浙江省台州市10-11学年高二下学期六校联考试题数学理

台州市2010学年
第二学期高二年级六校联考月考试卷
数 学（理） 2011年4月
试题总分值：150分 考试时间：120分钟
命题：临海杜桥中学 蒋 敏 审题：临海杜桥中学 郑吕斌
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1. 下列语句是命题的是（ ▲ ）
A ．这是一道难题
B ．0.5是整数
C ．1x >-
D ．指数函数是增函数吗？ 2．抛物线x y =2
的准线方程是（ ▲ ） A. B.21-
=x C. D.4
1-=x 3．已知:225p +=，:32q >，则下列判断正确的是（ ▲ ）
A ．“p 或q ”为假，“非q ”为假
B ．“p 或q ”为真，“非q ”为假
C ．“p 且q ”为假，“非p ”为假
D ．“p 且q ”为真，“p 或q ”为假 4．“4x y +>”是“2x >且2y >”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ． 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.椭圆2
2
41x y +=的离心率为（ ▲ ）
A ．
1
2
B ．2
C
D 6．命题“2
,210x x x ∃∈-+<R ”的否定是（ ▲ ） A ．2
,210x x x ∃∈-+≥R
B ．2
,210x x x ∃∈-+>R
C ．2,210x x x ∀∈-+≥R
D ．2
,210x x x ∀∈-+<R 7．直线1()y kx k R =+∈与椭圆恒有公共点，则实数m 的取值范围为（ ▲ ） A ． B ．(0,5) C ． D ．[1,)+∞
8．抛物线x y 42
=上的点p 到抛物线的准线的距离为1d ,到直线0943=+-y x 的距离为
2d ,则21d d +的最小值为( ▲ )
A ．
5 B ．5
6 C ．2 D ．12
5
9．已知点12F F 、分别是双曲线22
221x y a b
-=的左右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线与双曲
线交于A B 、两点，若1ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是( ▲ )
A ．1,)+∞
B ．
C ．(1,1+
D ．)+∞ 10．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，
在月球附近一点P 进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①1122;a c a c +=+ ②1122;a c a c -=- ③12
12
.c c a a < ④2112;a c a c > 其中正确式子的序号是（ ▲ ）
A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11．椭圆
22
1169x y +=的右焦点F 的坐标为 ▲ . 12．双曲线
22
1169
x y -=的渐近线方程是 ▲ 13．设P 为双曲线2
214
x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 ▲
14．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线2
y x =的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 ▲ ．
15．如图，河道上有一座抛物线型拱桥,在正常水位时,
16m
拱圈最高点距水面为8m ,拱圈内水面宽16 m ., 为保证安全，要求通过的船顶部（设为平顶）与拱桥顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m.一条船顶部宽4m ，要使这艘船安全通过，则船在水面以上部分高不能超过 ▲ 米.
16．设命题:0211,p x ≤-≤命题2:(21)(1)0.q x a x a a -+++≤若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ▲
17．如图，P 是双曲线)0,0,0(122
22≠>>=-xy b a b
y a x 上的动点，F 1、F 2是双曲线的焦点，
M 是21PF F ∠的平分线上一点，且2.F M MP ⊥某同学用以下方法研究|OM|：延长M F 2交1PF 于点N ，可知2PNF ∆为等腰三角形，且M 为2F N 的中点，得11
||||,,||.2
OM NF OM a =
=类似地：P 是椭圆
)0,0(12
2
22≠>>=+xy b a b y a x 上的动点，F 1、F 2是椭圆的焦点，M 是21PF F ∠的平分线上一点，且2F M MP ⊥，则|OM|的取值范围是 ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18．（本题满分14分）
已知命题“若a b >，则1a b +>”，写出它的逆命题、否命题和逆否命题， 并判断它们的真假. 19．（本题满分14分） (1)求中心在原点，一个焦点为(3，0)，且长轴长是短轴长2倍的椭圆的标准方程； (2)求渐近线为2y x =±，且经过点的双曲线的标准方程． 20.（本题满分14分）
设命题p :对任意实数，不等式2
2x x m ->恒成立；命题:曲线
22
135x y m m
+=--是双曲线. (1)若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；
(2)若命题“”为真命题，且“p q ∧”为假命题，求实数的取值范围. 21．（本题满分15分）
已知动点P 与平面上两定点(1,0),(1,0)A B -连线的斜率的积为定值2-. （1）试求动点P 的轨迹方程C ；
（2）设直线:21l y x =+与曲线C 交于M 、N 两点，求MNO ∆的面积． 22．（本题满分15分）
如图，已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在y 正半轴上，且焦点到准线的距离为2，直线2=y 与抛物线C 相交于N M ,两点，点B A ,在抛物线C 上. （1）求抛物线C 的方程；
（2）若,AMN BMN ∠=∠求证：直线AB 的斜率为定值；
（3）若直线AB 的斜率为,2且点N 到直线MB MA ,的距离的和为8，试判断MAB ∆
的形状，并证明你的结论．
高二年级月考数学（理）参考答题卷案
一、选择题（每小题5分，共50分）
二、填空题（每格4分，共28分）
11． 0) 12． 3
4
y x =±
13． 22
41x y -= 14． 215． 7 16． 1
02
a ≤≤
17．
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18．（本题满分14分）
已知命题“若a b >，则1a b +>”，写出它的逆命题、否命题和逆否命题， 并判断它们的真假.
解：逆命题：若1a b +>，则a b >； 假命题 …………………4分
否命题：若a b ≤，则1a b +≤； 假命题 …………………10分
逆否命题：若1a b +≤，则a b ≤； 真命题 …………………14分 19．（本题满分14分）
(1)求中心在原点，一个焦点为(3，0)，且长轴长是短轴长2倍的椭圆的标准方程； (2)求渐近线为2y x =±，且经过点的双曲线的标准方程．
解：(1)由题可设所求椭圆方程为22
22 1 (0)x y a b a b
+=>>
则有2232a b a b ⎧-=⎨=⎩，解得2
2
41
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即所求的椭圆方程为
22
1 4x y += ………………7分 (2可设以2y x =±为渐近线的双曲线方程为2
2
(0)4
y x -=≠λλ
又双曲线经过点，所以有2
2
2 4
-=λ，即1=λ 所以所求的双曲线方程为2
2
1 4
y x -= ………………… 14分
20.（本题满分14分）
设命题p :对任意实数，不等式2
2x x m ->恒成立；命题:曲线
22
135x y m m
+=--是双曲线. (1)若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；
(2)若命题“”为真命题，且“p q ∧”为假命题，求实数的取值范围.
解：(1) 曲线
22
135x y m m
+=--是双曲线， ∴ 3m <或
即命题q 为真命题时实数m 的取值范围是3m <或 ………………………3分
（2）若命题p 真，即对任意实数，不等式220x x m -->恒成立。

440m ∆=+<，
∴ …………………………………………………6分 P ∨Q 为真命题，P ∧Q 为假命题，即P 真Q 假，或P 假Q 真， 如果P 真Q 假，则有1
35
m m <-⎧⎨≤≤⎩，∴无解 ………………………9分
如果P 假Q 真，则有1
35
m m m ≥-⎧⎨
<>⎩或．∴或5m >………………………12分
所以实数的取值范围为13m -≤<或……………………………14分
21．（本题满分15分）
已知动点P 与平面上两定点(1,0),(1,0)A B -连线的斜率的积为定值2-. （1）试求动点P 的轨迹方程C ；
（2）设直线:21l y x =+与曲线C 交于M 、N 两点，求MNO ∆的面积． （1）解：设点(,)P x y ，则依题意有
211
y y
x x ⋅=-+-，┅┅┅3分 整理得2
2
1.2
y x +=由于1x ≠±， 所以求得的曲线C 的方程为2
2
1.2
y x +=(1x ≠±) ┅┅┅7分
（2）由22
21,:6410.22 1.y x y x x y x ⎧+=⎪+-=⎨⎪=+⎩
消去得 ┅┅┅8分 设1122(,),(,)M x y N x y ,则121221
,36
x x x x +=-⋅=-
┅┅┅10分
12|||MN x x =-== ┅┅┅12分 又原点O 到直线:21l y x =+
的距离d =
所以11||22S MN d =
⋅==
即MNO ∆
的面积为6 ┅┅┅15分 22. （本题满分15分）
如图，已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在y 正半轴上，且焦点到准线的距离为2，直线2=y 与抛物线C 相交于N M ,两点，点B A ,在抛物线C 上. （1）求抛物线C 的方程；
（2）若,AMN BMN ∠=∠求证：直线AB 的斜率为定值；
（3）若直线AB 的斜率为,2且点N 到直线MB MA ,的距离的和为8，试判断MAB ∆
的形状，并证明你的结论．
解：（1）由题可设抛物线C 的方程为2
2x py =， 焦点到准线的距离为2，即2p =
所以抛物线C 的方程为2
4x y = …………3分 （2）设),,(),,(2211y x B y x A 直线AM 的斜率为,k
,AMN BMN ∠=∠ 所以直线BM 的斜率为,k -
可求得),2,22(),2,22(N M -则直线AM 的方程为2)22(-+=x k y ，
代入y x 42
=
得2
x 4kx 80---=，
A 11x x 8x 4k =--∴=+
同理,2242+-=k x 24
4421212
2
212121=+=--
=--=x x x x x x x x y y k AB
．…………9分。