上海市金山中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)

上海市金山中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题
（考试时间：120分钟满分：150分）
一、填空题：本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．
1.已知是等差数列的前项和，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由等差数列的性质，再利用等差数列的前项和公式即可得出．
【详解】由等差数列的性质，，
则
故答案为21．
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.若的圆心角所对的弧长为，则扇形半径长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据弧长公式代入求解即可．
【详解】∵，
∴
故答案为4．
【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式，属基础题.。

3.方程的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
把，等价转化为，由此能求．
【详解】∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
4.设，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用二倍角公式即可求得结论.
【详解】利用二倍角公式.
即答案为.
【点睛】本题考查二倍角公式的应用，属基础题.
5.函数的值域为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦函数的单调区间，函数在上是增函数，在
上是减函数，利用函数的单调性求函数的值域．
【详解】由正弦函数的单调区间知，
函数在上是增函数，在[
上是减函数，故时，y 有最大值是1，时，，时，，
故函数的值域是
【点睛】本题考查正弦函数的单调区间及单调性、正弦函数的值域，利用函数的单调性求函数的值域是一种常用的
方法．
6.设函数是R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
当0时，由已知求出，利用奇函数定义得到与的关系式，从而求出．
【详解】当0时，，由已知得，
因为是R上的奇函数，所以．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，解决本题的关键在于：当0时，求出，再寻求与的关系．7.若等比数列的前项和，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据求得数列的通项公式，进而求得，根据求得．
【详解】∴，
又，由通项得：，公比为3，
∴，
∴．
故答案为-2．
【点睛】本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列的前n项和公式．解题的关键是求出数列的通项公式．
8.如图所示，在直角坐标系中，角的顶角是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆
于点，且.将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点.若点的横坐标为，则点的横坐标为
________. 【答案】
【解析】 【分析】
设．由三角函数定义，得 ，由此利用同角三角函数的基本关系求得 的值，再根
据
利用两角和的余弦公式求得结果．
【详解】设．由三角函数定义，得 ，
．
因为 ，
，所以
．
所以
即答案为
. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．
9.已知函数
，若将函数
的图像向左平移
个单位，所得图像关于轴对称，则实数的取值
集合是__________________． 【答案】
【解析】 【分析】
根据函数图象平移法则得出平移后的函数解析式，再根据函数图象关于y 轴对称求出的取值集合．
【详解】函数的图象向左平移a 个单位
，
得
|的图象，且函数的图象关于轴对称，
又
，
或
； ∴实数的取值集合为．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了函数图象平移和化简的应用问题，是中档题．
10.已知数列满足，为数列的前项和，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由，令，求得的值，，得，两式相比，即得，从而求得数列的前项和．
【详解】∵，令，求得，当时∴∴数列的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列；
则
【点睛】考查由递推公式求数列中的性质，，解决方法，体现了分类讨论的思想方法，属基础题.
11.已知数列满足，若对任意都有，则实数的取值范围是___________．【答案】
【解析】
【分析】
由题若对于任意的都有，可得解出即可得出．
【详解】∵，若对任意都有，
∴．
∴，
解得．
故答案为．
【点睛】本题考查了数列与函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.已知函数的图像与直线的三个交点的横坐标分别为，那么
的值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
通过正弦函数的对称轴方程，求出函数的对称轴方程分别为和，由题意可得
，从而求出的值．
【详解】函数的图象取得最值有2个x值，分别为和，由正弦函数图象的对称性可得．
故，
故答案为．
【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，考查计算能力．
二、选择题：本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13.已知为数列的前项和，且满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数列前前项和的性质可得由此可得结果.
【详解】由题数列的前项和满足，则
故选C.
【点睛】本题考查数列前前项和的性质，属基础题.
14.在中，角所对的边分别为，则“”是“”的 ( ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“，得出，根据充分必要条件的定义可判断．【详解】∵中，角所对的边分别为，，
或
∴根据充分必要条件的定义可判断：
“”是“”的充分不必要条件．
故选A
【点睛】本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题．
15.有下列四个命题：①只有在区间上，正弦函数才有反函数；②与是同一函数；③若函数的最小正周期为，则；④函数的最小正周期为.
其中正确的命题个数为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
①②可根据反正弦函数的概念判断，③若函数的最小正周期为，
则或，④函数的最小正周期为..
【详解】①只有在区间上，正弦函数才有反函数；错误，在每一个单调区间上正弦函数都有反函数；②与是同一函数；，只有在区间上是同一函数；③若函数
的最小正周期为，
则或，错误；，④由图像可知函数的最小正周期为..
【点睛】本题考查命题真假判断，属中档题.
16.对于实数，表示不超过的最大整数. 已知正数数列满足，，其中为数列的前
项和，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知数列递推式可得数列{S n2}是首项为1，公差为1的等差数列，求得．由此可求
【详解】由，令得，∵，得．
当时，即．
因此，数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴，即．
则
.
故选B.
【点睛】本题考查等差关系的确定，考查数列求和，属难题．
三、解答题：本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17.设，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】
根据两角和的正切公式可得.进而求出，
则可求.
【详解】，
.
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简求值，属中档题.
18.已知等比数列满足：公比，且.
求数列的通项公式；
（2）设点在函数的图像上，求数列的前项和的最大值，并求出此时的.
【答案】（1）；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由题列出方程组，求得，根据进行取舍，可得列的通项公式；
（2）由题意，，则，由此可求数列的前项和的最大值.
【详解】（1）由
又，.
（2）由题意，
是等差数列，且
.
【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，考查等差数列的前和公式，属中档题.
19.已知函数为偶函数，且函数
图象的两相邻对称轴间的距离为.
求的值；
（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先用两角和公式对函数的表达式化简得
，利用偶函数的性质即求得，由函数图象的两相邻对称轴间的距离为求得，进而求出的表达式，把代入即可．
（Ⅱ）根据三角函数图象的变化可得函数的解析式，再根据余弦函数的单调性求得函数的单调区间．
【详解】（1）化简得：
为偶函数，
又，
又函数图象的两相邻对称轴间的距离为，
，因此.
（2）由题意得
令，即的单调递减区间为.
【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数图象的应用．属基础题．
20.如图，公路围成的是一块角形耕地，其中顶角满足.在该土地中有一点，经测量它到公路
的距离分别为.现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业区．（1）用来表示；
（2）为尽量减少耕地占用，问等于多少时，使该工业区面积最小？并求出最小面积.
【答案】（1）；（2）当时，面积最小值为..
【解析】
【分析】
（1）由题，则由可得答案；
（2）由正弦定理得
故，由基本不等式可求面积最小值.
【详解】（1），
.
（2）由正弦定理，得
当且仅当，即时等号成立. 解得.
答：当时，该工业区的面积最小值为.
【点睛】本题考查解三角形在实际生活中的应用，考查正弦定理，基本不等式等，属中档题
21.用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数，使得，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第行中的各数之和为.
已知，求的值；
令，证明：是等比数列，并求出的通项公式；
数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系，若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）；
（3）数列中不存在不同的三项恰好成等差数列.
【解析】
【分析】
（1）利用数表，可求b1，b2，b3，b4，并且b n+1=a（n+1）1+a（n+1）2+…+a（n+1）（n+1）=2（a n1+a n2+…+a nn）+2=2b n+2．（2）由b n+1=2b n+2，可得b n+1+2=2（b n+2），从而{b n+2}是以b1+2=3为首项，2为公比的等比数列，即可求出{b n}的通项公式；
（3）设p＞q＞r，{b n}是递增数列，2b q=b p+b r，由此能导出数列{b n}中不存在不同的三项b p，b q，b r恰好成等差数
列．
【详解】（1）.
（2）证明：（常数）
又
是以为首项，为公比的等比数列. 故
.
（3）不妨设数列中存在不同的三项恰好成等差数列.
即
化简得：
显然上式左边为偶数，右边为奇数，方程不成立.
故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列.
【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．。