人教版高中数学选修3-4 对称与群 第二章 代数学中的对称与抽象群的概念 2.3 抽象群的概念

旧知回顾
在前文中，我们已经定义了正n
边形的对称群（D
n ，•）和n元对称群
（S
n
，•）.虽然它们有着背景完全不同的集合，并且他们的运算的含义也不同，但它们却有如下共同特点：
（1）有一个非空集合；
（2）在这个集合上定义了一个运算；（3）运算满足性质Ⅰ～Ⅳ.
导入新课
这样的结构在数学、物理学、化学和生命科学中大量存在.数学家把它们概括成一个抽象的概念——群.前面学习的对称群就是群的一个具体例子.
2.1 n元对称群S n
教学目标知识与能力
•感知群的一般概念. •掌握群的验证方法. •掌握群的直和运算.
过程与方法
•通过实例来学习群的一般概念. •进一步掌握抽象群的意义.
•通过实例，掌握群的判定方法.
情感态度与价值观
•让学生从前后对比中掌握所学知识. •从实例中掌握解题思路.
•培养合作交流意识.
教学重难点
•群的一般概念.
•群的直和运算.
•群的验证方法.
为了介绍群的一般概念，我们先来定义集合上的运算.
设G是一个非空集合，G上的一个二元运算是指一个映射“•”，它把G中的任意一个有序对（a，b）都对应到G中的一个元素，我们把这个元素记作a•b.
例如：
D n中对称变换的合成时D n上的二元运算；S n中置换的合成时S n上的二元运算；
整数的加法（+）、减法（-）和乘法（×）都是整数集Z上的二元运算，这是因为两个整数的和、差与积都仍然是整数.
定义
设非空集合G满足下述4个条件：
Ⅰ.G上有一个二元运算“•”，即对任意的a，b∈G，有a•b∈G;
Ⅱ.G中有单位元I，对任意的a∈G,I•a=a=a•I;
Ⅲ.G中的每个元素都有逆元，即对任意的
a∈G，存在a´∈G，使得a•a´=I=a´•a；Ⅳ.G的乘法满足结合律，即对任意的a，b，c∈G，(a•b)•c=a•(b•c)；
则（G，•）称为一个群.
换句话说，群就是一个非空集合.这个集合有
一个满足结合律的二元运算，集合中有一个单位元，集合中每一个元素都有一个逆元.
群的例子是大量存在的.例如，正有理数集Q+
连同正有理数的乘法构成一个群，记作（Ｑ
+，•）.
下面的表格说明了Q
+
满足群的4个条件.
二元运算对任意的a，b∈Q+，a•b∈Q+ 单位元I∈Q+
逆元对任意的a∈Q+，存在a的逆元Q+
结合律对任意的a，b，c∈Q
+
，(a•b)•c=a•(b•c)
又如整数集Z连同整数的加法构成一个群,记作（Z，+）.下面的表格说明Z满足群的4个条件.
二元运算对任意的a，b∈Z，a+b∈Z
单位元0∈Z
逆元对任意的a∈Z，存在a的逆元-a∈Z
结合律对任意的a，b，c∈Z，(a+b)+c=a+(b+c)
这些例子告诉我们，群的定义中的乘法的含义很广，它可以是平面图形的对称变换的合成、置换的合成.也可以是数的乘法或加法.
下面，我们来看一个有限群（元素个数是有限的）的例子.我们知道，所有整数除以3得到的余数只有3个，即0，1和2.
记
Z 3={0，1，2}.
在集合Z 3上定义一个运算，用⊕表示，即对任意的a ，b ∈Z 3，使
a ⊕b=(a+
b ) 除以3得到的余数.
按照这个运算，我们可以得到Z 3的乘法表：
⊕0 1 2
0 0 1 2
1 1
2 0
2 2 0 1
例验证Z
3
和运算⊕构成一个群.
分析：只要验证Z
3连同运算⊕满足群
的4个条件Ⅰ～Ⅳ即可.
解：Ⅰ.由Z
3的加法表可知，Z
3
中任意两
个元素的和仍然在Z
3
中；
Ⅱ.因为
0⊕1=1,1⊕0=1, 0⊕2=2,2⊕0=2,
所以0是Z
3
的单位元；
Ⅲ.由1⊕2=2⊕1=0, 0⊕0=0，知1的逆元是2，2的逆元是1，0的逆元是0；
Ⅳ.容易验证，对任意的a ，b ∈Z 3， ，即运算⊕满足结合律.
综上所述，Z 3和运算⊕构成一个群（Z 3，⊕）.
探究
用Z4表示所有的整数除以4得到的余数，即 Z4={0，1，2，3}.
在这个集合上定义一个运算⊕，即对任意的a，b∈Z4，使
a⊕b=（a+b）除以4得到的余数.
的乘法表
完成下列Z
4
⊕0 1 2 3
1
2
3
，⊕）也是一个群.
并说明（Z
4
从两个或多个已知群出发，可以构造新的群.
设{G
1，*}和{G
2
，*}是两个群，有各自的乘法*，
•和单位元e，I.分别从集合G
1和G
2
中任取一个元
素，组成所有可能的有序对
（a
1，B
1
）,（a
2
，B
2
），... （a
n
，B
n
），...
把所有这样的有序对组成的集合记作G 1×G 2，在G 1×G 2上定义一个运算⊙；对于G 1×G 2中任意两个元素（a 1，B 1），（a 2，B 2），规定（a 1，B 1）⊙（a 2，B 2）= (a 1 *a 2，B 1 •B 2)
也就是说，对有序对的第一个分量作G 1的运算*，对第二个分量G 2的运算•.可以证明，G 1×G 2和运算⊙构成一个群，称为G 1和G 2的直积，记作{G 1×G 2，⊙}，它的单位元是（e ，I ）.
现在，我们就来看看（Z2，⊕）与（Z3，
⊕）的直积作成的群（Z
2×Z
3
，⊕）是什么
样子.显然Z
2×Z
3
中有6个元素，即
{（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2）}.
用⊙表示Z2×Z3上的运算，那么我们有（0，0）⊙（0，1）=(0⊕0,0⊕1)=(0,1); （1，0）⊙（0，2）=(1⊕0,0⊕2)=(1,2); （1，2）⊙（1，1）=(1⊕1,2⊕1)=(0,0); ...
由此可得Z
2×Z
3
的乘法表，请同学们把
它计算好.
⊙(0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2) (0,0) (0,0)
(0,1)
(0,2) (1,2)
(1,0)
(1,1) (0,0) (1,2)
课堂小结
1、群的一般概念.
2、群的直和运算.
3、对群的验证方法.。