冀教版2020九年级数学上册第二十四章一元二次方程自主学习培优提升训练题1(附答案详解)

冀教版2020九年级数学上册第二十四章一元二次方程自主学习培优提升训练题1（附答案详解）
1．若x 1和x 2为一元二次方程x 2+2x ﹣1＝0的两个根．则x 12x 2+x 1x 22值为（ ） A ．42
B ．2
C ．4
D ．3
2．已知2是关于x 的方程x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为( ) A ．6
B ．4
C ．5
D ．4或5
3．一元二次方程－1＝0的根是（ ） A ．x =1
B ．x =-1
C ．
D ．
4．用配方法解下列方程是，配方有错误的是（ ） A ．23420x x --=化为2
210()3
9
x -=
B ．22740t t --=化为2
781()4
16
t -=
C ．2890x x ++=化为2(4)25x +=
D ．22990x x --=化为2(1)100x -=
5．方程225x x -=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个相等的实数根
D ．有一个实数根
6．小刚在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）时，只抄对了a ＝1，b ＝3，解出其中一个根是x ＝﹣1．他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2．则原方程的根的情况是（ ） A ．不存在实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．有一个根是x ＝﹣1
D ．有两个相等的实数根
7．两个连续偶数之积为168，则这两个连续偶数之和为( ) A ．26
B ．－26
C ．±26
D ．都不对
8．一元二次方程092
=-x 的根是（ ）．
A ．9=x
B ．9±=x
C ．3=x
D ．3±=x
9．已知关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋m =0有两个相等的实数根，设两根为x 1，x 2，则12x x 的值是（ ）A ．1 B ．-1
C ．2
D ．-2
10．用配方法解一元二次方程2
670x x --=，则方程可变形为（ ）
A ．2(6)43x -=
B ．2(6)43x +=
C ．2(3)16x -=
D ．2
(3)16x += 11．方程2280x +=的根为（ ）
12．下列方程中，属于一元二次方程的是 （ ） A ．x-1=2x-3 B ．2x-x²=0 C ．3x-2=y D ．
21
30x x
-+= 13．在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a 2﹣b 2，根据这个规则：若（x+2）△5=0，则x=__________. 14．方程
的解是 ．
15．将一元二次方程4x 2＝－2x ＋7化为一般形式，其各项系数的和为__________． 16．方程()()2153x x x -=+的一般形式是________． 17．一元二次方程092=-x 的根是 ． 18．若1是方程x 2-2x-m=0的根，则m = ▲ ．
19．对于有理数,a b ，定义min{,}a b 的含义为：当a b ≥时，}{
min ,a b b =；当a b ≤时，}{
min ,a b a =.若}{
2
2
min 13,6413m n m n
---=，则n
m
的值等于____．
20．已知m 是方程x 2
－x －3＝0的一个实数根，则代数式（m 2
－m ）（m － ＋1）的值为 ；
21．如图，某工厂师傅要在一个面积为15m 2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1m ，则裁剪后剩下的阴影部分的面积为 ．
22．若方程x 2－14x +48=0的两根分别是直角三角形的两直角边长，则斜边长为___________ ，斜边上的高为____________．
23．若关于x 的一元二次方程2340x x k ++=有实数根，则k 的非负整数值是______． 24．a 是方程x 2+x ﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a 2﹣2a +2020的值是________ 25．若一个整数能表示成22a b +（,a b 是整数）的形式，则称这个数为“平和数”，例如13是“平和数”，因为221323=+，再如，2
2
2
2
22()M x xy y x y y =++=++（,x y
是整数），我们称M 也是“平和数”.
（1）请你写一个小于10的“平和数”，并判断18是否为“平和数”.
（2）已知22
544S x y xy y k =++-+（,x y 是整数，k 是常数），要使S 为“平和数”，
试求出符合条件的一个k 值，并说明理由.
26．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
27．先化简：2211m m m m m ++⎛⎫+÷ ⎪⎝
⎭，再求值，其中m 是方程220x x --=的根．
28．解方程：x 2-3x-7=0．
29．如图，△ABC ，∠B=90°，点P 由A 开始沿AB 向B 运动，速度是1cm/s ，点Q 由B 开始沿BC 向C 运动，速度是2cm/s ，如果P 、Q 同时出发，经过多长时间△PBQ 的面积等于7cm 2，请列出方程估计解的大致范围（误差不超过0.01s ）．
30．解方程 ()2
18x += 31．解下列方程：
（1）x 2﹣4x ﹣3=0 （2）3x （x+1）=3x+3．
32．（本题满分10分） 已知关于的一元二次方程为
．
（1）试说明此方程有两个不相等的实数根； （2）当
为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
33．某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租．设每间客房每天的定价增加x 元，宾馆出租的客房为y 间．求：
()1y 关于x 的函数关系式；
()2如果某天宾馆客房收入38400元，那么这天每间客房的价格是多少元？
34．已知m 是一元二次方程2320x x --=的实数根，求代数式(1)(1)1
m m m
+--的值．
35．已知关于x 的一元二次方程x 2+kx ﹣6＝0的一个根是2．求方程的另一个根及k 的值．
36．关于x 的一元二次方程2
(2)2(1)10m x m x m ---++=． （1）m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）m 为何值时，方程没有实数根？
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
先根据方程求出两根之和与两根之积的值，然后再根据x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2），代入求值．【详解】
∵x1，x2是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根；
∴x1+x2=-2，x1x2=-1；
x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=2．
故选B.
【点睛】
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
2．C
【解析】
【分析】
将x=2代入方程求得m的值，继而可还原方程，因式分解法求解得出x的值，根据等腰三角形的性质分类讨论，结合三角形三边间的关系即可得出答案．
【详解】
将x=2代入方程得：4−2(m+1)+m=0，
解得：m=2，
则方程为x2−3x+2=0，
即(x−1)(x−2)=0，
解得：x=1或x=2，
当三角形的三边为1、1、2时，1+1=2，不能构成三角形，舍去；
当三角形的三边为1、2、2时，三角形的周长为1+2+2=5，
故选C.
【点睛】
考查了一元二次方程的解，等腰三角形的性质等，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解.
3．D
【解析】
【分析】
先移项，再用直接开平方法求解即可.
【详解】
∵－1＝0，
∴=1，
∴.
故选D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
4．C
【解析】
【分析】
根据配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，分别进行解答即可得出答案．
【详解】
解：A、3x2-4x-2=0化为（x-2
3
）2=
10
9
，正确；
B、2t2-7t-4=0化为（t-7
4
）2=
81
16
，正确；
C、x2+8x+9=0化为（x+4）2=7，故本选项错误；
D、x2-2x-99=0化为（x-1）2=100，正确；
故选：C．
【点睛】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5．A
【解析】
一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0时，方程有两个不相等的实数根；△=0时，方程有两个相等的实数根；△＜0时，方程没有实数根.本题中△=()2
2-+20=24＞0，所以有两个不相等的实数根. 【详解】
方程225x x -=即为2250x x --=, ∵a=1,b=﹣2,c=﹣5, ∴△=24b ac -=24＞0.
∴方程有两个不相等的实数根，故选A. 【点睛】
本题的考点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0时，方程有两个不相等的实数根；△=0时，方程有两个相等的实数根；△＜0时，方程没有实数根. 6．A 【解析】 【分析】
直接把已知数据代入，进而得出c 的值，再解方程求出答案． 【详解】
解：∵小刚在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）时，只抄对了a ＝1，b ＝3，解出其中一个根是x ＝﹣1， ∴（﹣1）2﹣3+c ＝0， 解得：c ＝2， 故原方程中c ＝4，
则b 2﹣4ac ＝9﹣4×
1×4＝﹣7＜0， 则原方程的根的情况是不存在实数根． 故选：A ． 【点睛】
此题主要考查了一元二次方程解的意义，根的判别式，正确得出c 的值是解题关键． 7．C 【解析】
设两个偶数中较小的一个是x ，则较大的一个是x+2，根据两个连续偶数之积是168，根据偶数的定义列出方程即可求解． 【详解】
设一个偶数为x ，则另一个偶数为x +2， 则有x (x +2)=168，
解得1x =12,2
x =14. 当1x =12时，x +2=14； 当2x =−14时，x +2=−12.
∴二者之和为12+14=26或−14−12=−26. 故选：C. 【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，关键是偶数的概念要熟记,从而正确设出偶数,根据积作为等量关系列方程求解. 8．D. 【解析】
试题分析：将常数项移到方程右边，直接开平方求得方程的解. ∵092
=-x ∴2
9x = ∴3x =± 故选D.
考点:一元二次方程的解法—直接开平方法. 9．A 【解析】 【分析】
根据方程有两个相等的实数根时△＝24b ac -＝0列出方程，得到m 的值，再根据根与系数的关系，表示出12=x x m ，把m 的值带入即可得答案．
解：根据题意，得：△＝24b ac -()2
24m =--＝0 ，即()2
240m --=， 解得1m =，
12m x x =， 121x x ∴=，
故答案选；A ． 【点睛】
本题主要考查根与系数的关系以及根的判别式△＝24b ac -，熟记相关的公式是解决此题的关键． 10．C ． 【解析】
试题分析：∵x 2
﹣6x ﹣7=0， ∴x 2
﹣6x=7， ∴x 2﹣6x+9=7+9， ∴（x ﹣3）2
=16． 故选C ．
考点：解一元二次方程-配方法． 11．D 【解析】 【分析】
移项，化成()2
0x b b =≥的形式，用直接开平方法可解.
【详解】
方程2280x +=化为240x =-<，方程没有实数根。

故选：D 【点睛】
根据方程的特点，灵活应用解题方法是关键. 12．B
【解析】试题解析：A 、最高次数是1次，是一次方程，故选项错误；
D 、含有2个未知数，故选项错误； D 、是分式方程，故选项错误． 故选B ．．
考点：一元二次方程的定义． 13．3或-7 【解析】 【分析】
利用开平方法解一元二次方程 【详解】
根据题意的新定义运算可得（x+2）△5=2
(2)x +-25=0，
解得：x 1=3,x 2=-7
再利用开平方法解一元二次方程可得答案. 【点睛】
本题考查了对新定义的理解和解一元二次方程，能仔细读题并理解其中含义是解题 14．，
．
【解析】 试题分析：
，
∴(2)1)0x x +-=（，∴，．故答案为，
．
考点：解一元二次方程-因式分解法． 15．-1 【解析】 【分析】
通过移项，把已知方程转化为一般形式，然后根据二次项系数、一次项系数、常数项的定义知，它们的和是4+2-7=-1． 【详解】
解：由原方程，得 4x 2+2x-7=0，
所以它的二次项系数、一次项系数与常数项分别是4、2、-7，
则它们的和是：4+2-7=-1．
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
16．226150x x --=
【解析】
【分析】
首先去括号，再移项合并同类项，把方程化为20ax bx c ++=（a ，b ，c 是常数且a≠0）的形式即可．
【详解】
x (2x −1)=5(x +3)，
2x 2−x =5x +15，
2x 2−x −5x −15=0，
226150x x --=，
故答案为：226150x x --=
【点睛】
考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为：20ax bx c ++=（a b c ，，是常数且a ≠0）
17．32,1±=x
【解析】
试题分析：092=-x ，2129,3,3,3x x x x ==±==-
考点：一元二次方程的根.
18．-1
【解析】
把x=1代入方程解得m =-1
19．19
【解析】
【分析】
根据6m-4n-m 2-n 2与13的大小，确定m ，n 的值．
【详解】
解：∵min{13，6m-4n-m 2-n 2}=13，
∴13≤6m -4n-m 2-n 2．
整理，得（m-3）2+（n+2）2≤0，
∴m-3=0，n+2=0．
解得m=3，n=-2．
∴m n =3-2=
19
． 故答案是：19． 【点睛】
考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
【答案】6
【解析】
试题解析：解：因为m 是方程x 2－x －3＝0的一个实数根，
所以m 2－m －3＝0，
所以m 2－m ＝3，
把m 2－m －3＝0两边同时除以， 可得：310m m --
=， 所以31m m
-=， 所以()231m m m m ⎛
⎫--+ ⎪⎝⎭
＝3×（1＋1）＝6. 考点：一元二次方程
点评：本题主要考查了一元二次方程的解：一元二次方程的解使一元二次方程左右两边的值
相等；使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值是一元二次方程的解.
21．2m2
【解析】
试题分析：设大正方形的边长为x米，表示出小正方形的边长，根据总面积为15平方米列出方程求解即可．
设大正方形的边长xm，则小正方形的边长为（x﹣1）m，
根据题意得：x（2x﹣1）=15，解得：x1=3，x2=﹣2.5（不合题意舍去），
小正方形的边长为（x﹣1）=3﹣1=2，裁剪后剩下的阴影部分的面积=15﹣22﹣32=2（m2），答：裁剪后剩下的阴影部分的面积2m2．
考点：一元二次方程的应用．
22．10 4.8
【解析】
【分析】
先解出方程x2-14x+48=0的两个根为6和8，再根据勾股定理可求得斜边长，然后再利用等积法即可求得斜边上的高.
【详解】
∵x2-14x+48=0，
∴x=6和x=8，
即直角三角形的两直角边长分别为6，8，
=10，
设斜边上的高为h，则有：11
6810
22
h ⨯⨯=⨯，
解得：h=4.8，
故答案为：10，4.8.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的面积，正确求出直角三角形的两直角边的长是解题的关键.
23．1、0
【解析】
【分析】
由一元二次方程有实数根列不等式，即可得到答案.
【详解】
∵方程2340x x k ++=有实数根，
∴∆0≥，
∴16-12k 0≥， 解得43
k ≤， ∴k 的非负整数值是1、0，
故答案为：1、0.
【点睛】
此题考查一元二次方程的根的实际应用，解一元一次不等式，求不等式的整数解，正确掌握一元二次方程的根的三种情况是解题的关键.
24．2018
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的定义得到a 2＋a ＝1，再把－2a 2－2a ＋2020变形为－2（a 2＋a ）＋2020，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵a 是方程x 2＋x －1＝0的一个根，
∴a 2＋a －1＝0，即a 2＋a ＝1，
∴－2a 2－2a ＋2020＝－2（a 2＋a ）＋2020＝－2×1＋2020＝2018．
故答案为：2018．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
25．（1）2，18是平和数；（2）4，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用“平和数”的定义可得；
（2）利用配方法，将S 配成平和数，可求k 的值.
【详解】
（1）∵2=12+12，
∴2是平和数.
∵18=32+32，
∴18是平和数.
（2）∵22544S x y xy y k =++-+=22(2)(2)4x y y k ++-+-，
∴k =4时，S 是平和数.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，配方法的运用，理解题目表述的意思是解达本题的关键. 26．10%
【解析】
试题分析: 设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可.
试题解析:
解：设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ，根据题意得
10（1+x ）2=12.1，
解得x=0.1，或x=-2.2（不合题意舍去）．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%.
27．6.
【解析】
【分析】
根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据m 是方程x 2-x-2=0的根且m+1≠0，m≠0，可以得到m 的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】 解：2211m m m m m
++⎛
⎫+÷ ⎪⎝⎭
=22
211
m m m m m ++⋅+ =22
(1)1
m m m m +⋅+ =m （m +1）
=m 2+m ，
由x 2-x -2=0，得
x 1=2，x 2=-1，
∵m +1≠0，m ≠0，m 是方程x 2-x -2=0的根，
∴m =2，
当m =2时，原式=22+2=6．
【点睛】
本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
28．x 1=32+，x 2=32
-． 【解析】
试题分析：利用求根公式来解方程．
试题解析：在方程x 2-3x-7=0中，a=1，b=-3，c=-7．则
==
解得 x 1，x 2． 考点：解一元二次方程-公式法．
29．方程解的范围在4.41～4.42之间或1.58～1.59之间
【解析】
【分析】
设相应的时间为未知数，易得PB 与BQ 的长，根据△PBQ 的面积等于7 cm 2列出相应方程，采用配方法求解，利用2√及-2√的取值范围判断x 的取值即可．
【详解】
解：设经过x 秒，△PBQ 的面积等于7cm 2，列方程得·2x ·（6﹣x ）=7．
整理得x 2﹣6x +7=0，
配方得（x ﹣3）2=2，
∴x ﹣3=
或x ﹣3=﹣； ∵1.41＜ ＜1.42；﹣1.42＜﹣
＜﹣1.41， ∴1.41＜x ﹣3＜1.42；﹣1.42＜x ﹣3＜﹣1.41
∴4.41＜x ＜4.42或1.58＜x ＜1.59
答：方程解的范围在4.41～4.42之间或1.58～1.59之间
【点睛】
考查一元二次方程的应用；得到△PBQ 的面积的等量关系是解决本题的关键；难点在于根据2√及-2√的取值范围判断相应取值．
30．x 12-1,x 22-1
【解析】
【分析】
直接利用直接开方法进行计算即可.
【详解】
()218x +=
x+1=±2
x 12-1,x 22-1
【点睛】
此题考查解一元二次方程-直接开方法，掌握步骤与方法是解题的关键． 31．(1)122727
x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ (2) 1211x x ⎧=-⎨=⎩
【解析】 【试题分析】根据因式分解法解一元二次方程.
【试题解析】
（1）移项得，x 2﹣4x=3，
配方，x 2﹣4x+4=3+4，
（x ﹣2）2=7，
x ﹣2=±
， x 1=2+，x 2=2﹣；
（2）移项得，3x （x+1）﹣3x ﹣3=0，
因式分解得，3x （x+1）﹣3（x+1）=0，
3（x+1）（x ﹣1）=0，
于是得，x+1=0或x ﹣1=0，
x 1=﹣1，x 2=1．
32．（1）见解析；（2）m=2. 【解析】
试题分析：利用根的判别式进行说明；首先求出方程的解，然后进行计算.
试题解析：△===4
∴当m≠1时，此方程有两个不相等的实数根. （2）由求根公式可得，∴，
∴当m=2时，此方程有两个正整数根1、3.
考点：根的判别式、解一元二次方程.
33．（1）y=-
25x+200；（2）这天的每间客房的价格是200元或480元． 【解析】 【分析】
（1）根据题意直接写出函数关系式，然后整理即可；
（2）用每间房的收入(180+x)，乘以出租的房间数(-
25x+200)等于总收入列出方程求解即可. 【详解】
（1）设每间客房每天的定价增加x 元，宾馆出租的客房为y 间，
根据题意，得：y=200-4×
10x ， ∴y=-25
x+200；
（2）设每间客房每天的定价增加x 元，
根据题意，得(180+x)(-25
x+200)=38400， 整理后，得x 2-320x+6000=0，
解得x 1=20，x 2=300，
当x=20时，x+180=200（元），
当x=300时，x+180=480（元），
答：这天的每间客房的价格是200元或480元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，列一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，解题关键在于根据题意准确列出一元二次方程.
34．3．
【解析】
试题分析：利用方程根的定义，把M 代入一元二次方程，可得：223m m -=，把要求值的分式化简得：22m m
-，代入即可得到答案． 试题解析：由已知，可得2320m m --=．∴223m m -=．∴原式=2211233m m m m m m
---===． 考点：1．分式的化简求值；2．一元二次方程的解．
35．k 的值是1，方程的另一个根是﹣3．
【解析】
【分析】
先将2代入一元二次方程中可把k 的值求出来，再根据根与系数的关系求出另一根.
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程x 2+kx ﹣6＝0的一个根是x 1＝2，
∴22+2k ﹣6＝0，
解得k ＝1．
又∵x 1•x 2＝﹣6，即2x 2＝﹣6，
∴x 2＝﹣3．
综上所述，k的值是1，方程的另一个根是﹣3．
【点睛】
本题主要考查了方程的根以及一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键.
36．（1）当m＜3且2
m≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）当m＞3时，方程没有实数根．
【解析】
试题分析：（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到，20
m-≠且[]2
2(1)4(2)(1)0
m m m
=----+＞，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到，20
m-≠且[]2
2(1)4(2)(1)0
m m m
=----+<，然后求出两个不等式的公共部分即可．
试题解析：依题意得：
[]2
2(1)4(2)(1)0
20
m m m
m
⎧----+
⎪
⎨
-≠
⎪⎩
＞
，解得：m＜3且2
m≠，∴当
m＜3且2
m≠时，方程有两个不相等的实数根；
依题意得：
[]2
2(1)4(2)(1)0
20
m m m
m
⎧----+
⎪
⎨
-≠
⎪⎩
＜
，解得：m＞3．∴当m＞3时，方程没
有实数根．
考点：根的判别式．。