苏北四市2013-2014第一学期期末数学试卷

2012届高三调研测试试卷(三)
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
2012．1
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{0,2,3}，则A ∩B ＝____________.
2. 若(x ＋i)2是实数(其中i 为虚数单位)，则实数x 的值为____________．
3. 一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1 000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图(如图所示)，则月收入在[2 000,3 500)范围内人数为____________．
(第3题)
4. 根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为______________．
i ←1
While i ＜8
i ←i ＋2 S ←2i ＋3
End While
Print S
(第4题)
5. 已知a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，直线l 1：x －2y －1＝0，l 2：ax ＋by －1＝0，则直线l 1⊥l 2的概率为______________．
6. 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1y ≥x
3x ＋2y ≤15，则w ＝log 3(2x ＋y)的最大值为
______________．
7. 已知抛物线y 2＝2px 的准线与双曲线x 2－y 2＝2的左准线重合，则p 的值为____________．
8. 在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝12，a 3＋a 4
＝1，则a 7＋a 8＋a 9＋a 10的值为____________．
9. 在△ABC 中，已知BC ＝1，B ＝π3
，△ABC 的面积为3，则AC 的长为________． 10. 已知p ：x 2－4x －5＞0，q ：x 2－2x ＋1－m 2＞0(m ＞0)，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的最大值为____________．
11. 已知椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，过椭圆右焦点且与x 轴垂直的直线与椭圆交于P 、Q 两点，椭圆的右准线与x 轴交于点M ，若△PQM 为正三角形，则椭圆的离心率等于____________．
12. 函数f(x)＝acos(ax ＋θ)(a ＞0)图象上两相邻的最低点与最高点之间距离的最小值是______________．
13. 定义在R 上的函数f(x)，满足f(m ＋n 2)＝f(m)＋2[f(n)]2，m ，n ∈R ，且f(1)≠0，则f(2 012)的值为______________．
14. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧ x ＋12，x ∈⎣⎡⎭⎫0，122x －1，x ∈⎣⎡⎭⎫12，2.若存在x 1，x 2，当0≤x 1＜x 2＜2时，f(x 1)＝f(x 2)，
则x 1f(x 2)的取值范围是____________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知向量a ＝(4,5cosα)，b ＝(3，－4tanα)，α∈⎝⎛⎭
⎫0，π2，若a ⊥b ，求： (1) |a ＋b|；
(2) cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π4的值．
16. (本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，BB 1＝BC ＝6，D 、E 分别是AA 1和B 1C 的中点．
(1) 求证：DE∥平面ABC；
(2) 求三棱锥EBCD的体积．
现有一张长80 cm、宽60 cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失．如图，若从长方形ABCD的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面．设长方体的底面边长为x(cm)，高为y(cm)，体积为V(cm3)．求：
(1) x与y的关系式；
(2) 该铁皮盒体积V的最大值．
在平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1＝0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为 6.
(1) 求圆O的方程；
(2) 若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于点D、E，当DE长最小时，求直线l的方程；
(3) 设M、P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交x轴于点(m,0)和(n,0)，问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
已知函数f(x)＝(ax2＋x)e x，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1) 当a＜0时，解不等式f(x)＞0；
(2) 若f(x)在[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围；
(3) 当a＝0时，求整数k的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[k，k＋1]上有解．
设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n＋1＝pS n＋q(p，q为常数，n∈N*)，且a1＝2，a2＝1，a3＝q－3p.
(1) 求p、q的值；
(2) 求数列{a n}的通项公式；
(3) 是否存在正整数m、n，使S n－m
S n＋1－m ＜
2m
2m＋1
成立？若存在，求出所有符合条件的有序
数对(m，n)；若不存在，说明理由.
2012届高三调研测试试卷(三)
数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题给分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修41：几何证明选讲
如图，∠PAQ 是直角，圆O 与AP 相切于点T ，与AQ 相交于两点B 、C.求证：BT 平分∠OBA.
B. 选修42：矩阵与变换
若点A(2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤cosα －sinαsinα cosα对应变换的作用下得到的点为B(－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．
C. 选修44：坐标系与参数方程
在极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcosθ－3＝0上的动点，B 为直线ρcosθ＋ρsinθ－7＝0上的动点，求AB 的最小值．
D. 选修45：不等式选讲
已知a 1，a 2，…，a n 都是正数，且a 1·a 2…·a n ＝1，求证：(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n .
【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 如图，已知面积为1的正三角形ABC 三边中点分别为D 、E 、F ，从A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X(三点共线时，规定X ＝0)．求：
(1) P ⎝
⎛⎭⎫X ≥12； (2) E(X)．
23.如图，过抛物线C ：y 2＝4x 上一点P(1，－2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．
(1) 求y 1＋y 2的值；
(2) 若y1≥0，y2≥0，求△PAB面积的最大值．
2012届高三调研测试试卷(三)(徐州)
数学参考答案及评分标准
1. {2,3}
2. 0
3. 650
4. 21
5. 112
6. 2
7. 2
8. 12
9. 13 10. 2 11. 33
12. 2π 13. 1 006 14. ⎣⎢
⎡⎭
⎪
⎫2－24，12 15. 解：(1) 因为a ⊥b ，所以4×3＋5cosα×(－4tanα)＝0，(2分) 解得sinα＝3
5，又因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，(4分) 所以cosα＝45，tanα＝sinαcosα＝3
4
，(6分)
所以a ＋b ＝(7,1)，因此|a ＋b|＝72＋12＝5 2.(8分) (2) cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cosαcos π4－sinαsin π
4(12分) ＝45×22－35×22＝2
10
.(14分) 16. (1) 证明：取BC 中点G ，连结AG 、EG ， 因为E 是B 1C 的中点，所以EG ∥BB 1，
且EG ＝1
2BB 1.
由直棱柱知，AA 1BB 1，而D 是AA 1的中点，
所以EG
AD ，(4分)
所以四边形EGAD 是平行四边形， 所以ED ∥AG ，又DE 平面ABC ，
AG 平面ABC
所以DE ∥平面ABC.(7分)
(2) 解：因为AD ∥BB 1，所以AD ∥平面BCE ，
所以V E BCD ＝V D BCE ＝V A BCE ＝V E ABC ，(10分) 由(1)知，DE ∥平面ABC ，
所以V E ABC ＝V D ABC ＝13AD·12BC·AG ＝1
6×3×6×4＝12.(14分)
17. 解：(1) 由题意得x 2＋4xy ＝4 800， 即y ＝4 800－x 2
4x ，0＜x ＜60.(6分)
(2) 铁皮盒体积
V(x)＝x 2y ＝x 2
4 800－x 24x ＝－1
4
x 3＋1 200x ，(10分) V ′(x)＝－3
4x 2＋1 200，令V ′(x)＝0，得x ＝40，(12分)
因为x ∈(0,40)，V ′(x)＞0，V(x)是增函数； x ∈(40,60)，V ′(x)＜0，V(x)是减函数，
所以V(x)＝－1
4x 3＋1 200x ，在x ＝40时取得极大值，也是最大值，其值为32 000 cm 3.
答：该铁皮盒体积V 的最大值是32 000 cm 3.(14分) 18. 解：(1) 因为O 点到直线x －y ＋1＝0的距离为1
2
，(2分) 所以圆O 的半径为
⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭
⎫622＝2， 故圆O 的方程为x 2＋y 2＝2.(4分)
(2) 设直线l 的方程为x a ＋y
b ＝1(a ＞0，b ＞0)，即bx ＋ay －ab ＝0，
由直线l 与圆O 相切，得
|ab|a 2＋b 2
＝2，即1a 2＋1b 2＝1
2，(6分)
DE 2＝a 2＋b 2＝2(a 2＋b 2)⎝⎛⎭⎫
1a 2＋1b 2≥8，
当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(10分)
(3) 设M(x 1，y 1)，P(x 2，y 2)，则N(x 1，－y 1)，x 21＋y 21＝2，x 22＋y 2
2＝2，
直线MP 与x 轴交点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1，0，m ＝x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1，
直线NP 与x 轴交点⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1，0，n ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1，(14分)
mn ＝x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1·x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝x 21y 22－x 22y 21y 22－y 21＝(2－y 21)y 22－(2－y 22)y 2
1
y 22－y 2
1
＝2， 故mn 为定值2.(16分)
19. 解：(1) 因为e x ＞0，所以不等式f(x)＞0即为ax 2＋x ＞0， 又因为a ＜0，所以不等式可化为x ⎝⎛⎭⎫x ＋1
a ＜0， 所以不等式f(x)＞0的解集为⎝
⎛⎭⎫0，－1
a .(4分) (2) f ′(x)＝(2ax ＋1)e x ＋(ax 2＋x)e x ＝[ax 2＋(2a ＋1)x ＋1]e x ，
① 当a ＝0时，f ′(x)＝(x ＋1)e x ，f ′(x)≥0在[－1,1]上恒成立，当且仅当x ＝－1时取等号，故a ＝0符合要求；(6分)
② 当a ≠0时，令g(x)＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋1，因为Δ＝(2a ＋1)2－4a ＝4a 2＋1＞0， 所以g(x)＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，不妨设x 1＞x 2， 因此f(x)有极大值又有极小值． 若a ＞0，因为g(－1)·g(0)＝－a ＜0，所以f(x)在(－1,1)内有极值点， 故f(x)在[－1,1]上不单调．(8分) 若a ＜0，可知x 1＞0＞x 2，
因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在[－1,1]上单调，因为g(0)＝1＞0，
必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)≥0g (－1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧
3a ＋2≥0－a ≥0
，所以－2
3≤a ＜0.
综上可知，a 的取值范围是⎣⎡⎦
⎤－2
3，0.(10分) (3) 当a ＝0时，方程即为xe x ＝x ＋2，由于e x ＞0，所以x ＝0不是方程的解， 所以原方程等价于e x －2x －1＝0，令h(x)＝e x －2
x
－1，
因为h ′(x)＝e x ＋2
x 2＞0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，
所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调增函数，(13分)
又h(1)＝e －3＜0，h(2)＝e 2－2＞0，h(－3)＝e －3－13＜0，h(－2)＝e －
2＞0，
所以方程f(x)＝x ＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1,2]和[－3，－2]上， 所以整数k 的所有值为{－3,1}．(16分)
20. 解：(1) 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ S 2＝pa 1＋q S 3＝pS 2＋q ，即⎩⎪⎨⎪⎧
3＝2p ＋q
3＋q －3p ＝3p ＋q ，解之得⎩⎪
⎨⎪⎧
p ＝1
2q ＝2
.(4分)
(2) 由(1)知，S n ＋1＝1
2S n ＋2， ①
当n ≥2时，S n ＝1
2S n －1＋2， ②
①－②得，a n ＋1＝1
2
a n (n ≥2)，(6分)
又a 2＝12a 1，所以a n ＋1＝12a n (n ∈N *)，所以{a n }是首项为2，公比为1
2的等比数列，
所以a n ＝1
2
n －2.(8分)
(3) 由(2)得，S n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，由S n －m S n ＋1－m ＜2m
2m ＋1，得
4⎝⎛⎭
⎫1－1
2n －m 4⎝⎛⎭
⎫1－12n ＋1－m ＜2m 2m ＋1，即2n (4－m )－42n (4－m )－2＜2m
2m ＋1，(10分)
即
2
2n(4－m)－2
＞
1
2m＋1
，因为2m＋1＞0，所以2n(4－m)＞2，
所以m＜4，且2＜2n(4－m)＜2m＋1＋4，(*)
因为m∈N*，所以m＝1或2或3.(12分)
当m＝1时，由(*)得，2＜2n×3＜8，所以n＝1；
当m＝2时，由(*)得，2＜2n×2＜12，所以n＝1或2；
当m＝3时，由(*)得，2＜2n＜20，所以n＝2或3或4，
综上可知，存在符合条件的所有有序实数对(m，n)为(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,2)，(3,3)，(3,4)．(16分)
高三数学附加题试卷(三)参考答案 第页(共2页)2012届高三调研测试试卷(三)(徐州)
数学附加题参考答案及评分标准
21. A. 证明：连结OT ，因为AT 是切线，所以OT ⊥AP.又因为∠PAQ 是直角，即AQ ⊥AP ，所以AB ∥OT ，所以∠TBA ＝∠BTO.(5分)
又OT ＝OB ，所以∠OTB ＝∠OBT ，
所以∠OBT ＝∠TBA ， 即BT 平分∠OBA.(10分)
B. 解：由题意知，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cosα－2sinα2sinα＋2cosα＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ cosα－sinα＝－1sinα＋cosα＝1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
cosα＝0sinα＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0 －11 0.(5分)
由M －1M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
1
00
1，解得M －1
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 0
1－1
0.(10分)
另解：矩阵M 的行列式|M|＝⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
1－1
0＝1≠0，所以M －1
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－1
0. C. 解：圆方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，圆心(－1,0)，直线方程为x ＋y －7＝0，(5分)
圆心到直线的距离d ＝|－1－7|
2
＝42，所以(AB)min ＝42－2.(10分)
D. 证明：因为a 1是正数，所以2＋a 1＝1＋1＋a 1≥33
a 1，(5分) 同理2＋a j ＝1＋1＋a j ≥33
a j (j ＝2,3，…n)，
将上述不等式两边相乘，得(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n ·3
a 1·a 2·…·a n ， 因为a 1·a 2·…·a n ＝1，所以(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n .(10分) 22. 解：(1) 从六点中任取三个不同的点共有C 36＝20个基本事件，
事件“X ≥1
2”所含基本事件有2×3＋1＝7，
从而P ⎝⎛⎭⎫X ≥12＝7
20.(5分) (2) X 的分布列为
则E(X)＝0×320＋14×1020＋12×620＋1×120＝13
40.
答：P ⎝⎛⎭⎫X ≥12＝720，E(X)＝13
40
.(10分) 23. 解：(1) 因为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在抛物线C ：y 2＝4x 上， 所以A ⎝⎛⎭⎫y 2
14，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 2
24，y 2，k PA ＝y 1＋2y 214
－1
＝4(y 1＋2)y 21－4＝4y 1－2
， 同理k PB ＝
4
y 2－2
，依题有k PA ＝－k PB ， 因为4y 1－2＝－4y 2－2
，所以y 1＋y 2＝4.(4分)
(2) 由(1)知k AB ＝y 2－y 1y 224－y 214
＝1，设AB 的方程为y －y 1＝x －y 214，即x －y ＋y 1－y 21
4＝0，
P 到AB 的距离为d ＝
⎪
⎪⎪⎪
3＋y 1－y 2
142
，AB ＝2⎪⎪⎪⎪y 214－y 2
24＝2|y 1－y 2|＝22|2－y 1|，
所以S △PAB ＝12
×
⎪
⎪⎪⎪
3＋y 1－y 2
142
×22|2－y 1|＝14|y 21
－4y 1－12||y 1－2|
＝1
4
|(y 1－2)2－16||y 1－2|，(8分) 令y 1－2＝t ，由y 1＋y 2＝4，y 1≥0，y 2≥0，可知－2≤t ≤2.S △PAB ＝1
4|t 3－16t|，
因为S △PAB ＝1
4
|t 3－16t|为偶函数，只考虑0≤t ≤2的情况，
记f(t)＝|t 3－16t|＝16t －t 3，f ′(t)＝16－3t 2＞0，故f(t)在[0,2]上是单调增函数，故f(t)的最大值为f(2)＝24，故S △PAB 的最大值为6.(10分)。