≤
+
所以
∑
∑
∑
===+≤+≤+n
k n
n n
n n
n k kn
n k n
n k 1
1
1
6
26
22
6
2
而
3
1
6)1)(12(lim lim
261262
=+++∞→=
+∞→∑
=n n n n n n n n k n n
k
31
6)1)(12(lim lim
6162
=+++∞→=
+∞→∑
=n n n n n n n n k n n
k
故
31
)221(
lim 262
626=++
+++
+∞
→n n n n
n n
n n
5．利用两个重要极限
重要极限1sin 0lim =→x x x 和e x
x x
=+∞→1
)11(lim ，为了方便地使用，也常记作
e x x x x x x =+∞→=→)
())
(11()(sin ,1)()(sin 0)(lim ϕϕϕϕϕϕ
例5 求极限
)0(3
sin 3lim ≠∞→x x
n n n
解：
x x x x
x n n
n n n =⋅=∞→33sin
3
sin 3lim 例6 设
8)2(lim =-+∞→x
a
x a x x ，则__________=a 。

（1996年考研试卷一，一（1）） 解：填2ln 。

因为
8)31(lim )2(lim
333==-+∞→=-+∞→-⋅-a a
x ax
a a x x e a
x a x a x a x x
故得2ln 8ln 3
1
==
a 。

6．利用无穷小的性质
求极限时巧妙运用等价无穷小量代换及性质，不仅可以求出极限，而且还可以简化运算，常见的用法有以下三种：
1、利用常用的等价无穷小量直接进行代换。

常用的基本等价无穷子量有如下几个：当0→x 时
x x a sin ~)(；x x arcsin ~sin ；x x x arctan ~~tan ；x e x
~1-；)1ln(~x x +；
x n
x n
1
~
11-+； (b) )()1(R x x ∈-+ααα
；)0(ln ~1~>a a x a x
；2
~cos 12
x x -
例7 求极限
x
x x sin 1
1arccos 0
lim -+→
解：原式=)sin 20lim arccos()sin 110lim
arccos(x
x
x x x x →=-+→
=3
21arccos
π= 2、根据性质“无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量”求解。

例8 求极限
x
x x 1sin 0lim
→ 解：因为11
sin ≤x
，故x 1sin 为有界函数，而00lim =→x x
由无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量可得：
01
sin
lim =→x
x x 3、利用互为反函数的简单结论。

若f(x)存在反函数)()
1(x f
-，且0→x 时，
0)(→x f ；则
(a))0(~)(1
→-x x x f
(b))0)((~~)(1
→-x x f x x f
例9 求极限)]
4sin(1ln[1
)4(2lim 2
2sin -+--→x x e x 解：令t x =-42
，则当2→x 时，0→t
原式=10lim )1ln(1
0lim
=→=+-→x
x t t e t t
利用等价无穷小求极限时，值得注意的是只能替换求极限的函数中的乘积因子，若函数中出现加减法，则应设法将其转化为乘除形式。

例00lim sin tan sin 0lim 3
3=-→=-→x x
x x x x x x 是
错误的。

7．利用洛必达法则
洛必达法则对求未定式的极限非常有用，所谓未定式主要是指
οο，∞
∞
，0•∞，∞-∞，
0∞，00，∞1，型，且后面5种都可以经过适当的变形化为前面两种形式。

例10 求下列极限 （1）
)0(cos ln cos ln 0lim ≠→b bx
ax x （2）x n n n n e a x a x a x a x 71110)(lim
---+++++∞→ 解：
（1）原式=bx
ax ab ax bx b bx
ax ab bx ax a x ax bx b bx ax a x sin sin cos cos sin sin cos cos 0lim cos sin cos sin 0lim 22⋅-⋅⋅-⋅→=
-→ =22
b
a
（2）这是0•∞型未定式，n 次运用洛必达法则，得
原式=0!7lim lim
7071110=⋅∞→=+++++∞→--x n x
n
n n n e n a x e a x a x a x a x
最后，需要指出，虽然洛必达法则是求未定式极限的非常好用的一种方法，但它却不是万能的。

当满足定理的三个条件时，所求极限当然存在（或∞）。

但当定理条件不满足时，所求极限却不一定不存在。

特别地，当第三个条件不满足时，即)
(')
('lim
x g x f 不存在时（等于无穷大情况除外），)
()
(lim x g x f 仍可能存在。

8．利用中值定理
例11 求极限)1
arctan (arctan lim 2+-∞→n a
n a n n
解：设x
a
x f arctan
)(= 在区间[n,n+1]上对)(x f 用拉格朗日中值定理，存在)1,(+∈n n c n ，使得：
2
2)1)((')()1(a
c a
n n c f n f n f n n +-
=-+=-+ 即22
arctan 1arctan a c a n a n a n +-=-+，所以2
222
)1arctan (arctan a
c an n a n a n n +=+-
又2
22222222)1(a n a n a c an a n a n n +≤+≤++，而a a n a
n n a n a n n =+∞→=++∞→222222lim )1(lim
由夹逼定理知：
a n a
n a n n =+-∞→)1
arctan (arctan lim 2
例12 求极限
dx x x
n n n ⎰+∞→λcos lim （n 为正整数，0>λ）
解：设x
x x f cos )(=
，则在[λ+n n ,]上连续，由积分中值定理，得
ξ
ξ
λ
λ
cos cos =⎰
+dx x
x n n
（λξ+≤≤n n ）
原式=
0cos lim cos lim =∞→=⋅
∞
→ξ
ξ
ξλ
ξ
ξ
λn
9．利用泰勒公式 泰勒公式
)
189187](1[-：若)(x f 在0=x 处有直到n+1阶连续导数，那么
1
)1(2)!1()(21)0('')0(')0()(+++++++=n n x n f x f x f f x f ξ ，),0(x ∈ξ
例13 求极限x
x x x cos sin cos 0lim
4
-→
解：利用泰勒展开式，得
))(!
4!21()(sin !4sin !2sin 1cos sin cos 4424
42x O x x x O x x x x ++--++-=-
=-
)()(sin )(sin !
41
)(sin !21444422x O x O x x x x -+-+- =)(])(!3[(!41])](!3[(!21444332
233x O x x O x x x x O x x +-+-+-+-
- =)(6
44
x O x + 于是，原式=6)(6
0lim 44
4
=+→x O x
x x 注：因分子是x 的四阶无穷小，故分母的泰勒展开式至少是四阶。

10．利用导数定义
例14 设)(x f 在a x =处可导，求n a f n a f n ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+∞→)()1(lim ，其中n 为正整数，0)(≠a f 。

解：原式=)()(')]'([ln 1)
ln()1
(ln lim a f a f x f n a n a f n e e e a x ===-+∞
→
11．利用定积分的定义
根据定积分的定义可求如下形式的极限:
n
n n f n f t f n )()2()(lim +++∞→ 化这种问题为定积分主要是确定积分限和被积函数。

例15 求极限2222221(lim n
n n n n n n n ++++++∞→ 解：原式=∑∑==⋅+∞→=+∞→n i n i n n
i n i n n n 12
1221)(11lim lim =⎰==+'
0'024arctan 1πx x dx 例16 求]1sin 212sin
1sin [lim n
n n n n n n ++++++∞→ππ
π
（1998年考研试卷一，七） 解：由于n n i n
i n n i n n i πππsin sin 1sin ≤+≤+ 得：∑∑∑===≤+≤≤+n i n i n i n i n n i n n i i n i n 111sin 1sin sin 11πππ 由定积分定义知
⎰∑==+∞→='012sin sin 1lim π
ππxdx n i n n n i πππ2)sin 11(lim sin 11lim 11=⋅++∞→=+∞→∑∑==n i n i n i n n n n n i n n
2
由夹逼定理知：原式=
以上诸种方法可以说仅是求极限值的常用方法，但绝不是其全部方法。

从以上方法中可以看到，只要灵活地加以综合运用，就能有效地解决不同形式的极限问题。

随着数学知识的更新与进步，将会有更多的方法。

参考文献：
[1]陈传璋、金福临、朱学炎、欧阳光中、数学分析[M].北京：高等教育出版社，1992，27-72.
[2]唐玉宪，几种求极限的方法[J].沈阳师范大学学报，2002（1）：8-19.
[3]孙彩云，求解极限的思想方法小结[J].四川教育学院学报，2004（3）：109-111.
[4]吴忠怀，求极限的主要方法[J].岳阳职业技术学院学报，2004（1）：118-120.
[5]李心灿、宋瑞霞、唐旭晖等，高等数学专题十二讲[M].北京：化学出版社，2001年11月第1版，44-78.
[6]龚冬保、武忠祥、毛怀遂、邸双亮，高等数学典型题[M].西安：西安交通大学出版社，2000年1月第2版，1-41.。