2019高一下数学期末考试题及答案

第二学期期末教学质量监测
高一数学
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．) 1．sin 600o
的值等于（ * ）.
A ．
1
2
B ．12
-
C
．
D
2．已知角α的终边经过点(1,2)P -),则tan 4πα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值是（ * ）. A ．3 B ．3- C ．13 D ．1
3
-
3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、，已知,1,3,3
===b a A π
则B ＝
（ * ） A ．
3π B ．6π C ．
5π D ．6
π或65π
4. 已知0<<b a , ）
A ．ab a <2
B ．b a < b
1
D ．b
a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121
5. 已知向量a 与b 的夹角为120o
，且1==a b ，则－a b 等于（ * ）
A ．3
B
C ．2
D ．1 6．设等差数列{}n a 的前项和为n S ，已知10100S =，则29a a +=（ * ）. A. 100 B. 40 C. 20 D. 12 7. 在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==, 则2a 的值为（ * ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
8. 如果实数x 、y 满足条件1,
210,10.y x y x y ≤⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
则2x y +的最大值为（ * ）
A . 1 B.
5
3
C. 2
D. 3 9．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫
><
⎪⎝
⎭
的图像如图1所示，则函数)(x f 的解
析式是（ * ）
A ．10
()2sin 11
6f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
B ．10
()2sin 11
6f x x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
C ．()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
D ．()2sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
10．已知1OA =u u u r ，3OB =u u u r ，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，点C 在AB 上，且30AOC ∠=o
，设
OC =u u u r (,)mOA nOB m n R +∈u u u r u u u r ，则m
n
等于( * )
A.13
B.3
C.3
D.
3
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11. 已知向量(1,2),(,2)x ==a b ，且⊥a b ，则实数x 的值为 * ． 12. 已知关于x 的一元二次不等式2
20ax bx ++>的解集为}21|{<<-x x ，则
=+b a ___*___.
13. 某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30o ，灯塔B 在观察站C 南偏东30o 处，则两灯塔A 、B 间的距离为___*_______. 14. 定义等积数列}{n a ：若p a a n n =-1（p 为非零常数，2n ≥），则称}{n a 为等积数列，
p 称为公积.若}{n a 为等积数列，公积为1，首项为a ，前n 项和为n S ，则2015a =_____*____，
2015S =_____*____.
三、解答题：(本大题共6小题，满分80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）
15. （本小题满分12分）
已知向量(4,3),(1,2)==-a b .
（1）求a 与b 的夹角的余弦值；
（2）若向量λ-a b 与2+a b 平行，求λ的值.
1 O
x
y 1112
π 图1
16．（本小题满分12分）
已知函数22
()cos )2sin cos f x x x x x =-+．
（1）求()f x 的最小正周期； （2）设[,]33
x ππ
∈-
，求()f x 的值域和单调递增区间．
17. （本小题满分14分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
且满足cos 2A =，3AB AC ⋅=u u u
r u u u r .
（1）求ABC ∆的面积；
（2）若6b c +=，求a 的值.
18. （本小题满分14分）
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，2a 为整数，且5n S S ≤. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19. （本小题满分14分）
围建一个面积为2
360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修，可供利用的旧墙足够长)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽2m 的进出口，如图2所示.已知旧墙的维修费用为45/m 元，新墙的造价为/m 180元.设利用旧墙的长度为x (单位：m )，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元). (1)将y 表示为x 的函数，并写出此函数的定义域；
(2)若要求用于维修旧墙的费用不得超过修建此矩形场地围墙的总费用的15%，试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
图2
20．（本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L
*()n N ∈．
（1）求23a a ，的值；
（2）求证：数列{}2n S +是等比数列； （3）设814
2
n n n b S -=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足0n T >的最小自然数n 的值．
高一数学试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几
种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答
未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）
已知向量(4,3),(1,2).==-a b
（1）求a 与b 的夹角的余弦值；
（2）若向量λ-a b 与2+a b 平行，求λ的值. 解：（1）(4,3),(1,2)==-Q a b
4(1)322,5,∴⋅=⨯-+⨯=====a b a b ………………3分
∴cos ,25
⋅<>=
==
a b a b a b ……………………6分 （2） ∵(4,3),(1,2).==-a b
∴(4,32)2(7,8)λλλ-=+-+=，a b a b …………………………8分 ∵向量λ-a b 与2+a b 平行，
∴
43278
λλ
+-=
…………………………10分 解得：1
2
λ=- …………………………12分
16．（本小题满分12分）
已知函数22
()cos )2sin cos f x x x x x =-+．
（1）求()f x 的最小正周期； （2）设[,
]33x ππ
∈-
，求()f x 的值域和单调递增区间．
解： （1）∵x x x x x f cos sin 2)sin (cos 3)(2
2---=2sin 2x x
=+2sin(2)
3
x π
=-…………………… 4分
)(x f ∴的最小正周期为π． ………… 5分
（2）∵
[,
]33x ππ
∈-，
23
3
x π
π
π∴-≤-
≤
，
∴
1sin(2)3
x π
-≤-≤
． )(x f ∴的值域为]3,2[-． ……………… 9分 Θ当)3
2sin(π
+
=x y 递增时，()f x 递增．
由22
3
3
x π
π
π
-
≤-
≤
，得12
3
x π
π
-
≤≤
．
故()f x 的递增区间为,123ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
． ……………………12分
17．（本小题满分14分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 25
A =，3A
B A
C ⋅=u u u r u u u r .
（1）求ABC ∆的面积；
（2）若6b c +=，求a 的值.
解：（1）∵
cos 25
A = ∴2
34
cos 2cos
1,sin 255
A A A =-== ……………………4分 ∵3A
B A
C ⋅=u u u r u u u r
∴cos 3bc A =………………………6分 ∴5bc = ………………………7分 ∴ABC ∆的面积1
sin 22
ABC S bc A ∆==……………………8分 （2）∵5bc =，6b c +=
∴
5,1b c ==或1,5b c ==…………………………………11分 由余弦定理得
2222cos 20a b c bc A =+-= ………………………13分
∴
a =分 18．（本小题满分14分）
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，2a 为整数，且5n S S ≤. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
解：（1）在等差数列{}n a 中，由5n S S ≤
得50a ≥，60a ≤， ……………………2分 又113a =， ∴13401350
d d +≥⎧⎨
+≤⎩，解得1313
45d -≤≤-， …………………5分
∵2a 为整数，∴3d =-， ……………………6分
∴
{}n a 的通项公式为163n a n =-． ……………………7分 （2）∵
1111
)(163)(133)163n n n b a a n n n
+==---，……………………9分 ∴
12n n T b b b =+++L 111111111
[()()()()]3101371047133163n n
=-+-+-++---L …………12分 111()31331313(133)
n n n =-=--……………………14分
19. （本小题满分14分）
围建一个面积为2
360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修，可供利用的旧墙足够长)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽2m 的进出口，如图2所示.已知旧墙的维修费用为45/m 元，新墙的造价为/m 180元.设利用旧墙的长度为x (单位：m )，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).
(1)将y 表示为x 的函数，并写出此函数的定义域；
(2)若要求用于维修旧墙的费用不得超过修建此矩形场地围墙的总费用的15%，试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
解：(1)设矩形场地的宽为am ，则
45180(2)1802225360360y x x a x a =+-+⨯=+-……………2分
∵360ax = ∴360
a x
=
……………4分 ∴2
360225360y x x
=+- (2)x ≥ ……………6分 (2) ∵0x ≥
∴2
36022536036010440y x x =+-≥= ……………9分 当且仅当2
360225x x
=，即24x =时，等号成立. ……………11分
当24x =时，修建此矩形场地围墙的总费用的15%为：1566元，用于维修旧墙的费用为：1080元.
∵1080<1566 ……………13分 ∴当24x m =时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.
…………14分 20．（本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L
*()n N ∈．
（1）求23a a ，的值；
（2）求证：数列{}2n S +是等比数列； （3）设814
2
n n n b S -=
+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ，并求满足0n T >的最小自然数n 的
值．
解：（1）∵ 12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L *()n N ∈
∴ 12,a =
12122()4a a a a +=++
123123232()6a a a a a a ++=+++ ……………………………………2分
∴ 234,8a a == ……………………………………3分
(2)证明：∵ 12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L *
()n N ∈ ①
∴当2n ≥时，123123(1)(2)2(1)n n a a a n a n S n -++++-=-+-L ② ……………………4分
由①-②得
1[(1)2][(2)2(1)]n n n na n S n n S n -=-+--+- 11()22n n n n n S S S S --=--++
122n n n na S S -=-++ ……………………6分
∴
1220n n S S --++=，即122n n S S -=+ ∴
122(2)n n S S -+=+ ∵
1240S +=≠ ∴
120n S -+≠ ∴
12
22
n n S S -+=+
∴数列{}2n S +是以4为首项，2为公比的等比数列。

…………………8分
(3) 由(2)得122n n S ++= ∴8144722n n
n n n b S --==+ ………………………………9分
∴
23315222n T =-+++L
2341131547222222
n n n n T +-=-++++ 以上两式相减得 231311147
4()222222
n n n
n T -=-+++++L
即241
2
n n n
n T --= ………………………………12分 当1,2,3,4n =时，0n T <，当5n ≥时，0n T >………………………………13分
所以满足0n T >的最小自然数n 的值为5。

………………………………14分。