线性方程组的解的结构

A m n x 0 与 (A T A )n n x 0 同解 若 x 满 A 0 , 则 A x 足 T ( A ) 0 , 即 ( x A T A ) x 0 若 x 满 ( A T A ) x 足 0 ,则 x T ( A T A ) x 0 , 即
(A)T x (A) x 0 A x 0
2x2
x3
2x4
0
x1 11x2 2x3 x4 0
x1－x2 5 x3 x4 0
x1 3 x1
x2 2x3 3x4 x2 8x3 x4
0 0
x1 3 x2 9 x3 7 x4 0
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例3 重要结论 证明 r(A )r(A TA )r(AT)A
证 设 Amn, 首先证明
又形如(3)的向量( k i 任取)都是(1)的解. 由此得: 注：非齐次方程组的解集不是空间。
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定理4.3.1
设 是(1)的任一解, 则(1)的通解为
x k 1 1 k 2 2 k n r n r ( k i R )
例4
xx11xx22xx333xx440,1,
因 n r ( A ) 此 n r ( A T A ) r ( A ) r ( A T A ) 利用这一结论 r ( A T ) A r (A T ( ) T A T ) r ( A T ) r ( A )
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第四章 线性方程组的解的结构
§4.1 线性方程组解的存在性定理 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用
线性方程组的解的结构
在前面的章节学习中，我们已经研究了线性方程 组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深 入研究解的性质和解的结构。
-2-
§4.1 线性方程组解的存在性定理
1、非齐次方程组解的存在性定理 2、齐次方程组解的存在性定理
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a11x1a12x2 a1nxn b1 a2 1x 1a 22 x2 a2nxn b2 am1x1am2x2 amnxn bm
(原始形式) (4-3)
Ax0
A
a11
a1n
am1 amn
x1
x
x n
(矩阵形式)
0
b
0
x 1 1 x 22 x n n 0 (向量形式)
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齐次方程组解的存在性定理
定理4.1.3 对于齐次方程组 Amnx0
(1) 只有 零 r(A 解 )n
A的列向量组线性无关 (2) 有非零解即有无 限r(多 A)解n
齐次方程组 A x0(假设有无穷多解)
(1) 解集的特点 (2) 解集的秩是多少 (3) 解集的最大无关组(又称为基础解系)
如何求 称： 若x1c1,,xncn是方程组的解，
则称 X(c1,,cn)T为方程组的 . 解向量
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性质 首先回答问题(1)
性质1：若 1 , 2 是(4-3)的解，则 12也(4 是 3)的解
也是(4-3)的解。
下面我们用一个例子回答第(2)和第(3)个问题， 同时也是定理4.2.1的例证。
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例1 通过下面的例子, 针对一般的方程组 A m n x 0 ,rA ) ( r
回答所提问题.
x1 2x2
x4 3x5 0
x1 2x2 x3 3x4 8x5 0 2x1 4x2 2x4 6x5 0
x1x22x33x412.
解
A ~11
1 1
1 1
1 3
0 1 1 0 1 12 1 0 0 1 2 12,
1 1 2 3 12 0 0 0 0 0
可r(见 A )r(A ~)24,故方程组有无穷多
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xx13x22xx441122
取 即得x 2 方程x 4 组 的0 ,一则个x1解x312,(1 2,0,1 2,0)T
有 r ( A ) r ( 解 A ) 无 r ( A ) r ( 解 A )
向量 b 可由A的列向量组 1,2, ,n
线性表示。
1)有唯 一 r(A )解 r(A )n
2)有无穷 r多 (A)解 r(A)n
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定理4.1.2 Cramer法则
设 nn的线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a2 1x1 a22x2 a2nxn b2 an1x1 an2x2 annxn bn
(2) 设 是(1)的解, 是(2)的解,则 x仍是(1)的解.
(3) 设 是(1)的一个解(固定), 则对(1)的任一解 x
x 是 (2)的解,从而存在 k i 使得
x k 1 1 k 2 2 k n r n r
x k 1 1 k 2 2 k n r n r ( 3 )
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基础解系 设 1,2, , nr是 AX0的解，满足
（ 1 ） 1, 2, , n r线性无关；
（ 2） AX0的任一解都可以由 1,2,
,
线性
nr
表示,则称 1,2, , nr 是AX0的一个基础解系。
从而 x k 1 1 k 2 2 k tt( k i 取任意实数)
有惟一解，
(2) 如果 AX0只有零解，则 非齐次线性方程组 AX 有惟一解吗？
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第四章 线性方程组的解的结构
§4.1 线性方程组解的存在性定理 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用
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§4.2 齐次线性方程组解的结构
k 1 k 2 k m 1
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例6 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,
已知 1,2,3 是它的三个解向量, 且
2
1
1
3 4
, 2
3
2 3
求该方程组的通解. 5
4
解 基础解系所含向量个数 = 4 – 3 = 1
取 2 1 (2 3 ) ( 3 ,4 ,5 ,6 ) T , 则它就是解,从而也是基
xx13 42xx425xx543x5
自由变量的个数=
第三步:令自由变量为任意实数 x 2 k 1 ,x 4 k 2 ,x 5 k 3 写出通解，再改写成向量形式
x1 2k1 k2 3k3
x x
2 3
k1 4k2 5k3
x
4
k2
x 5
k3
2
1
3
1
0
0
x
3 5
x1 3 x2 9 x3 7 x 4 5
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例5 设1,2, ,m是非齐次方程组 Ax=b 的解, 则
※ k 1 1 k 2 2 k m m 是 Ax=0 的解
k 1 k 2 k m 0
※ k 1 1 k 2 2 k m m 是 Ax=b 的解
则齐次线性方程组 AX0的任意 nr个线性无关
的解向量均可构成基础解系。
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推论3 重要结论 设 A m nB nlO,证明 r(A )r(B )n
证 记 B [1 ,2 , ,l]则由
A O B A i 0 ( i 1 , ,l )
说明 i(i1, ,l) 都是 A x0的解
因此 r [ 1 ,2 , ,l ] r ( N ( A ) n ) r ( A )
移项 r(A )r(B )n
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例2 设 r(A m n )n 1, 1,2 是 A x0的
两个不同的解向量, k 取任意实数, 则 Ax = 0 的通解是 ( k 1 A ( k 2 B ( ) k ( C 1 ) 2 ) ( k ( ) D 1 2 )
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练习
1、 设 R (A 65)2,1,2,3是 A X O 的三个解
2
1
3
1
0
0
x
k1
0 0
k2
4 1
k3
-5 0
0
0
1
1
2
3
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定理4.2.1 设 A 是 mn矩阵，如果 r(A)rn, 则齐次线性方程组 AX0 的基础解系存在，
且每个基础解系中含有 nr 个解向量。
推论2 设 A 是 mn矩阵，如果 r(A)rn,
§4.3 非齐次线性方程组解的结构
以下总假设
A m n x b (1 )
有解, 而其对应的齐次方程组
的基础解系为
A m n x 0 (2 )
1,2, ,n r
这里 rr(A)
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A m n xb...(1 .).. A m n x0...(2 .)..
性质
(1) 设 1,2 都是(1)的解,则 x12是(2)的解.
A的列向量组线性相关 推论1 当方程的个数m小于未知量的个数n，则(4-3)
一定有非零解.
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定理4.1.4
设 nn的线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn 0 a2 1x1 a22x2 a2nxn 0 an1x1 an2x2 annxn 0
有非零解 D0
(4-4)
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例：设A是mn矩阵， (1) 如果非齐次线性方程组 AX 则 AX0 只有零解？
(原始形式) (4-1)
A xb
(矩阵形式)
A
a11
a1n
am1 amn
x1
x
x n
b1
b
b m
x 1 1 x 2 2 x n n b(向量形式)
x1
Axb(1,2,,n)
x2
b
xn
-4-
一、非齐次方程组解的存在性定理 定理4.1.1
对于非齐次方程组 A m n x b (b 0 )(4-1)
性质2：若 1 是 (43)的解 k R ,， 则 k1也(是 43)的解
解空间: AX0 的所有解向量的集合S，对加法和数乘 都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次 线性方程组的解空间。 S{X|A X0,X R n} 推论1
而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。
注：如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。 如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。
x1 k1 k2 1 2
x x
2 3
k1
2k2
1
2
x 4 k 2
x1 1 1 1 2
x2 x3 x4
k1
1 00
k2
0 12
0 102
得齐次方程组的基础解系 1
1
1
1 0
,
2
0 2
,
于是所有通解
0

x1 1 1 12
xxx432k1100k21021002,(k1,k2R).
x1 2x2 x3 5x4 2x5 0
第一步:对系数矩阵 A 初等行变换化行最简形 B
1 2 0 1 3 1 2 0 1 3 A1 2 1 3 8 r0 0 1 4 5B
2 4 0 2 6 0 0 0 0 0 1 2 1 5 2 0 0 0 0 0
从行最简形能得到什么？
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第二步：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程 的左边,其余的都移到右边. 右边的又叫自由变量)
(4-2)
的系数行列式 a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
0
an1 an2 ann
则方程组有唯一解,且解为:
xj
Dj, D
j1,2, ,n
-6-
二、齐次方程组解的存在性定理
a11x1 a12x2 a1nxn 0 a2 1x 1 a 22x2 a2nxn 0 am1x1 am2x2 amnxn 0
k1
0 0
k2
4 1
k
3
-5 0
0
0
1
1
2
3 -16-
1,2,3 是解吗?
1,2,3 线性无关吗?
任一解都 可由 1,2,3表示吗? 1,2,3 是基础解系吗?
基础解系所含向量的个数 =
第四步:写出基础解系
1 ( 2 , 1 , 0 , 0 , 0 ) T , 2 ( 1 , 0 , 4 , 1 , 0 ) T , 3 ( 3 , 0 , 5 , 0 , 1 ) T
且线性无关，则_(_2_)_,(_3_)_是AX=O的基础解系。
(1 )1 2 ,2 3 ;
(2)1,2,3;
( 3 )1 2 ,2 3 ,3 1 ;( 4 )1 2 ,2 3 ,3 1 .
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练习
2、求下列线性方程组的基础解系与通解.
x1 3x2 x3 x4 0
2 x1
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练习
求下列线性方程组的通解.
x1 x2 x3 x4 x5 7
3 x1
2x2
x3
x4
3x5
2
x2 2x3 2x4 6x5 23
5x1 4x2 3x3 3x4 x5 12
x1 x2 5 x3 x4 1
x1 x2 2 x3 3 x4 3 x1 x2 8 x3 x4
础解系.
故非齐次方程组的通解为 x k1 (k R )
自学书P.144-145 例2、3、5。
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小结： 作业： P142 1