国际奥林匹克物理竞赛题的分析

这里
p=1 a
n12 - n22
n12 - sin 2 qi
x0和q由边界条件决定 z=0,x=0得 q=0
z=0,
dx dz
=
x'
=
tan qi
x0=
a sin qi
n12 - n22
• 1.d.
• 2a.在 x a
a sin qi a
n12 - n22
光可以在光纤纤芯中传播的最大入射角θiM
第一个交点的坐标 z与时间τ的比值称为光信号沿光 纤的传播速度.假定该速度随θi是单调变化的。
求出θi＝θiM时的传播速度(vM)。 再求出光线沿轴线Oz的传播速度(v0)。 比较这两个速度。(3.25分)
b.会聚于O点的载波光束以不同的入射角θi
（ 0 qi qi）M
入射,导出在z处最高重复频率f的表达式 （即光脉冲不交迭）.计算在1000m处两个 相继信号脉冲可以分辨的最高重复频率f。 （1.75分）
－2006年国际奥赛题
物理描述
考虑Collela, Overhauser and Werner著名的 中子干涉仪实验,在干涉仪中,我们将假设分束板和 反射镜是理想的,实验研究重力场对中子德布罗意 波影响.
a
a
M
IN
OUT2
BS
2q
a
2q
M a
BS OUT1
BS – 分束板
M –反射镜
IN
OUT2 OUT1
射，晶格周期） （2006奥赛）
• 从理论和实验考试内容的构成上看 • 力学占20％ • 电学占23％ • 光学占22％ • 热学占18％ • 近代物理占17％ • 从百分比比看,五科差不多，但由于实验中
近代物理实验没有，所以近代物理在理论 考试中占近30％.
• 题目来源 • 常规题占40％,如乒乓电阻，电学黑匣子等 • 与日常生活密切相关现象方面40％，如秋千中的能量问题，
cosql =
1- sin 2 ql =
1
-
sin 2 qi
n12
n cosq = C = n2 - sin 2 q 1
• 1.b.因为
dx = x' = tan q
dz
n1
1- a 2 x2 cosq = n1
1-a 2x2
(1
tan
2
q
)
-
1 2
=
C
平方后整理
1
x'2
=
(1- a
2x2)
n2 1
提纲
1.三年6届题型分析 2。三个不同层次难度理论题 3。典型实验题
一、三年6届题型分析
奥林匹克物理竞赛中亚洲赛和国际赛大 纲基本相同,出现形式相同，难度也基本相 同，因此作为相同样本处理分析.这样三年 6届共有18道理论题8道实验题。
• 理论题内容为 2004年亚赛：
1。飞船中的失重问题 2。光纤中光束传播问题 3。两种气体系统的压缩和膨胀 2004年国际奥赛题 1。乒乓电阻 2。升空 的气球 3。原子探针显微镜
dt = n ds = n12 (1- a 2 x2 ) dx
c
c
sin
2
qi
-
n2a 1
2x2
= x=x0 dt = n12 x0
2 x=0
c0
=
n12 c
[I1
-a
2I2]
dx
x0
-
sin
2 qi
-
n2a 1
2x2
0
a 2 x2dx
sin
2 qi
-
n2a 1
2x2
= c
an12
n12 - n22
n=n(x) =n1
式中x 是离光纤1轴- a线2 x的2 距离，a为常数。光
纤置于折射率为n0的空气中。
取Oz轴沿光纤的轴线方向,O是光纤端 点的中心.如图所示
给定 n0=1.000; n1=1.500; n2=1.460, a=25μm.
x
a0
n0 n2
a

qi
O
n = nx = n1 1- a 2 x2
个完整的循环. 1.6(1.0) 问在这次实验中的l0值为多少？ 1.7(1.0) 如果在另一次类似的实验中观察到了30.00
个求完A的整值的为循多环少，？而入射中子的l0 = 0.2000 nm，
解答
1.1 从图可知
菱形的边长为
a
a
M I
N
B
2
2
S
q
q
a
Ma
a BS – 分束板 M –反射镜 L=
g= 9.800 m s−2， h= 6.626 × 10−34 J s， 求V的值。
1.5(2.0) 如果把从强度相长到相消又回到相长作为 一个循环,问当=-90 的值由增加到=90 时，输 出端口out1共经历了多少个完整的循环 实验数据 在一次实验中，干涉仪的参数选为
a = 3.600 cm 及q =22.10°，结果观察到19.00
解答
1.a. 入射点：x=0, y=0,
n0 sin qi = n1 sin ql
在xoz平面里,折射率n=n(x)
n sin i = (n dn) sin( i di)
q
n cosq = (n dn) cos(q dq )
i
n cosq = n1 1- a 2 x2 cosq = n1 cosq1
几何描述 当=0时，干涉仪的平面是水平的；而
当=90 时，该平面是竖直的，且两个输出 端口皆在旋转轴的上方。
问题
• 1.1(1.0) 求两条路径所形成的菱形的面 积.1.2(1.0) 以旋转轴所在的水平面为基准, 求输出端口out1的高度。
• 将与的答案用a,q, 来表示。
光程 光程Nopt（为一个数）是几何路 径长度（距离）与波长的比值。但如果l的 值不是常数、而是沿着路径变化，则Nopt可 通过求1/l沿着路径的积分得到。
A=10.53cm2
l0
=
19 0.1598 2 10.53
=
0.1441nm
1.7 N=30个周期 l0=0.2nm
A = 19 0.1598 = 11.98cm2 2 0.2
中等题 光纤中几何光学的传播问题
－2004年亚赛题
一、描述
光纤由半径为a的圆柱形纤芯和折射率为n2 的外包层构成.纤芯由渐变折射率的材料构成, 折射率在n=n1到n＝n2之间（1<n2<n1）。n1为 轴线上的折射率，n2为距轴线a处的折射率。 渐变折射率满足下列公式：
磁刹车问题. • 科研成果转化20％，如原子的激光冷却，重力场中的中子。
• 题目的难度通常分三个层次 • 第一层次：一半选手能做，金牌一般是满分。 • 第二层次：一半选手能做50％，金牌一般能得分80％以上 • 第三层次：题型比较新，金牌能完成部分内容大约50％
2.三个不同层次难度理论题
基本题 考虑重力的中子干涉仪
C2
两边求导得
x ''
a 2n2
1
x
=
0
C2
n = n1 1 - a 2 x2
• 在x=0时 n=n1 • X=a时 n=n2
a = n12 - n22
an1
x''
n2 1
-
n22
x=0
a2 (n12 - sin 2 qi )
• 1c. • 上面的方程解即光线的轨迹
x = x0 sin pz q
2005年亚赛题 1.气缸里的弹簧活塞与秋千问题 2。磁聚焦 3。运动平面镜的光反射
2005年国际奥赛题 1。失足的卫星 2。电学量的绝对测量（欧姆的确定,安培的确定） 3。重力场中的中子
2006年亚赛题 1.理论题由四部分构成
平板电容器中电场电势问题 密封容器中活塞运动过程中热学问题 马里亚纳群岛海谷中重力与压力问题 光学系统的光焦度 2。滑动摩擦下的谐振子与相图 3。原子的激光冷却
sin qiM = n12 - n22 = 0.344 qiM = 20.13
• 2b.光束与轴线交点坐标
z = k = ka
p1
n12 - sin 2 q
n12 - n22
3a.不同的入射角轨迹不同,光纤中传播速 度不同.
✓通过一线段元 ds 时间为dt = ds = n ds vc
ds = dx2 dz2 = 1 z'2 dx
z
n2
二、问 题
1.一束单色光从O点以入射角θi 进入光纤,入射 面为xOz 平面.
a.证明光线在光纤中传播轨迹的各点满足关系 ncosθ=C。其中n是折射率，θ是光线与Oz 轴夹角，并给出C与n1和θi的关系式。（1分）
b.利用1.a的结果和三角函数关系
cosq = (1 tan 2 q )-1/2
2.光纤中光的传播。
a.求出光可以在光纤纤芯中传播的最大入射角θiM。 （1.5分）
b.确定θi ≠0时光线与Oz 轴交点的 z的表达式。 （1.5分）
3．光常常用于以非常短的光脉冲的形式传 递信号,（脉冲宽度可以忽略）.
a.在入射角qi 0 和 qi qi M
条件下,确定光由 O点入射传播到与Oz轴的第一 个交点的时间τ.
• 沿轴线传播速度为
时间延迟为
c v0 = n1
t = z - z = z (n1 - n2 )2 vM v0 c 2n2
对应的脉冲频率
fm = (t)-1 如果z = 1000m时
l20 H
数量级为10－7
l0 l1
=1-
gM 2 h2
l20 H
N opt
=
a
l0 cosq
gM h2
2
l20 H
N opt
=
2
gM h2
2
l0
tan q
sin
1.4 用题给定的参数V和A表示
N opt
=
2
l0 A
V
sin
V
=
h2 gM
2
= 0.1597 10-13 m3
=
0.1597nmcm2
M= 1.675×10−27 kg g= 9.800 m s−2, h= 6.626 × 10−34 J s
1.5
当Nopt=0,±1，±2,
干涉加强
当Nopt=0，±1/2，±3/2, 干涉减弱
F角由-90°变化到90°时
N opt
=90 =-90
= 2 l0 A
V
= 循环数
1.6 实验数据:a=3.6cm, q=22.1°
cosq
OU
T2 B
S OU
T1
平行线的距离为
D=
a
sin( 2q ) = 2a sin q
cosq
菱形面积为 A = LD = 2a 2 tan q
1.2 OUT1相对IN的高度
H = D sin = 2a sin q sin
1.3根据给定光程的定 义两斜边光程相同.
I N
OU T2
OU T1
2006年国际竞赛题 1.中子干涉仪中的重力 2。观察运动的细棒 3。有5个部分组成
数码相机中的分辩本领 煮鸡蛋需要的热量 闪电的能量利用 毛细管中的血液流动中的力学问题 摩天大厦中的压力和温度问题
实验题
• 霍耳效应和磁电阻效应（2004亚赛） • 电学黑盒子（2004亚赛） • 力学黑匣子（2004奥赛） • 用反射方法间接测量物体形状（2005亚赛） • 斜面上的磁刹车问题 （2005亚赛） • 用白炽灯测量普朗克常数 （2005奥赛） • 在45℃—65℃范围内测量铝的比热（2006亚赛） • 液氮的汽化热的测量（2006亚赛） • 用微波进行光学实验（测波长,折射率，受限全反
这里
tan q = dx = x'
dz
是光线轨迹在点（x, z）处切线的斜率.导出x’的方程, 并用n1、 n2、a表示a。再将方程两边对z求导， 导出二阶导数 x〞。（1分）
c.导出满足上述方程的 x与z的函数关系x=f(z)，即光 线在光纤里的轨迹方程。（1分）
d.画出两个不同入射角θi进入光纤所对应的一个完整 周期的轨迹。（1分）
.
干涉仪中采用与光学类似的符号如图 1a .中子从入口IN进入干涉仪,沿图示的两 条路径到达两个输出端口,在输出端口 OUT1和OUT2检测,两条路经形成一个菱形， 其面积一般为数个平方厘米（cm2）.
• 中子的德布罗意波（波长约为10−10 m）产 生干涉,当干涉仪水平放置时，所有中子都 从输出端口out1输出.但如果将干涉仪以中 子入射方向为轴旋转角，则可以观察到依 赖于的中子输出量在out1与out2两个端口之 间的再分配。
OUT1与IN光程差为：
N opt
=
L
l0
-
L
l1
=
l0
a
cosq
(1 -
l0 l1
)
由于重力影响,在OUT1和IN波长不同，满足
1 2M
p02
=1 2M
p12 MgH
1 ( h )2 = 1 ( h )2 MgH
2M l0 2M l1
得到： l0 =
l1
1-
2
gM h2
2
l20 H
由于
gM 2 h2
1.3(3.0) 当干涉仪被旋转了角后,求两条路径之间的 光程差Nopt.将答案用以下物理量来表示： a,q, ， 中子质量M，入射中子的德布罗意波长l0，重力加 速度g，以及普朗克常数h。
1.4 (1.0) 引进体积参数
V
=
h2 gM 2
并将Nopt用A，V，l0，来表示。 已知 M= 1.675×10−27 kg
1 -
sin 2 qi
2n12
4) qi ＝qiM时光信号沿光纤的传输速度（= x1/τ）
= c
an12
n12 - n22
1 -
sin 2 qi
2n12
z1 = a
n12 - sin 2 q
n12 - n22
sin q iM = n12 - n22
vM
=
2cn2 n12 n22
= 1.998108 (m / s)