函数的单调性第1课时课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
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f '(x) cos x 1 0.
因此，函数f (x) sin x x在(0, ) 内单调递减.
y
π
O
x
-π
f ( x) sin x x
(2)
例1.利用导数判断下列函数的单调性:
y
(3) f (x) x 1. x
注意定义域
f (x) x 1 x
(3) f (x) x 1 1 1 , x (, 0) (0, ),
32 和导数的正负判断f (x)的单调性吗？
分析：
⑴利用单调性的定义
对于x1，x2
(
3
，
2
)，且x1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2，
f (x1) f (x2 )=(0.9x1 sin x1) (0.9x2 sin x2 ) 0.9(x1 x2 ) (sin x1 sin x2 )
可以发现，很难判断f (x) 单调性.
在x=x1处，f'(x1)<0，切线是“左上右下”的下 降式，函数f(x)的图象也是下降的，函数f(x)在x=x1 附近单调递减.
(x1, f(x1)) O
(x0, f(x0)) x
函数的单调性与导数的关系：
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f '(x)的正负之间具有如下的 关系:
在某个区间(a, b)上, 如果f ′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调 递增;
x1 x2
x1 x2
x1 x2
观察函数y= sin x ( x )的图象，平均变化率似乎小于0.9，
3
2
从而
f
x1
x1
f x2
x2
0，于是判断f
( x)在(
3
，
2
)内单调递增.
这一方法看似自然，心里却“没底”．
例3.设函数f (x)=0.9x sin x，x ( ， )．你能分别用函数单调性的定义
追问:能否从导数的几何意义的角度来探讨导数的正负与函数单调 性的关系？
如图所示，导数f '(x0)表示函数y=f (x)的图 象在点(x0, f (x0))处的切线的斜率，可以发现:
y
y f (x)
在x=x0处，f'(x0)>0，切线是“左下右上”的上 升式，函数f(x)的图象也是上升的，函数f(x)在x=x0 附近单调递增；
2.用导数判断函数单调性的步骤. (1)求函数的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x) 的单调增（或减）区间;
b
Oa
t
结论？
当t∈(0, a)时，h′(t)>0，函数h(t)在(0, a)内
单调递增；
当t∈(a, b)时，h‘(t)<0，函数h(t)在(a, b)内 O a b t
单调递减.
(1)
(2)
追问2：在高台跳水问题中，我们看到可以用函数导数的正负来判断函数的单 调性，这种做法是否具有一般性呢?
探究：观察下列函数图象，思考函数单调性与导数正负的关系.
5.3.1 函数的单调性
（第1课时）
复习引入
在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识， 研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质．在本 章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化 率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化．能否利用导数更加精 确地研究函数的性质呢？本节课我们首先来讨论函数的单调性．
练习：判断下列函数的单调性: (1) f (x) x2 2x 4; (2) f (x) ex x.
(2) f (x) ex x, f '(x) ex 1; 若f '(x) 0,则x 0；若f '(x) 0,则x 0； 所以函数f (x)在区间(, 0)上单调递减，在区间(0, +)上单调递增.
设函数 f (x)在区间（a,b）上的导数f '(x)为正,
∀x 1、x 2 ∈（a,b）,经过点A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2)) y
的直线AB的斜率就是平均变化率
B T
y f (x1) f (x 2)
x
x1-x 2
直观上，能找到一点T(x0，f (x0))，使函数 f (x) 的图像在点T处的切线与直线AB平行，即
x
x
1
O1
x
f '(x) 1 0.
(3)
x2
因此，函数f (x) x 1 在区间(, 0)和(0, ) 内单调递增. x
归纳提升
能否归纳用导数判断函数单调性的基本步骤？
用解不等式法求单调区间的步骤 （1）确定函数f(x)的定义域； （2）求导函数f ´(x)； （3）解不等式f ´(x)＞0或f ′(x)＜0，并写出解集； （4）根据（3）的结果确定函数f(x)的单调区间．
x
解： （1）因为f(x)=x3+3x ，其定义域为R.
f ( x) 3x2 3 0，
∴ f ( x) x3 3x在R上单调递增,如图(1) 所示.
f (x) x3 3x y
O
x
(1)
例1.利用导数判断下列函数的单调性:
(2) f (x) sin x x, x (0, );
(2) f (x) sin x x, x (0, ),
(2)
在(a, b)内， h(t)单调递减，相应地，v(t)=h‘(t)<0.
思考2:我们看到，函数的单调性与导数的正负有内在联系. 那么，我们
能否由导数的正负来判断函数的单调性呢? 追问1：对于高台跳水问题，是否有下列
h h( x) 4.9t 2 4.8 t 11
h
v(t) 4.9t 4.8
问题：我们已经学习过函数的单调性，你能从数、形、定义等不同的角度描述 一下函数f (x)在区间I上是单调递增吗？
⑴如果在区间I上，自变量增大函数值也增大，那么函数f (x)在区间I上是单调 递增的；
⑵如果函数f (x)的图象在区间I上是从左到右上升的，那么函数f (x)在区间I上 是单调递增的；
⑶如果任意x1，x2∈I，且x1<x2 ，都有f (x1)< f (x2 ) ，那么函数f (x)在区间I上是 单调递增的；
32 和导数的正负判断f (x)的单调性吗？
⑶利用导数求解
因为f (x)=0.9 cos x，x ( ， )，
32
所以f (x) 0.9 cos 0.4 0，
3
所以f (x)在( ， )内单调递增.
32
比较这三种方法，你有什么感受？
思考:请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在区间（a,b）上单调 的函数y = f (x)的平均变化率的几何意义与与 f '(x)的正负的关系．
y
y x
O
x
y y x2
y
y x3
O
x
y
y 1 x
O
x
O
x
y ' 1 0, f (x)在R上单调递增；
y' 2x 当x 0时，y ' 0, f (x)单调递减; 当x 0时，y ' 0, f (x)单调递增.
y ' 3x2 0， f (x)在R上单调递增.
y' 1 ， x2
当x 0时，y ' 0; f (x)单调递减； 当x 0时，y ' 0; f (x)单调递减.
还可用平均变化率来表示
（1）∀x
1、x
2
∈I，都有
f
(
x1 ) x1
f( x2
x2
)
0
，那么
f
(x)在区间I上单调递增;
（2）∀x 1、x 2
∈I，都有
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
0
，那么
f
(x)在区间I上单调递减.
思考:请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在区间（a,b）上单调 的函数y = f (x)的平均变化率的几何意义与与 f '(x)的正负的关系．
巩固练习 练习：判断下列函数的单调性:
(1) f (x) x2 2x 4; (2) f (x) ex x.
解：(1) f (x) x2 2x 4, f '(x) 2x 2; 若f '(x) 0,则x 1；若f '(x) 0,则x 1； 所以函数f (x)在区间(,1)上单调递减，在区间(1, +)上单调递增.
⑷如果任意x1，x2∈I，都有 增的；
f
x1
x1
f x2
x2
0，那么函数f
(x)在区间I上是单调递
追问：如果函数f (x)的图象在区间I上是从左到右上升的，且x0∈I，那么我 们说函数f (x)在x=x0处是单调递增的，这种说法对吗？
函数的单调性不是函数在某个点处的性质，而是在一定范围内的性质．
在某个区间(a, b)上, 如果f '(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调 递减.
追问1: 如果在某个区间上恒有f ′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性?
函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.
y
追问2:存在有限个点使得f'(x)=0, 其余点都恒有f ′(x)>0,
则f(x)有什么特性? f(x)仍为增函数.
解：由y f ( x)的图象可知,
函数f ( x)在(0, a)是常数，f ( x) 0； 在(a, b)上单减，f ( x) 0； 在(b, c)是常数，f ( x) 0.
由此可得函数y f ( x)大致图象如图示.
y
y f (x)
O ab y
cx
Oa
b
y f ( x)
cx
例3.设函数f (x)=0.9x sin x，x ( ， )．你能分别用函数单调性的定义
O
例如: 对于函数y=x3，y′=3x2. 当x=0时，y′=0，当x>0
时，y′>0， 而函数y=x3在R上单调递增.
y x3 x
例1.利用导数判断下列函数的单调性:
(1) f (x) x3 3x; (2) f (x) sin x x, x (0, ); (3) f (x) x 1.
例3.设函数f (x)=0.9x sin x，x ( ， )．你能分别用函数单调性的定义
32 和导数的正负判断f (x)的单调性吗？
⑵利用平均变化率
对于x1，x2
(
3
，
2
)，且x1
x2，
f x1 f x2 0.9(x1 x2 ) ( sin x1 sin x2 ) 0.9 sin x1 sin x2
的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象. a 24 ,b是函数h(t)的零点.
49
h h( x) 4.9t 2 4.8 t 11
h
你能从这两个图形中发现函数的单
v(t ) 4.9t 4.8
b
调性与函数导数的正负有什么关系吗?
Oa
t
Oa b
t
(1)
观察图象可以发现:
在(0, a)内， h(t)单调递增，相应地，v(t)=h'(t)>0；
y
可知f (x)在区间(-∞,1)和(4,+∞)区间内单调递减;
f (x)
当 x = 4 , 或 x = 1时, f (x)=0,
这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”.
O1
4
综上, 函数f (x)图象的大致形状如右图所示.
x
跟踪练习
课本P87
1.函数y f ( x)的图象如图所示，试画出函数 y f ( x)图象的大致形状.
例2.已知导函数的下列信息：
当1 x 4时,f ( x) 0； 当x 1,或x 4时,f ( x) 0； 当x 1,或x 4时,f ( x) 0
试画出函数f (x)图象的大致形状. 解: 当1 < x < 4 时, f (x) 0, 可知f(x)在区间(1,4)内单调递增;
当 x > 4 , 或 x < 1时, f (x) 0,
函数的单调性的定义
函数 y = f (x) 在给定区间 I 上，当 x 1、x 2 ∈I ，且 x 1＜ x 2 时
（1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在I 上是增函数； （2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在I 上是减函数.
思考：如果函数f (x)的图象在区间I上是从左到右上升的，并且处处有切线， 那么这些切线有什么共同特征？
所有切线也是从左到右上升的．
学习新知
思考1:图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变
化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化
y lim x0 x
f (x 0 ) 0
从而函数 f (x)在区间（a,b）上单调递增.
A
o a x1 x0
x2 b x
用此方法同样可以说明函数 f (x)在 区间（a,b）上单调递减.
结论：利用导数的正负来判断函数的 单调性，与函数单调性定义是一致的。
课堂小结
1.函数的单调性与导数的正负的关系. 在某个区间（a，b）内，如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递增； 在某个区间（a，b）内，如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递减；
因此，函数f (x) sin x x在(0, ) 内单调递减.
y
π
O
x
-π
f ( x) sin x x
(2)
例1.利用导数判断下列函数的单调性:
y
(3) f (x) x 1. x
注意定义域
f (x) x 1 x
(3) f (x) x 1 1 1 , x (, 0) (0, ),
32 和导数的正负判断f (x)的单调性吗？
分析：
⑴利用单调性的定义
对于x1，x2
(
3
，
2
)，且x1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2，
f (x1) f (x2 )=(0.9x1 sin x1) (0.9x2 sin x2 ) 0.9(x1 x2 ) (sin x1 sin x2 )
可以发现，很难判断f (x) 单调性.
在x=x1处，f'(x1)<0，切线是“左上右下”的下 降式，函数f(x)的图象也是下降的，函数f(x)在x=x1 附近单调递减.
(x1, f(x1)) O
(x0, f(x0)) x
函数的单调性与导数的关系：
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f '(x)的正负之间具有如下的 关系:
在某个区间(a, b)上, 如果f ′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调 递增;
x1 x2
x1 x2
x1 x2
观察函数y= sin x ( x )的图象，平均变化率似乎小于0.9，
3
2
从而
f
x1
x1
f x2
x2
0，于是判断f
( x)在(
3
，
2
)内单调递增.
这一方法看似自然，心里却“没底”．
例3.设函数f (x)=0.9x sin x，x ( ， )．你能分别用函数单调性的定义
追问:能否从导数的几何意义的角度来探讨导数的正负与函数单调 性的关系？
如图所示，导数f '(x0)表示函数y=f (x)的图 象在点(x0, f (x0))处的切线的斜率，可以发现:
y
y f (x)
在x=x0处，f'(x0)>0，切线是“左下右上”的上 升式，函数f(x)的图象也是上升的，函数f(x)在x=x0 附近单调递增；
2.用导数判断函数单调性的步骤. (1)求函数的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x) 的单调增（或减）区间;
b
Oa
t
结论？
当t∈(0, a)时，h′(t)>0，函数h(t)在(0, a)内
单调递增；
当t∈(a, b)时，h‘(t)<0，函数h(t)在(a, b)内 O a b t
单调递减.
(1)
(2)
追问2：在高台跳水问题中，我们看到可以用函数导数的正负来判断函数的单 调性，这种做法是否具有一般性呢?
探究：观察下列函数图象，思考函数单调性与导数正负的关系.
5.3.1 函数的单调性
（第1课时）
复习引入
在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识， 研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质．在本 章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化 率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化．能否利用导数更加精 确地研究函数的性质呢？本节课我们首先来讨论函数的单调性．
练习：判断下列函数的单调性: (1) f (x) x2 2x 4; (2) f (x) ex x.
(2) f (x) ex x, f '(x) ex 1; 若f '(x) 0,则x 0；若f '(x) 0,则x 0； 所以函数f (x)在区间(, 0)上单调递减，在区间(0, +)上单调递增.
设函数 f (x)在区间（a,b）上的导数f '(x)为正,
∀x 1、x 2 ∈（a,b）,经过点A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2)) y
的直线AB的斜率就是平均变化率
B T
y f (x1) f (x 2)
x
x1-x 2
直观上，能找到一点T(x0，f (x0))，使函数 f (x) 的图像在点T处的切线与直线AB平行，即
x
x
1
O1
x
f '(x) 1 0.
(3)
x2
因此，函数f (x) x 1 在区间(, 0)和(0, ) 内单调递增. x
归纳提升
能否归纳用导数判断函数单调性的基本步骤？
用解不等式法求单调区间的步骤 （1）确定函数f(x)的定义域； （2）求导函数f ´(x)； （3）解不等式f ´(x)＞0或f ′(x)＜0，并写出解集； （4）根据（3）的结果确定函数f(x)的单调区间．
x
解： （1）因为f(x)=x3+3x ，其定义域为R.
f ( x) 3x2 3 0，
∴ f ( x) x3 3x在R上单调递增,如图(1) 所示.
f (x) x3 3x y
O
x
(1)
例1.利用导数判断下列函数的单调性:
(2) f (x) sin x x, x (0, );
(2) f (x) sin x x, x (0, ),
(2)
在(a, b)内， h(t)单调递减，相应地，v(t)=h‘(t)<0.
思考2:我们看到，函数的单调性与导数的正负有内在联系. 那么，我们
能否由导数的正负来判断函数的单调性呢? 追问1：对于高台跳水问题，是否有下列
h h( x) 4.9t 2 4.8 t 11
h
v(t) 4.9t 4.8
问题：我们已经学习过函数的单调性，你能从数、形、定义等不同的角度描述 一下函数f (x)在区间I上是单调递增吗？
⑴如果在区间I上，自变量增大函数值也增大，那么函数f (x)在区间I上是单调 递增的；
⑵如果函数f (x)的图象在区间I上是从左到右上升的，那么函数f (x)在区间I上 是单调递增的；
⑶如果任意x1，x2∈I，且x1<x2 ，都有f (x1)< f (x2 ) ，那么函数f (x)在区间I上是 单调递增的；
32 和导数的正负判断f (x)的单调性吗？
⑶利用导数求解
因为f (x)=0.9 cos x，x ( ， )，
32
所以f (x) 0.9 cos 0.4 0，
3
所以f (x)在( ， )内单调递增.
32
比较这三种方法，你有什么感受？
思考:请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在区间（a,b）上单调 的函数y = f (x)的平均变化率的几何意义与与 f '(x)的正负的关系．
y
y x
O
x
y y x2
y
y x3
O
x
y
y 1 x
O
x
O
x
y ' 1 0, f (x)在R上单调递增；
y' 2x 当x 0时，y ' 0, f (x)单调递减; 当x 0时，y ' 0, f (x)单调递增.
y ' 3x2 0， f (x)在R上单调递增.
y' 1 ， x2
当x 0时，y ' 0; f (x)单调递减； 当x 0时，y ' 0; f (x)单调递减.
还可用平均变化率来表示
（1）∀x
1、x
2
∈I，都有
f
(
x1 ) x1
f( x2
x2
)
0
，那么
f
(x)在区间I上单调递增;
（2）∀x 1、x 2
∈I，都有
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
0
，那么
f
(x)在区间I上单调递减.
思考:请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在区间（a,b）上单调 的函数y = f (x)的平均变化率的几何意义与与 f '(x)的正负的关系．
巩固练习 练习：判断下列函数的单调性:
(1) f (x) x2 2x 4; (2) f (x) ex x.
解：(1) f (x) x2 2x 4, f '(x) 2x 2; 若f '(x) 0,则x 1；若f '(x) 0,则x 1； 所以函数f (x)在区间(,1)上单调递减，在区间(1, +)上单调递增.
⑷如果任意x1，x2∈I，都有 增的；
f
x1
x1
f x2
x2
0，那么函数f
(x)在区间I上是单调递
追问：如果函数f (x)的图象在区间I上是从左到右上升的，且x0∈I，那么我 们说函数f (x)在x=x0处是单调递增的，这种说法对吗？
函数的单调性不是函数在某个点处的性质，而是在一定范围内的性质．
在某个区间(a, b)上, 如果f '(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调 递减.
追问1: 如果在某个区间上恒有f ′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性?
函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.
y
追问2:存在有限个点使得f'(x)=0, 其余点都恒有f ′(x)>0,
则f(x)有什么特性? f(x)仍为增函数.
解：由y f ( x)的图象可知,
函数f ( x)在(0, a)是常数，f ( x) 0； 在(a, b)上单减，f ( x) 0； 在(b, c)是常数，f ( x) 0.
由此可得函数y f ( x)大致图象如图示.
y
y f (x)
O ab y
cx
Oa
b
y f ( x)
cx
例3.设函数f (x)=0.9x sin x，x ( ， )．你能分别用函数单调性的定义
O
例如: 对于函数y=x3，y′=3x2. 当x=0时，y′=0，当x>0
时，y′>0， 而函数y=x3在R上单调递增.
y x3 x
例1.利用导数判断下列函数的单调性:
(1) f (x) x3 3x; (2) f (x) sin x x, x (0, ); (3) f (x) x 1.
例3.设函数f (x)=0.9x sin x，x ( ， )．你能分别用函数单调性的定义
32 和导数的正负判断f (x)的单调性吗？
⑵利用平均变化率
对于x1，x2
(
3
，
2
)，且x1
x2，
f x1 f x2 0.9(x1 x2 ) ( sin x1 sin x2 ) 0.9 sin x1 sin x2
的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象. a 24 ,b是函数h(t)的零点.
49
h h( x) 4.9t 2 4.8 t 11
h
你能从这两个图形中发现函数的单
v(t ) 4.9t 4.8
b
调性与函数导数的正负有什么关系吗?
Oa
t
Oa b
t
(1)
观察图象可以发现:
在(0, a)内， h(t)单调递增，相应地，v(t)=h'(t)>0；
y
可知f (x)在区间(-∞,1)和(4,+∞)区间内单调递减;
f (x)
当 x = 4 , 或 x = 1时, f (x)=0,
这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”.
O1
4
综上, 函数f (x)图象的大致形状如右图所示.
x
跟踪练习
课本P87
1.函数y f ( x)的图象如图所示，试画出函数 y f ( x)图象的大致形状.
例2.已知导函数的下列信息：
当1 x 4时,f ( x) 0； 当x 1,或x 4时,f ( x) 0； 当x 1,或x 4时,f ( x) 0
试画出函数f (x)图象的大致形状. 解: 当1 < x < 4 时, f (x) 0, 可知f(x)在区间(1,4)内单调递增;
当 x > 4 , 或 x < 1时, f (x) 0,
函数的单调性的定义
函数 y = f (x) 在给定区间 I 上，当 x 1、x 2 ∈I ，且 x 1＜ x 2 时
（1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在I 上是增函数； （2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在I 上是减函数.
思考：如果函数f (x)的图象在区间I上是从左到右上升的，并且处处有切线， 那么这些切线有什么共同特征？
所有切线也是从左到右上升的．
学习新知
思考1:图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变
化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化
y lim x0 x
f (x 0 ) 0
从而函数 f (x)在区间（a,b）上单调递增.
A
o a x1 x0
x2 b x
用此方法同样可以说明函数 f (x)在 区间（a,b）上单调递减.
结论：利用导数的正负来判断函数的 单调性，与函数单调性定义是一致的。
课堂小结
1.函数的单调性与导数的正负的关系. 在某个区间（a，b）内，如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递增； 在某个区间（a，b）内，如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递减；