2020年山西省中考数学试卷及答案解析

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2020年山西省中考数学试卷
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1.(3分)计算(﹣6)÷(−1
3)的结果是()
A.﹣18B.2C.18D.﹣2
2.(3分)自新冠肺炎疫情发生以来,全国人民共同抗疫,各地积极普及科学防控知识,下面是科学防控知识的图片,图片上有图案和文字说明,其中的图案是轴对称图形的是()
A.B.
C.D.
3.(3分)下列运算正确的是()
A.3a+2a=5a2B.﹣8a2÷4a=2a
C.(﹣2a2)3=﹣8a6D.4a3•3a2=12a6
4.(3分)下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的,其中主视图与左视图相同的几何体是()
A.B.
C.D.
5.(3分)泰勒斯是古希腊时期的思想家,科学家,哲学家,他最早提出了命题的证明.泰
勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长,标杆的高度,金字塔的影长,推算出金字塔的高度,这种测量原理,就是我们所学的( )
A .图形的平移
B .图形的旋转
C .图形的轴对称
D .图形的相似
6.(3分)不等式组{2x −6>0,4−x <−1
的解集是( ) A .x >5 B .3<x <5 C .x <5 D .x >﹣5
7.(3分)已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)都在反比例函数y =k x (k <0)的图
象上,且x 1<x 2<0<x 3,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( )
A .y 2>y 1>y 3
B .y 3>y 2>y 1
C .y 1>y 2>y 3
D .y 3>y 1>y 2
8.(3分)中国美食讲究色香味美,优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花.图①中的摆盘,
其形状是扇形的一部分,图②是其几何示意图(阴影部分为摆盘),通过测量得到AC =BD =12cm ,C ,D 两点之间的距离为4cm ,圆心角为60°,则图中摆盘的面积是( )
A .80πcm 2
B .40πcm 2
C .24πcm 2
D .2πcm 2
9.(3分)竖直上抛物体离地面的高度h (m )与运动时间t (s )之间的关系可以近似地用
公式h =﹣5t 2+v 0t +h 0表示,其中h 0(m )是物体抛出时离地面的高度,v 0(m /s )是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5m 的高处以20m /s 的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为( )
A .23.5m
B .22.5m
C .21.5m
D .20.5m
10.(3分)如图是一张矩形纸板,顺次连接各边中点得到菱形,再顺次连接菱形各边中点
得到一个小矩形.将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上,则飞镖落在阴影区域的概率是( )
A .13
B .14
C .16
D .18 二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)
11.(3分)计算:(√3+√2)2−√24= .
12.(3分)如图是一组有规律的图案,它们是由边长相等的正三角形组合而成,第1个图
案有4个三角形,第2个图案有7个三角形,第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去,第n 个图案有 个三角形(用含n 的代数式表示).
13.(3分)某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会,组织了6次预选赛,
其中甲,乙两名运动员较为突出,他们在6次预选赛中的成绩(单位:秒)如下表所示:

12.0 12.0 12.2 11.8 12.1 11.9 乙 12.3 12.1 11.8 12.0 11.7 12.1
由于甲,乙两名运动员的成绩的平均数相同,学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔,那么被选中的运动员是 .
14.(3分)如图是一张长12cm ,宽10cm 的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个
全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24cm 2的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为 cm .
15.(3分)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =3,BC =4,CD ⊥AB ,垂足为D ,
E 为BC 的中点,AE 与CD 交于点
F ,则DF 的长为 .
三、解答题(本大题共8个小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(10分)(1)计算:(﹣4)2×(−1
2)
3﹣(﹣4+1).
(2)下面是小彬同学进行分式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务.
x2−9 x2+6x+9−
2x+1 2x+6
=(x+3)(x−3)
(x+3)2−2x+1
2(x+3)
⋯第一步
=x−3 x+3−2x+1
2(x+3)
⋯第二步
=2(x−3) 2(x+3)−2x+1
2(x+3)
⋯第三步
=2x−6−(2x+1)
2(x+3)
⋯第四步
=2x−6−2x+1
2(x+3)
⋯第五步
=−5
2x+6
⋯第六步
任务一:填空:
①以上化简步骤中,第步是进行分式的通分,通分的依据是.或填
为:;
②第步开始出现错误,这一步错误的原因是;
任务二:请直接写出该分式化简后的正确结果;
任务三:除纠正上述错误外,请你根据平时的学习经验,就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.
17.(6分)2020年5月份,省城太原开展了“活力太原•乐购晋阳”消费暖心活动,本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元(每次只能使用一张).某品牌电饭煲按进价提高50%后标价,若按标价的八折销售,某顾客购买该电饭煲时,使用一张家电消费券后,又付现金568元.求该电饭煲的进价.
18.(7分)如图,四边形OABC是平行四边形,以点O为圆心,OC为半径的⊙O与AB相切于点B,与AO相交于点D,AO的延长线交⊙O于点E,连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数.
19.(9分)2020年国家提出并部署了“新基建”项目,主要包含“特高压,城际高速铁路和城市轨道交通,5G基站建设,工业互联网,大数据中心,人工智能,新能源汽车充电桩”等.《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域(5G基站建设,工业互联网,大数据中心,人工智能,新能源汽车充电桩)总体的人才与就业机会.如图是其中的一个统计图.
请根据图中信息,解答下列问题:
(1)填空:图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是亿元;
(2)甲,乙两位待业人员,仅根据上面统计图中的数据,从五大细分领域中分别选择了“5G基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向.请简要说明他们选择就业方向的
理由各是什么;
(3)小勇对“新基建”很感兴趣,他收集到了五大细分领域的图标,依次制成编号为W,G,D,R,X的五张卡片(除编号和内容外,其余完全相同),将这五张卡片背面朝上,洗匀放好,从中随机抽取一张(不放回),再从中随机抽取一张.请用列表或画状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为W(5G基站建设)和R(人工智能)的概率.
20.(8分)阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记,请仔细阅读,并完成相应的任务.
×年×月×日星期日
没有直角尺也能作出直角
今天,我在书店一本书上看到下面材料:木工师傅有一块如图①所示的四边形木板,他已经在木板上画出一条裁割线AB,现根据木板的情况,要过AB上的一点C,作出AB 的垂线,用锯子进行裁割,然而手头没有直角尺,怎么办呢?
办法一:如图①,可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30cm,然后分别以D,C 为圆心,以50cm与40cm为半径画圆弧,两弧相交于点E,作直线CE,则∠DCE必为
90°.
办法二:如图②,可以取一根笔直的木棒,用铅笔在木棒上点出M,N两点,然后把木棒斜放在木板上,使点M与点C重合,用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q,保持点N不动,将木棒绕点N旋转,使点M落在AB上,在木板上将点M对应的位置标记为点R.然后将RQ延长,在延长线上截取线段QS=MN,得到点S,作直线SC,
则∠RCS=90°.
我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢?我还有什么办法不用直角尺也
能作出垂线呢?……
任务:
(1)填空:“办法一”依据的一个数学定理是;
(2)根据“办法二”的操作过程,证明∠RCS=90°;
(3)①尺规作图:请在图③的木板上,过点C作出AB的垂线(在木板上保留作图痕迹,不写作法);
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实(写出一个即可).
21.(10分)图①是某车站的一组智能通道闸机,当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份,识别成功后,两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内,这时行人即可通过.图②是两圆弧翼展开时的截面图,扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”,两圆弧翼成轴对称,BC和EF均垂直于地面,扇形的圆心角∠ABC=∠DEF=28°,半径BA=ED=60cm,点A与点D在同一水平线上,且它们之间的距离为10cm.
(1)求闸机通道的宽度,即BC与EF之间的距离(参考数据:sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53);
(2)经实践调查,一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍,180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟,求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数.
22.(12分)综合与实践
问题情境:
如图①,点E为正方形ABCD内一点,∠AEB=90°,将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°,得到△CBE′(点A的对应点为点C).延长AE交CE′于点F,连接DE.
猜想证明:
(1)试判断四边形BE'FE的形状,并说明理由;
(2)如图②,若DA=DE,请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明;
解决问题:
(3)如图①,若AB=15,CF=3,请直接写出DE的长.
23.(13分)综合与探究
如图,抛物线y=1
4x
2﹣x﹣3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点
C.直线l与抛物线交于A,D两点,与y轴交于点E,点D的坐标为(4,﹣3).(1)请直接写出A,B两点的坐标及直线l的函数表达式;
(2)若点P是抛物线上的点,点P的横坐标为m(m≥0),过点P作PM⊥x轴,垂足为M.PM与直线l交于点N,当点N是线段PM的三等分点时,求点P的坐标;(3)若点Q是y轴上的点,且∠ADQ=45°,求点Q的坐标.
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1.(3分)计算(﹣6)÷(−1
3)的结果是()
A.﹣18B.2C.18D.﹣2
【解答】解:(﹣6)÷(−1
3)=(﹣6)×(﹣3)=18.
故选:C.
2.(3分)自新冠肺炎疫情发生以来,全国人民共同抗疫,各地积极普及科学防控知识,下面是科学防控知识的图片,图片上有图案和文字说明,其中的图案是轴对称图形的是()
A.B.
C.D.
【解答】解:A、不是轴对称图形;
B、不是轴对称图形;
C、不是轴对称图形;
D、是轴对称图形.
故选:D.
3.(3分)下列运算正确的是()
A.3a+2a=5a2B.﹣8a2÷4a=2a
C.(﹣2a2)3=﹣8a6D.4a3•3a2=12a6
【解答】解:A、3a+2a=5a,故此选项错误;
B、﹣8a2÷4a=﹣2a,故此选项错误;
C、(﹣2a2)3=﹣8a6,正确;
D、4a3•3a2=12a5,故此选项错误;
故选:C.
4.(3分)下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的,其中主视图与左视图相同的几何体是()
A.B.
C.D.
【解答】解:A.主视图的底层是两个小正方形,上层右边是一个小正方形;左视图底层是两个小正方形,上层左边是一个小正方形,故本选项不合题意;
B.主视图和左视图均为底层是两个小正方形,上层左边是一个小正方形,故本选项符合题意;
C.主视图底层是三个小正方形,上层中间是一个小正方形;左视图是一列两个小正方形,故本选项不合题意;
D.主视图底层是三个小正方形,上层右边是一个小正方形;左视图是一列两个小正方形,故本选项不合题意;
故选:B.
5.(3分)泰勒斯是古希腊时期的思想家,科学家,哲学家,他最早提出了命题的证明.泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长,标杆的高度,金字塔的影长,推算出金字塔的高度,这种测量原理,就是我们所学的()
A.图形的平移B.图形的旋转
C.图形的轴对称D.图形的相似
【解答】解:泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长,标杆的高度,金字塔的影长,推
算出金字塔的高度,这种测量原理,就是我们所学的图形的相似, 故选:D .
6.(3分)不等式组{2x −6>0,
4−x <−1的解集是( )
A .x >5
B .3<x <5
C .x <5
D .x >﹣5
【解答】解:{2x −6>0,
4−x <−1
解不等式2x ﹣6>0,得:x >3, 解不等式4﹣x <﹣1,得:x >5, 则不等式组的解集为x >5. 故选:A .
7.(3分)已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)都在反比例函数y =k
x (k <0)的图象上,且x 1<x 2<0<x 3,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( ) A .y 2>y 1>y 3
B .y 3>y 2>y 1
C .y 1>y 2>y 3
D .y 3>y 1>y 2
【解答】解:∵反比例函数y =k
x (k <0)的图象分布在第二、四象限, 在每一象限y 随x 的增大而增大, 而x 1<x 2<0<x 3, ∴y 3<0<y 1<y 2. 即y 2>y 1>y 3. 故选:A .
8.(3分)中国美食讲究色香味美,优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花.图①中的摆盘,其形状是扇形的一部分,图②是其几何示意图(阴影部分为摆盘),通过测量得到AC =BD =12cm ,C ,D 两点之间的距离为4cm ,圆心角为60°,则图中摆盘的面积是( )
A .80πcm 2
B .40πcm 2
C .24πcm 2
D .2πcm 2
【解答】解:如图,连接CD .
∵OC =OD ,∠O =60°, ∴△COD 是等边三角形, ∴OC =OD =CD =4cm ,
∴S 阴=S 扇形OAB ﹣S 扇形OCD =60⋅π⋅162
360−60⋅π⋅42
360
=40π(cm 2),
故选:B .
9.(3分)竖直上抛物体离地面的高度h (m )与运动时间t (s )之间的关系可以近似地用公式h =﹣5t 2+v 0t +h 0表示,其中h 0(m )是物体抛出时离地面的高度,v 0(m /s )是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5m 的高处以20m /s 的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为( ) A .23.5m
B .22.5m
C .21.5m
D .20.5m
【解答】解:由题意可得,
h =﹣5t 2+20t +1.5=﹣5(t ﹣2)2+21.5, 故当t =2时,h 取得最大值,此时h =21.5, 故选:C .
10.(3分)如图是一张矩形纸板,顺次连接各边中点得到菱形,再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形.将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上,则飞镖落在阴影区域的概率是( )
A .1
3
B .1
4
C .1
6
D .1
8
【解答】解:由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的14
, ∴飞镖落在阴影区域的概率是1
4,
故选:B .
二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)
11.(3分)计算:(√3+√2)2−√24= 5 . 【解答】解:原式=3+2√6+2﹣2√6 =5. 故答案为5.
12.(3分)如图是一组有规律的图案,它们是由边长相等的正三角形组合而成,第1个图案有4个三角形,第2个图案有7个三角形,第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去,第n 个图案有 (3n +1) 个三角形(用含n 的代数式表示).
【解答】解:第1个图案有4个三角形,即4=3×1+1 第2个图案有7个三角形,即7=3×2+1 第3个图案有10个三角形,即10=3×3+1 …
按此规律摆下去,
第n 个图案有(3n +1)个三角形. 故答案为:(3n +1).
13.(3分)某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会,组织了6次预选赛,其中甲,乙两名运动员较为突出,他们在6次预选赛中的成绩(单位:秒)如下表所示:
甲 12.0 12.0 12.2 11.8 12.1 11.9 乙
12.3
12.1
11.8
12.0
11.7
12.1
由于甲,乙两名运动员的成绩的平均数相同,学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔,那么被选中的运动员是 甲 .
【解答】解:甲的平均成绩为:1
6(12.0+12.0+12.2+11.8+12.1+11.9)=12秒,
乙的平均成绩为:1
6
(12.3+12.1+11.8+12.0+11.7+12.1)=12秒;
分别计算甲、乙两人的百米赛跑成绩的方差为:
S 甲2=16[(12.2﹣12)2+(11.8﹣12)2+(12.1﹣12)2+(11.9﹣12)2]=1
60, S 乙2=1
6[(12.3﹣12)2+2(12.1﹣12)2+(11.8﹣12)2+(11.7﹣12)2]=1
25,

160

1
25

∴甲运动员的成绩更为稳定; 故答案为:甲.
14.(3分)如图是一张长12cm ,宽10cm 的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24cm 2的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为 2 cm .
【解答】解:设底面长为acm ,宽为bcm ,正方形的边长为xcm ,根据题意得: {2(x +b)=12a +2x =10ab =24
, 解得a =10﹣2x ,b =6﹣x , 代入ab =24中,得: (10﹣2x )(6﹣x )=24, 整理得:x 2﹣11x +18=0, 解得x =2或x =9(舍去), 答;剪去的正方形的边长为2cm . 故答案为:2.
15.(3分)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =3,BC =4,CD ⊥AB ,垂足为D ,E 为BC 的中点,AE 与CD 交于点F ,则DF 的长为
5485

【解答】解:如图,过点F 作FH ⊥AC 于H .
在Rt △ABC 中,∵∠ACB =90°,AC =3,BC =4, ∴AB =√CB 2+AC 2=√42+32=5, ∵CD ⊥AB ,
∴S △ABC =1
2•AC •BC =1
2•AB •CD , ∴CD =
125,AD =√AC 2−CD 2=√32−(125)2=95, ∵FH ∥EC , ∴
FH EC
=
AH AC

∵EC =EB =2, ∴
FH AH
=2
3
,设FH =2k ,AH =3k ,CH =3﹣3k ,
∵tan ∠FCH =
FH CH =AD
AD
, ∴2k 3−3k
=
95
125
, ∴k =9
17,
∴FH =18
17,CH =3−27
17=24
17, ∴CF =√CH 2+FH 2=√(1817)2+(2417)2=30
17
, ∴DF =
125−3017=5485, 故答案为5485

三、解答题(本大题共8个小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(10分)(1)计算:(﹣4)2×(−1
2)3﹣(﹣4+1).
(2)下面是小彬同学进行分式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务.
x 2−9x 2+6x+9

2x+12x+6
=(x+3)(x−3)
(x+3)2−2x+1
2(x+3)
⋯第一步
=x−3 x+3−2x+1
2(x+3)
⋯第二步
=2(x−3) 2(x+3)−2x+1
2(x+3)
⋯第三步
=2x−6−(2x+1)
2(x+3)
⋯第四步
=2x−6−2x+1
2(x+3)
⋯第五步
=−5
2x+6
⋯第六步
任务一:填空:
①以上化简步骤中,第三步是进行分式的通分,通分的依据是分式的基本性质.或填为:分式的分子分母都乘(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变;
②第五步开始出现错误,这一步错误的原因是括号前面是“﹣”,去掉括号后,括号里面的第二项没有变号;
任务二:请直接写出该分式化简后的正确结果;
任务三:除纠正上述错误外,请你根据平时的学习经验,就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.
【解答】解:(1)(﹣4)2×(−1
2)
3﹣(﹣4+1)
=16×(−1
8)+3
=﹣2+3
=1;
(2)①以上化简步骤中,第三步是进行分式的通分,通分的依据是分式的基本性质.或填为:分式的分子分母都乘(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变;
②第五步开始出现错误,这一步错误的原因是括号前面是“﹣”,去掉括号后,括号里面的第二项没有变号;
任务二:x2−9
x2+6x+9−
2x+1 2x+6
=(x+3)(x−3)
(x+3)2−2x+1
2(x+3)
⋯第一步
=x−3 x+3−2x+1
2(x+3)
⋯第二步
=2(x−3) 2(x+3)−2x+1
2(x+3)
⋯第三步
=2x−6−(2x+1)
⋯第四步
2(x+3)
⋯第五步
=2x−6−2x−1
2(x+3)
⋯第六步;
=−7
2x+6
任务三:答案不唯一,如:分式的混合运算,一般按常规运算顺序,但有时应先根据题目的特点,运用乘法的运算律运算,会简化运算过程.
故答案为:三;分式的基本性质;分式的分子分母都乘(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变;五;括号前面是“﹣”,去掉括号后,括号里面的第二项没有变号.17.(6分)2020年5月份,省城太原开展了“活力太原•乐购晋阳”消费暖心活动,本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元(每次只能使用一张).某品牌电饭煲按进价提高50%后标价,若按标价的八折销售,某顾客购买该电饭煲时,使用一张家电消费券后,又付现金568元.求该电饭煲的进价.
【解答】解:设该电饭煲的进价为x元,则标价为(1+50%)x元,售价为80%×(1+50%)x元,
根据题意,得80%×(1+50%)x﹣128=568,
解得x=580.
答:该电饭煲的进价为580元.
18.(7分)如图,四边形OABC是平行四边形,以点O为圆心,OC为半径的⊙O与AB相切于点B,与AO相交于点D,AO的延长线交⊙O于点E,连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数.
【解答】解:连接OB,如图,
∵⊙O与AB相切于点B,
∴OB⊥AB,
∵四边形ABCO为平行四边形,∴AB∥OC,OA∥BC,
∴OB⊥OC,
∴∠BOC=90°,
∵OB=OC,
∴△OCB为等腰直角三角形,∴∠C=∠OBC=45°,
∵AO∥BC,
∴∠AOB=∠OBC=45°,
∴∠E=1
2∠AOB=22.5°.
19.(9分)2020年国家提出并部署了“新基建”项目,主要包含“特高压,城际高速铁路和城市轨道交通,5G基站建设,工业互联网,大数据中心,人工智能,新能源汽车充电桩”等.《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域(5G基站建设,工业互联网,大数据中心,人工智能,新能源汽车充电桩)总体的人才与就业机会.如图是其中的一个统计图.
请根据图中信息,解答下列问题:
(1)填空:图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是300亿元;(2)甲,乙两位待业人员,仅根据上面统计图中的数据,从五大细分领域中分别选择了“5G基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向.请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么;
(3)小勇对“新基建”很感兴趣,他收集到了五大细分领域的图标,依次制成编号为W,G,D,R,X的五张卡片(除编号和内容外,其余完全相同),将这五张卡片背面朝上,洗匀放好,从中随机抽取一张(不放回),再从中随机抽取一张.请用列表或画状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为W(5G基站建设)和R(人工智能)的概率.
【解答】解:(1)2020年“新基建”七大领域预计投资规模按照从小到大排列为100、160、200、300、300、500、640,
∴图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是300亿元,
故答案为:300;
(2)甲更关注在线职位的增长率,在“新基建”五大细分领域中,2020年一季度“5G
基站建设”在线职位与2019年同期相比增长率最高;
乙更关注预计投资规模,在“新基建”五大细分领域中,“人工智能”在2020年预计投资规模最大;
(3)列表如下:
W G D R X W(G,W)(D,W)(R,W)(X,W)G(W,G)(D,G)(R,G)(X,G)D(W,D)(G,D)(R,D)(X,D)R(W,R)(G,R)(D,R)(X,R)X(W,X)(G,X)(D,X)(R,X)
由表可知,共有20种等可能结果,其中抽到“W”和“R”的结果有2种,
∴抽到的两张卡片恰好是编号为W(5G基站建设)和R(人工智能)的概率2
20=
1
10

20.(8分)阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记,请仔细阅读,并完成相应的任务.
×年×月×日星期日
没有直角尺也能作出直角
今天,我在书店一本书上看到下面材料:木工师傅有一块如图①所示的四边形木板,他已经在木板上画出一条裁割线AB,现根据木板的情况,要过AB上的一点C,作出AB 的垂线,用锯子进行裁割,然而手头没有直角尺,怎么办呢?
办法一:如图①,可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30cm,然后分别以D,C 为圆心,以50cm与40cm为半径画圆弧,两弧相交于点E,作直线CE,则∠DCE必为
90°.
办法二:如图②,可以取一根笔直的木棒,用铅笔在木棒上点出M,N两点,然后把木
棒斜放在木板上,使点M与点C重合,用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q,保持点N不动,将木棒绕点N旋转,使点M落在AB上,在木板上将点M对应的位置标记为点R.然后将RQ延长,在延长线上截取线段QS=MN,得到点S,作直线SC,
则∠RCS=90°.
我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢?我还有什么办法不用直角尺也
能作出垂线呢?……
任务:
(1)填空:“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理;
(2)根据“办法二”的操作过程,证明∠RCS=90°;
(3)①尺规作图:请在图③的木板上,过点C作出AB的垂线(在木板上保留作图痕迹,不写作法);
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实(写出一个即可).
【解答】解:(1)∵CD=30,DE=50,CE=40,
∴CD2+CE2=302+402=502=DE2,
∴∠DCE=90°,
故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理;
故答案为:勾股定理的逆定理;
(2)由作图方法可知,QP=QC,QS=QC,
∴∠QCR=∠QRC,∠QCS=∠QSC,
∵∠SRC+∠RCS+∠QRC+∠QSC=180°,
∴2(∠QCR+∠QCS)=180°,
∴∠QCR+∠QCS=90°,
即∠RCS=90°;
(3)①如图③所示,直线PC即为所求;
②答案不唯一,到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
21.(10分)图①是某车站的一组智能通道闸机,当行人通过时智能闸机会自动识别行人身
份,识别成功后,两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内,这时行人即可通过.图②是两圆弧翼展开时的截面图,扇形ABC 和DEF 是闸机的“圆弧翼”,两圆弧翼成轴对称,BC 和EF 均垂直于地面,扇形的圆心角∠ABC =∠DEF =28°,半径BA =ED =60cm ,点A 与点D 在同一水平线上,且它们之间的距离为10cm .
(1)求闸机通道的宽度,即BC 与EF 之间的距离(参考数据:sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53);
(2)经实践调查,一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍,180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟,求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数.
【解答】解:(1)连接AD ,并向两方延长,分别交BC ,EF 于M ,N ,
由点A ,D 在同一条水平线上,BC ,EF 均垂直于地面可知,MN ⊥BC ,MN ⊥EF , 所以MN 的长度就是BC 与EF 之间的距离,
同时,由两圆弧翼成轴对称可得,AM =DN ,
在Rt △ABM 中,∠AMB =90°,∠ABM =28°,AB =60cm ,
∵sin ∠ABM =AM AB ,
∴AM =AB •sin ∠ABM =60•sin28°≈60×0.47=28.2,
∴MN =AM +DN +AD =2AM +AD =28.2×2+10=66.4,
∴BC 与EF 之间的距离为66.4cm ;
(2)设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x 人,
根据题意得,180x −3=1802x ,
解得:x =30,
经检验,x=30是原方程的根,
当x=30时,2x=60,
答:一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人.
22.(12分)综合与实践
问题情境:
如图①,点E为正方形ABCD内一点,∠AEB=90°,将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°,得到△CBE′(点A的对应点为点C).延长AE交CE′于点F,连接DE.猜想证明:
(1)试判断四边形BE'FE的形状,并说明理由;
(2)如图②,若DA=DE,请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明;
解决问题:
(3)如图①,若AB=15,CF=3,请直接写出DE的长.
【解答】解:(1)四边形BE'FE是正方形,
理由如下:
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°,
∴∠AEB=∠CE'B=90°,BE=BE',∠EBE'=90°,
又∵∠BEF=90°,
∴四边形BE'FE是矩形,
又∵BE=BE',
∴四边形BE'FE是正方形;
(2)CF=E'F;
理由如下:如图②,过点D作DH⊥AE于H,
∵DA=DE,DH⊥AE,
∴AH=1
2AE,DH⊥AE,
∴∠ADH+∠DAH=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠DAB=90°,
∴∠DAH+∠EAB=90°,
∴∠ADH=∠EAB,
又∵AD=AB,∠AHD=∠AEB=90°,∴△ADH≌△BAE(AAS),
∴AH=BE=1
2AE,
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°,∴AE=CE',
∵四边形BE'FE是正方形,
∴BE=E'F,
∴E'F=1
2CE',
∴CF=E'F;
(3)如图①,过点D作DH⊥AE于H,
∵四边形BE'FE是正方形,
∴BE'=E'F=BE,
∵AB=BC=15,CF=3,BC2=E'B2+E'C2,
∴225=E'B2+(E'B+3)2,
∴E'B=9=BE,
∴CE'=CF+E'F=12,
由(2)可知:BE=AH=9,DH=AE=CE'=12,∴HE=3,
∴DE=√DH2+HE2=√144+9=3√17.23.(13分)综合与探究
如图,抛物线y=1
4x
2﹣x﹣3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点
C.直线l与抛物线交于A,D两点,与y轴交于点E,点D的坐标为(4,﹣3).(1)请直接写出A,B两点的坐标及直线l的函数表达式;
(2)若点P是抛物线上的点,点P的横坐标为m(m≥0),过点P作PM⊥x轴,垂足为M.PM与直线l交于点N,当点N是线段PM的三等分点时,求点P的坐标;(3)若点Q是y轴上的点,且∠ADQ=45°,求点Q的坐标.
【解答】解:(1)令y =0,得y =14x 2﹣x ﹣3=0,
解得,x =﹣2,或x =6,
∴A (﹣2,0),B (6,0),
设直线l 的解析式为y =kx +b (k ≠0),则
{−2k +b =04k +b =−3,
解得,{k =−12b =−1
, ∴直线l 的解析式为y =−12x −1;
(2)如图1,根据题意可知,点P 与点N 的坐标分别为 P (m ,14m 2﹣m ﹣3),N (m ,−12m ﹣1),
∴PM =−14m 2+m +3,MN =12m +1,NP =−14m 2+12m +2, 分两种情况:
①当PM =3MN 时,得−14m 2+m +3=3(12m +1),
解得,m =0,或m =﹣2(舍),
∴P (0,﹣3);
②当PM =3NP 时,得−14m 2+m +3=3(−14m 2+12m +2), 解得,m =3,或m =﹣2(舍),
∴P (3,−154);
∴当点N 是线段PM 的三等分点时,点P 的坐标为(3,−154)或(0,﹣
3);
(3)∵直线l :y =−12
x −1与y 轴于点E ,
∴点E 的坐标为(0,﹣1),
分再种情况:①如图2,当点Q 在y 轴的正半轴上时,记为点Q 1,
过Q 1作Q 1H ⊥AD 于点H ,则∠Q 1HE =∠AOE =90°, ∵∠Q 1EH =∠AEO ,
∴△Q 1EH ∽△AEO ,
∴Q 1H AO =EH EO ,即Q 1H 2=EH 1
∴Q 1H =2HE ,
∵∠Q 1DH =45°,∠Q 1HD =90°,
∴Q 1H =DH ,
∴DH =2EH ,
∴HE =ED ,
连接CD ,
∵C (0,﹣3),D (4,﹣3),
∴CD ⊥y 轴,
∴ED =√CE 2+CD 2=√22+42=2√5,
∴HE =ED =2√5,Q 1H =2EH =4√5,
∴Q 1E =√Q 1H 2+EH 2=10,
∴Q 1O =Q 1E ﹣OE =9,
∴Q 1(0,9);
②如图3,当点Q 在y 轴的负半轴上时,记为点Q 2,过Q 2作Q 2G ⊥AD 于G ,则∠Q 2GE
=∠AOE =90°,
∵∠Q 2EG =∠AEO ,
∴△Q 2GE ∽△AOE ,
∴Q 2G AO =EG OE ,即Q 2G 2=EG 1,
∴Q 2G =2EG ,
∵∠Q 2DG =45°,∠Q 2GD =90°, ∴∠DQ 2G =∠Q 2DG =45°, ∴DG =Q 2G =2EG ,
∴ED =EG +DG =3EG ,
由①可知,ED =2√5,
∴3EG =2√5,
∴EG =2√53
, ∴Q 2G =4√53,
∴EQ 2=√EG 2+Q 2G 2=103, ∴OQ 2=OE +EQ 2=
133, ∴Q 2(0,−133),
综上,点Q 的坐标为(0,9)或(0,−133).。

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