配套K12辽宁省沈阳市2017-2018学年高中数学暑假作业 第一部分 解三角形(2)

解三角形（2）
一、知识点
1、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边；
（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）； 已知a ，b 和A ，不解三角形，求B 时的解的情况:
如果sin A ≥sin B ，则B 有唯一解；如果sin A <sin B <1，则B 有两解； 如果sin B =1，则B 有唯一解；如果sin B >1，则B 无解. 2、余弦定理适用情况：
（1）已知两边及夹角；（2）已知三边。

3、常用的三角形面积公式 （1）高底⨯⨯=∆2
1
ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 2
1
sin 21sin 21===
∆（两边夹一角）
； 4、三角形中常用结论
(1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） (2)sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边） (3)在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。

2
sin 2cos ,2cos 2sin
C B A C B A =+=+ 二、练习
1、
ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c
，
,1,
3
A a b π
=
==则c 等于（ ）
A
．
1
D.2、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么他的顶角的余弦值为（ ）
A ．518 B.34
C. D.78
3、在不等边三角形ABC 中，a 为最大边，且2a ＜22
b c +，则A 的取值范围是（ ）
A ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭ B.,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4、在
ABC 中，
2
cos ,22A b c
c +=则ABC 的形状为 （ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形或直角三角形
C ．正三角形
D ．等腰直角三角形 5、在
ABC 中，下列结论；
①若2a ＞22
b c +，则
ABC 为钝角三角形 ②若2a =22b c +bc +，则A=60° ③若22
a b +＞2c ，则
ABC 为锐角三角形 ④若A:B:C=1:2:3,则a ：b ：c=1:2:3
其中正确的个数是 （ ） A ．1 B.2 C.3 D.4
6.在
ABC 中，D 为BC 边上一点，
3,135,BC BD AD ADB ==∠=︒若,AC =则__________.BD =
7.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若
22
,sin ,a b C B -==则A 等于（ ）
A ．30° B.60° C.120° D.150°
8.某班设计了一个八边形的班徽（如图1-14所示），它由腰长为1，顶角为a 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）
A.2sin 2cos 2a a -+
B.sin 3a a +
C.3sin 1a a -+
D.2sin cos 1a a -+ 9.设
ABC 是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，且
22sin sin sin sin 33A B B B
ππ⎛⎫⎛⎫
=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
（1）求角A 的值；（2）若12,AB AC a ⋅==b ，c （其中b ＜c ）.
1A2D3C4A5A
6.分析：如图1-13所示，设
,
AB k
=
则
,
AC=再设,
BD x
=则2,
DC x
=在ABD中，
由余弦定理得
222
2222
k x x x x
⎛
=+-⋅=++
⎝⎭①。

在ADC中，由余弦定理
得
222
24222424,
k x x x x
=+-⋅=+-
22
212
k x x
∴=+-②。

由①②得
2410, x x
--=
解得2
x=+
，故填2+
图1-13
7.在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，
若
22,sin, a b C B
-==
则A等于（）
A．30° B.60° C.120° D.150°
分析：
由
sin,
C B
=根据正弦定理
得
,
c=代
入
22,
a b
-=得
222
6,
a b b
-=即22
7,
a b
=，由余弦定理得
2222222
cos,
22
b c a
A
bc
+-
====
又0°＜A＜180°，30.
A
∴=︒故选A
8.某班设计了一个八边形的班徽（如图1-14所示），它由腰长为1，顶角为a的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）
A.2sin2cos2
a a
-+
B.
sin3
a a+
C.
3sin1
a a
-+ D.2sin cos1
a a
-+
分析：三角形的底边长为
x==
2
1
4411sin
2
S S S a x
∴=+=⨯⨯⨯⨯+
正方形
三角形
2sin22cos2sin2cos2
a a a a
=+-=-+
9.设
ABC 是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，且
22sin sin sin sin 33A B B B
ππ⎛⎫⎛⎫
=+-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

（1）求角A 的值；
（2）若12,AB AC
a ⋅==b
，c （其中b ＜c ） 解：（1）因为
2
2
11sin sin sin sin 2222A B B B B B ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
222
313cos sin sin ,444B B B =-+=
所以
sin A =。

又A 为锐角，所以.
3A π
=
（2）由12,AB AC ⋅=得cos 12.cb A =①由（1）知
.
3A π
=
所以cb=24.②
由余弦定理知2222cos .a c b cb A =+-将a =22
52c b +=，③
③+②×2，得
()2
100,
c b +=，所以10c b +=。

因此 c ，b 是一元二次方程2
10240t t -+=的两个根，解此方程并由b ＜c 知c=6，b=4.。