高考数学压轴专题莆田备战高考《空间向量与立体几何》技巧及练习题附答案

《空间向量与立体几何》考试知识点
一、选择题
1．设α为平面，a ，b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )
A ．若//a α，//b α，则//a b
B ．若a α⊥，//a b ，则b α⊥
C ．若a α⊥，a b ⊥r r ，则//b α
D ．若//a α，a b ⊥r r ，则b α⊥ 【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解．
【详解】
若//a α，//b α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；
若a α⊥，//a b ，则由直线与平面垂直的判定定理知b α⊥，故B 正确；
若a α⊥，a b ⊥r r
，则//b α或b α⊂，故C 错误； 若//a α，a b ⊥r r ，则//b α，或b α⊂，或b 与α相交，故D 错误．
故选：B ．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
2．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异
面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）
A ．33
B ．66
C ．34
D 3 【答案】B
【解析】
【分析】 设1AA c =u u u v v ，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v ，根据向量线性运算法则可表示出1AB u u u v 和1BC u u u u v ；分别求解
出11AB BC ⋅u u u v u u u u v 和1AB u u u v ，1BC u u u u v ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>u u u v u u u u v ，即可得所
求角的余弦值.
【详解】 设棱长为1，1
AA c =u u u v v ，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v
由题意得：
1
2
a b⋅=
v
v
，
1
2
b c⋅=
v v
，
1
2
a c⋅=
v v
1
AB a c
=+
u u u v v v
Q，
11
BC BC BB b a c
=+=-+
u u u u v u u u v u u u v v v v
()()22
11
11
111
22
AB BC a c b a c a b a a c b c a c c
∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++=
u u u v u u u u v v v v
v v v v v v v v v v v v
又()222
1
23
AB a c a a c c
=+=+⋅+=
u u u v v v v v v v
()2222
1
2222
BC b a c b a c a b b c a c
=-+=++-⋅+⋅-⋅=
u u u u v v v v v
v v v v v v v v
11
11
11
6
cos,
6
AB BC
AB BC
AB BC
⋅
∴<>===
⋅
u u u v u u u u v
u u u v u u u u v
u u u v u u u u v
即异面直线1
AB与
1
BC所成角的余弦值为：6
6
本题正确选项：B
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.
3．如图所示是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．
16
3
π B．
64
3
C．
1664
3
π+
D．1664
π+
【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是有一个四棱锥与一个圆锥的四分之一组成，其中四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为4，圆锥的底面半径为4，高为4，该几何体的体积为，22
111664
4444
333
V
π
π
+
=⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选C.
4．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（）
A ．34
B ．78
C ．1516
D ．2324
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE -，
该几何体的体积为1111711132228
⎛⎫-⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭ 故选B 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存
在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）
A ．7
B ．3
C ．1+3
D ．2
【答案】A
【解析】
【分析】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就
是最小值．
【详解】
把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值，
Q ||||3AB AD ==，1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=． 所以11=90+60=150MA D ∠o o o
2211111111132cos 13223()72
MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-⨯⨯-⋅⨯=
故选A ．
【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．
6．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）
A ．34
B ．234
C ．517
D ．317 【答案】D
【解析】
【分析】
首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解.
【详解】 如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，
则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ， 且EC FH =.
因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，
所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =，1222
HG AC ==. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167cos 22669
PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯， 则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即17CE =
在GFH ∆中，由余弦定理可得222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅317172317
==⨯⨯. 故选：D
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.
7．已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A ．若m ∥β，则m ∥l
B ．若m ∥l ，则m ∥β
C ．若m ⊥β，则m ⊥l
D ．若m ⊥l ，则m ⊥β
【答案】D
【解析】
【分析】
A 由线面平行的性质定理判断.
B 根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.
C 根据线面垂直的定义判断.
D 根据线面垂直的判定定理判断.
【详解】
A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 分别是AB 、11B C 的中点，则异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值为（ ）
A 3
B ．13
C 58
D 387 【答案】C
【解析】
【分析】
取11A C 的中点F ，连接DF 、EF 、CF ，推导出四边形BDFE 为平行四边形，可得出//BE DF ，可得出异面直线BE 与CD 所成的角为CDF ∠，通过解CDF V ，利用余弦定理可求得异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值.
【详解】
取11A C 的中点F ，连接DF 、EF 、CF .
易知EF 是111A B C △的中位线，所以11//EF A B 且1112
EF A B =. 又11//AB A B 且11AB A B =，D 为AB 的中点，所以11//BD A B 且1112
BD A B =，所以//EF BD 且EF BD =.
所以四边形BDFE 是平行四边形，所以//DF BE ，所以CDF ∠就是异面直线BE 与CD 所成的角.
因为4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 、F 分别是AB 、11B C 、11A C 的中点， 所以111122C F AC ==，111122
B E B
C ==且C
D AB ⊥. 由勾股定理得22442AB =+=2242
AC BC CD AB ⋅=== 由勾股定理得2222115229CF CC C F =+=+=2222115229DF BE BB B E ==+=+=.
在CDF V 中，由余弦定理得((22229222958cos 29
22922CDF +-∠=
=⨯⨯. 故选：C.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，一般利用平移直线法找出异面直线所成的角，
考查计算能力，属于中等题.
9．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（ ）
A ．12
B ．24
C ．22
D ．3 【答案】B
【解析】
【分析】
如图建立空间直角坐标系，可证明1A D ⊥平面11ABC D ，故平面11ABC D 的一个法向量为：1DA u u u u r ，利用点到平面距离的向量公式即得解.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则：
1111(,,1),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)22O D A B C 111(,,0)22OD ∴=--u u u u r 由于AB ⊥平面111,ADD A AD ⊂平面11ADD A
1AB A D ∴⊥，又11AD A D ⊥，1AB AD I
1A D ∴⊥平面11ABC D 故平面11ABC D 的一个法向量为：1(1,0,1)DA =u u u u r O ∴到平面11ABC D 的距离为：
1111||224||2
OD DA d DA ⋅===u u u u r u u u u r u u u u r 故选：B
【点睛】
本题考查了点到平面距离的向量表示，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
10．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ）
A ．若，与所成的角相等，则
B ．若
，，则 C ．若
，，则 D ．若
，，则 【答案】C
【解析】
试题分析：若，与所成的角相等，则
或，相交或，异面；A 错. 若，
，则或，B 错. 若，，则正确. D ．若，，则 ，相交或，异面，D 错
考点：直线与平面，平面与平面的位置关系
11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．383+
B ．823+
C ．283
D ．10
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图可知该几何体为一组合体，是一个棱长为2的正方体与三棱锥的组合体，根据体积公式分别计算即可.
【详解】
几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图可得该几何体的体积为
311232+2328323
V =⨯⨯=+, 故选A.
【点睛】
本题主要考查了三视图，正方体与三棱锥的体积公式，属于中档题.
12．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )
A ．169π
B ．89π
C ．1627π
D ．827
π 【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．
【详解】
解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ， 则由题意可得323
r x -=， 332x r ∴=-，
∴圆柱的体积为2
3()(3)(02)2V r r r r π=-<<， 则33333163331616442()(3)()9442939r r r V r r r r πππ++-=-=g g g g …．
当且仅当33342r r =-，即43
r =时等号成立． ∴圆柱的最大体积为
169
π， 故选：A ．
【点睛】
本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．
13．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为
A ．1∶2
B ．1∶3
C ．1∶5
D ．3∶2
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案
【详解】
设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝
r ．∴S 侧＝πrl ＝πr 2，S 底＝πr 故选C ．
【点睛】
本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．
14．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng ，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于( )
A ．3
B ．5
C ．6
D ．12
【答案】B
【解析】
【分析】 首先由三视图还原几何体，再将刍甍分为三部分求解体积，最后计算求得刍甍的体积.
【详解】
由三视图换元为如图所示的几何体，该几何体分为三部分，中间一部分是直棱柱，两侧是相同的三棱锥，
并且三棱锥的体积113113⨯⨯⨯=， 中间棱柱的体积131232
V =⨯⨯⨯= , 所以该刍甍的体积是1235⨯+=.
故选：B
【点睛】
本题考查组合体的体积，重点考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型.
15．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A ．122π
B ．12π
C ．82π
D ．10π
【答案】B
【解析】
分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆
柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.
详解：根据题意，可得截面是边长为
的圆，且高为，
所以其表面积为22212S πππ=+=，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
16．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1，此
三棱柱的高为
A ．323π
B ．163π
C ．83π
D ．643
π 【答案】A
【解析】
【分析】
求得该直三棱柱的底面外接圆直径为22r ==，再根据球的性质，求得外接球的直径2R =，利用球的体积公式，即可求解.
【详解】
由题意可得该直三棱柱的底面外接圆直径为221r r ==⇒=，
根据球的性质，可得外接球的直径为24R ===，解得2R =， 所以该三棱柱的外接球的体积为343233
V R ππ=
=，故选A. 【点睛】
本题主要考查了球的体积的计算，以及组合体的性质的应用，其中解答中找出合适的模型，合理利用球的性质求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
17．在空间中，下列命题正确的是
A ．如果一个角的两边和另一角的两边分别平行,那么这两个角相等
B ．两条异面直线所成的有的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
D ．如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两个角可能互补判断A ；根据两条异面直线所成的角不能是零度,判断B ；根据根据两个平面平行的性质定理知判断C ；利用直线与这个平面平行或在这个平面内判断D.
【详解】
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,这两个角相等或互补,故A 不正确； 两条异面直线所成的角不能是零度,故B 不正确；
根据两个平面平行的性质定理知C 正确；
如果一条直线和一个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行或在这个平面内,故D 不正确,综上可知只有C 的说法是正确的,故选C.
【点睛】
本题考查平面的基本性质及推论,考查等角定理,考查两个平面平行的性质定理,考查异面直线所成的角的取值范围,考查直线与平面平行的判断定理,意在考查对基础知识的掌握情况，本题是一个概念辨析问题.
18．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为( )
A ．6
B ．5
C ．2
D ．1
【答案】A
【解析】 由三视图可知该多面体的直观图为如图所示的四棱锥P ABCD -：
其中，四边形ABCD 为边长为1的正方形，PE ⊥面ABCD ，且1AE =，1PE =. ∴222AP AE PE =
+=2BE AB AE =+=，222DE AD AE =+= ∴225CE BE BC =+=225PB BE PE =+223PD PE DE =+=∴226PC CE PE =+=
∴最长棱为PC
故选A.
点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：①首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；②观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③画出整体，然后再根据三视图进行调整.
19．如图1，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N ，Q 分别是线段AD 1，B 1C ，C 1D 1上的动点，当三棱锥Q-BMN 的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为
A ．2
B ．1
C ．32
D ．52
【答案】C
【解析】
【分析】
判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可．
【详解】
由正视图可知：M 是1AD 的中点，N 在1B 处，Q 在11C D 的中点，
俯视图如图所示：
可得其面积为：1113222111122222
⨯-
⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选C ． 【点睛】 本题主要考查三视图求解几何体的面积与体积，判断它的形状是解题的关键，属于中档题.
20．由两个14
圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．π3
B ．π2
C ．π
D ．2π
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知，圆柱的底面半径为1，高为2，利用圆柱的体积公式即可求出结果。

【详解】 由三视图可知圆柱的底面半径为1，高为2，
则21122
V ππ=
⋅⨯=， 故答案选C 。

【点睛】 本题主要考查根据几何体的三视图求体积问题，考查学生的空间想象能力。