7.2.2单位圆中的三角函数线课件

tan y AT
x
yT P
O MA x
正切线
问题2：若角α为第四象限角，其终边与单位 圆的交点为P（x，y），则 tan y 是负数， 此时用哪条有向线段表示角α的正切x 值最合
适？
y
tan y AT
x
MA
O
x
P T
思考：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交 点为P（x，y），则 tan y 是负数，此时用哪条 有向线段表示角α的正切值最x 合适？
y
tan y AT T P
x
A
AMO
x
T
思考：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点 为P（x，y），则 tan y 是正数，此时用哪条有向 线段表示角α的正切值最合x 适？
tan y AT
x
y T
AM O Ax
P
T
思考：根据上述分析，你能描述正的长度，如果方向与轴方向
相同取正，反之取负。
y P(-2,3) N
A
B
Mo x
6. 从定义看出：角α 的三角函数是两个变 量的比值。为了简单地计算其正余弦、正 切我们可以使分母为1。
当r=1时，即p点到原点的距离为1。所有满足条件 的点构成什么图形？
课前预习 单位圆 半径为1的圆
B(0,1) y
的交点为P（x，y），则 cos x，sin y都是正数，
你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？
| MP | y sin
y
P（x，y）
| OM | x cos
OM x
正弦线和余弦线 问题2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点
为P（x，y），则 sin y ，cos x 都是负数，
tan( 2k ) tan( k Z).其数学意义如何？
终边相同的角的同名三角函数值相等.
4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征. 我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找 出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一.
5.数轴上向量的数量（坐标）是如何规定的？
数轴上的向量 的坐标是一个实数，这个实
7.2.2单位圆与三角函数线
y
T
o Ax
复习引入
1.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，
y），角α的三角函数是怎样定义的？
sin y
cos x
tan y (x 0)
x
2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？
一全正，二正弦，三正切，四余弦.
3.公式 sin( 2k ) sin ，cos( 2k ) cos，
y P
α O M A（1，0）x
变式：当 R时比较 sin cos 与 1 的关系。
sin cos 1
：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明 sinα＋cosα>1吗？
y
P
OM
思考
MP＋OM>OP=1
x
正切线 问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单 位圆的交点为P（x，y），则 tan y 是正数，用 哪条有向线段表示角α的正切值最合x适？
uuur
uuuur
uuur
的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
3
练习1.分别作出
3
4
、 2
3
的正弦线、余弦
线、正切线。
例2.比较大小： (1) sin1和sin1.5; (3) tan2和tan3.
(2) cos1和cos1.5;
解：由三角函数线得
sin1<sin1.5
cos1>cos1.5
规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段. 由co上sα分可析分可别知用，有当向角线α段为M第P、一O、M表三示象，限即角M时P=，ssiinnαα，、 OM=cosα，那么当角α为第二、四象限角时，你能检验
这个表示正确吗？
y
y
P（x，y）
MO x
M
O
x
P（x，y）
思轴考的：垂设线，角垂α足的为终边M，与称单有位向圆线的段交M点P，为OPM，分过别点为P角作αx 的正弦线和余弦线.当角α的终边在坐标轴上时，角 α的正弦线和余弦线的含义如何？
O
Ax
y P
A
O
x
T
过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α的终边或其反 向延长线相交于点T，则AT=tanα.
思考：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线 的含义如何？
y P P
Ox
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当 角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.
典型例题
例1：作出 2 的正弦线、余弦线和正切线。
P(cos,sin) N1

x
A'(-1,0) O M A(1,0)
叫单位圆。
B'(0,-1)
设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与
x轴的交点分别为A(1，0)，A’(－1，0).
而与y轴的交点分别为B(0，1)，B’(0，－1).
正弦线和余弦线
问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆
y
M Ox
P
y P
P Ox
思：利用三角函数线证明： 考
若 0 ,则sin cos 1
2
解：如图， 单位圆O与 角α的 终边交于点P，与x 轴的正半轴 交于点A，过P作PM垂直于x轴于 点M，则由三角函数的定义可知：
sinα=MP, cosα=OM, 由MP+OM>OP 知， sinα+cosα>1
此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？
y
| MP | y sin
| OM | x cos
M Ox
P（x，y）
为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定 一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性， 带有正负值符号.根据实际需要，我们规定线段从始 点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向.
3
y P
Mo
A(1,0) x
T
解：在直角坐标系中作单位圆。以ox轴方向为
始边作 2 的终边与单位圆交于P点，作
3
PM⊥ox轴，垂足为M，由单位圆与ox轴正方
向的交点A作ox轴的垂线与OP的反向延长线
交于T点，则
sin 2 MP,cos 2 OM , tan 2 AT.
3
3
3
即
2
tan2<tan3
例3. 已知sinx=0.5，求角x的大小.(0º<x<360º)
解：由在y轴上找 到y=0.5的点，做 x轴的平行线， 交单位圆于点P 和P’两点，由三 角函数线知
x1=30º, x2=150º. 变式：去掉 0º<x<360º的限制呢？