整除特征初步
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即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），
并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即： 如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
2.数的整除性质
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积 能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
第8讲
整除问题初步
目录
01 简单的尾数判断法 02 数字和判断法 03 位置原理初识
第一部分添加：文字简添单加文的字尾数判断法
例1
下面6个自然数：152，650，434，4375，9064，24125中， （1）哪些能被2整除？哪些能被5整除？ 末一位 （2）哪些能被4整除？添哪加些文能字被25整除？ （3）哪些能被8整除？哪些能被125整除？
添加文字
知识点总结：数的整除特征
被2整除：一个数的个位数字如果是0，2，4， 6，8中的一个 被5整除：一个数的个位数字如果是0，5中的 一个
例1
下面6个自然数：152，650，434，4375，9064，24125中， （1）哪些能被2整除？哪些能被5整除？ 末一位 （2）哪些能被4整除？添哪加些文能字被25整除？ 末两位 （3）哪些能被8整除？哪些能被125整除？
第三部分添加：文字同添时加文满字足多个数的整除 特征
例5
在下面每个数的 里填上一个数字，使它符合所提要求。 （1）238 ，63 2能被2整除，又能被3整除。
（2）5 0，4 ， 89 同时能被2，5，3整除。
练5
在下面每个数的 里填上一个数字，使它符合所提要求。 5 2 既能被3整除，又能被2整除，又能被5整除，那么一 共有（ ）种填法。
练2
（1）修改34575中的一个数字，使这个五位数 能被4整除， 修改后的五位数是多少？ （2）修改675479中的一个数字，使这个六位数能被25整除， 修改后的六位数是多少？
第二部分添加：文字数添字加文和字判断法
例3
下面6个自然数，5762，3105，9631，7953，2945，3281。 （1）哪些能被3整除？不能被3整除的余数分别是多少？ （2）哪些能被9整除？不能被9整除的余数分别是多少？
添加文字
知识点总结：数的整除特征
被4或25整除：一个数的末两位数能被4或25整 除，那么这个数就一定能被4或25整除。
例1
下面6个自然数：152，650，434，4375，9064，24125中， （1）哪些能被2整除？哪些能被5整除？ 末一位 （2）哪些能被4整除？添哪加些文能字被25整除？ 末两位 （3）哪些能被添8加整文除字 ？哪些能被125整除？末三位
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3的整除方法
例6
若五位数22A3B能被45整除，则A,B代表的数字各是多少？
练6
若五位数2A52A能被15整除，则A代表的数字是多少？
知识点总结：数的整除特征
稍大数的整除：将大数拆分成互质的具备整除特 征的几个数的乘积，先尾后和，逐一满足。
2.数的整除性质
性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能 被c整除。
知识点总结：数的整除特征
被3或9整除：如果一个数的各个数字之和能被3 或9整除，则这个数就能被3或9整除。
练3
55……589是否能被3整除？
例4
（1）六位数243AA4能被3整除，求A。
（2）六位数23A4A7能被9整除，求A。
练4
在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，是4 32 是9的倍数，一共有（ ）种满足条件的填法。
知识点总结：数的整除特征
被8或125整除：一个数的末三位数能被8或125 整除，那么这个数就一定能被8或125整除。
练1
（1）能被25整除的数的末两位数只能是多少？ （2）能被4整除的最大三位数是多少？
例2
（1）修改15679中的一个数字，使这五位数能被4整除，修 改后的五位数是多少？ （2）修改4545679中的一个数字，使这个七位数能被8整除， 修改后的七位数使多少？
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），
并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即： 如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
2.数的整除性质
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积 能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
第8讲
整除问题初步
目录
01 简单的尾数判断法 02 数字和判断法 03 位置原理初识
第一部分添加：文字简添单加文的字尾数判断法
例1
下面6个自然数：152，650，434，4375，9064，24125中， （1）哪些能被2整除？哪些能被5整除？ 末一位 （2）哪些能被4整除？添哪加些文能字被25整除？ （3）哪些能被8整除？哪些能被125整除？
添加文字
知识点总结：数的整除特征
被2整除：一个数的个位数字如果是0，2，4， 6，8中的一个 被5整除：一个数的个位数字如果是0，5中的 一个
例1
下面6个自然数：152，650，434，4375，9064，24125中， （1）哪些能被2整除？哪些能被5整除？ 末一位 （2）哪些能被4整除？添哪加些文能字被25整除？ 末两位 （3）哪些能被8整除？哪些能被125整除？
第三部分添加：文字同添时加文满字足多个数的整除 特征
例5
在下面每个数的 里填上一个数字，使它符合所提要求。 （1）238 ，63 2能被2整除，又能被3整除。
（2）5 0，4 ， 89 同时能被2，5，3整除。
练5
在下面每个数的 里填上一个数字，使它符合所提要求。 5 2 既能被3整除，又能被2整除，又能被5整除，那么一 共有（ ）种填法。
练2
（1）修改34575中的一个数字，使这个五位数 能被4整除， 修改后的五位数是多少？ （2）修改675479中的一个数字，使这个六位数能被25整除， 修改后的六位数是多少？
第二部分添加：文字数添字加文和字判断法
例3
下面6个自然数，5762，3105，9631，7953，2945，3281。 （1）哪些能被3整除？不能被3整除的余数分别是多少？ （2）哪些能被9整除？不能被9整除的余数分别是多少？
添加文字
知识点总结：数的整除特征
被4或25整除：一个数的末两位数能被4或25整 除，那么这个数就一定能被4或25整除。
例1
下面6个自然数：152，650，434，4375，9064，24125中， （1）哪些能被2整除？哪些能被5整除？ 末一位 （2）哪些能被4整除？添哪加些文能字被25整除？ 末两位 （3）哪些能被添8加整文除字 ？哪些能被125整除？末三位
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3的整除方法
例6
若五位数22A3B能被45整除，则A,B代表的数字各是多少？
练6
若五位数2A52A能被15整除，则A代表的数字是多少？
知识点总结：数的整除特征
稍大数的整除：将大数拆分成互质的具备整除特 征的几个数的乘积，先尾后和，逐一满足。
2.数的整除性质
性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能 被c整除。
知识点总结：数的整除特征
被3或9整除：如果一个数的各个数字之和能被3 或9整除，则这个数就能被3或9整除。
练3
55……589是否能被3整除？
例4
（1）六位数243AA4能被3整除，求A。
（2）六位数23A4A7能被9整除，求A。
练4
在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，是4 32 是9的倍数，一共有（ ）种满足条件的填法。
知识点总结：数的整除特征
被8或125整除：一个数的末三位数能被8或125 整除，那么这个数就一定能被8或125整除。
练1
（1）能被25整除的数的末两位数只能是多少？ （2）能被4整除的最大三位数是多少？
例2
（1）修改15679中的一个数字，使这五位数能被4整除，修 改后的五位数是多少？ （2）修改4545679中的一个数字，使这个七位数能被8整除， 修改后的七位数使多少？