基本初等函数知识总结
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
1
0
x
y loga x
y log2 x
y log3 x y log1 x x
3
y log1 x
2
性 质
底数互为倒数的两个指数
一 函数的图象关于y轴对称。
底数互为倒数的两个对数 函数的图象关于x轴对称。
性
质 在 y轴的右边看图象,图象 二 越高底数越大.即底大图高
在 x=1的右边看图象,图象 越高底数越小.即底小图高
幂函数
函数y=xα叫做幂函数, 其中x是自变量, α是常 数.
对于幂函数，我们只
讨论 1, 2, 3, 1 , 1
2
时的情形
y y x3
y x2
1 -1
O1
-1
yx
1
y x2
y1 x
x
幂函数的性质
函数 性质
定义域 值域
奇偶性
单调性
公共点
y=x y=x2
R
R
R [0,+∞) 奇偶
增
[0,+∞)增
n am
同时: 0的正分数指数幂等于0； 0的负分数指数幂
没有意义
2.有理数指数幂的运算性质
a a a r s
r s(a 0,r, s Q) 同底数幂相乘,底数不变指数相加
r
a a r -s (a 0,r, s Q) 同底数幂相除, 底数不变指数相减 as
(a ) a r s
rs (a 0,r, s Q) 幂的乘方底数不变,指数相乘
o
x
①x∈ (0,+∞) ； ② y∈ R;
③过定点(1, 0)
性 ④当x＞ 1时,y＞ 0, 质 0＜ x＜ 1时, y＜ 0
④当x＞ 1时, y＜ 0, 0 ＜ x＜ 1时, y＞ 0
⑤在R上是增函数.
⑤在R上是减函数.
y=ax
补
y
充 性
y
1
x
2
y
1 3
x
y 3x
y 2x
y
质
4
3
2
0
(a＞0, a≠1) ；
真数N的取值范围 N>0
（2）自然对数:
loge N ln N
(e 2.71828)
4．积、商、幂的对数运算法则:
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有:
loga (MN) loga M loga N (1)
loga
M N
loga
M
loga
N
(2)
loga M n nloga M (n R) (3)
(ab) a a r
r s (a 0,b 0,r Q) 积的乘方等于乘方的积
*一般地, 当a>0且是一个无理数时,也是一个确定的实数,故以上
运算律对实数指数幂同样适用.
返回
1.对数的定义 :
一般地, 如果a(a＞0, a≠1)的x次幂 等于N, 即ax＝N , 那么数x叫做以a 为底N的对数, 记作x =logaN.
a＞1
0＜a＜1
y
图
象
o
x
y
o
x
①x∈R； ②y∈(0,+∞);
③过定点(0,1)
性 ④当x＞0时,y＞1, 质 x＜0时,0＜y＜1
④当x＞0时, 0＜y＜1, x＜0时, y＞1
⑤在R上是增函数.
⑤在R上是减函数.
2.对数函数y=logax(a＞0且a≠1)的图象和性质：
a＞1 y
图
象
o
x
0＜a＜1 y
第二章 基本初等函数
如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根(n th root),
其中n>1,且n∈N*. 即 若 xn a 则
n a （n为奇数） x n a （n为偶数）
正数的奇次方根是正数 负数的奇次方根是负数
正数的偶次方根有两个， 且互为相反数
注：负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0，记作 n 0 0
(-∞, 0]减
y x3
y y x2
yx
1
y x2
1
1
O- 1
y1 x
x
y=x3
1
1
y x2
y=x-1
R [0,+∞) {x|x≠0}
R [0,+∞) {y|y≠0}
奇 非奇非偶 奇
(0,+∞)减
增
增
(-∞, 0)减
(1,1)
ax＝N x＝ logaN.
指数
真数
ax N x loga N
底数 幂 对数
底数
ax＝N logaN＝x.
2.几个常用的结论:
3.两种常用的对数
（1）负数与零没有对数
（1）常用对数:
（2） log a 1 0
log10 N lg N
（3） loga a 1
注意: 底数a的取值范围
根指数
na
被开方数
根式
公式1.
na
n
a.
公式2. n an a.
当n为大于1的奇数时
公式3. n an | a | .
a a
(a (a
0) 0)
当n为大于1的偶数时
返回
1.根式与分数指数幂互化:
m
a a n n m（a>0,m,n N且n>1）
m
a n
1
m
an
1
（a>0,m,n N且n>1）
a≠ 1) 叫做对数函数.其中 x是自变量,
函数的定义域是（ 0 , +∞）
3.反函数
y 根据指数式与对数式的互化
ax
反函数
x loga
y
通常用x表示自变量
反函数
y表示函数
y loga x
互为反函数的两个函数图像关于直线 y=x 轴对称
指数函数 与 对数函数图像与性质 1.指数函数y=ax(a＞0且a≠1)的图象和性质：
2.换底公式
logab
logcb logca
(a
0,且a
பைடு நூலகம்
1; c
0,且c
1; b
0)
注: log a b log b a 1 二者互为倒数
1.指数函数的定义
定义：形如y ax (a 0且a 1)的函数称为指数函数； 其中x是自变量，函数的定义域为R.
2.对数函数的定义
一般地, 函数y = loga x (a＞0,且
1
0
x
y loga x
y log2 x
y log3 x y log1 x x
3
y log1 x
2
性 质
底数互为倒数的两个指数
一 函数的图象关于y轴对称。
底数互为倒数的两个对数 函数的图象关于x轴对称。
性
质 在 y轴的右边看图象,图象 二 越高底数越大.即底大图高
在 x=1的右边看图象,图象 越高底数越小.即底小图高
幂函数
函数y=xα叫做幂函数, 其中x是自变量, α是常 数.
对于幂函数，我们只
讨论 1, 2, 3, 1 , 1
2
时的情形
y y x3
y x2
1 -1
O1
-1
yx
1
y x2
y1 x
x
幂函数的性质
函数 性质
定义域 值域
奇偶性
单调性
公共点
y=x y=x2
R
R
R [0,+∞) 奇偶
增
[0,+∞)增
n am
同时: 0的正分数指数幂等于0； 0的负分数指数幂
没有意义
2.有理数指数幂的运算性质
a a a r s
r s(a 0,r, s Q) 同底数幂相乘,底数不变指数相加
r
a a r -s (a 0,r, s Q) 同底数幂相除, 底数不变指数相减 as
(a ) a r s
rs (a 0,r, s Q) 幂的乘方底数不变,指数相乘
o
x
①x∈ (0,+∞) ； ② y∈ R;
③过定点(1, 0)
性 ④当x＞ 1时,y＞ 0, 质 0＜ x＜ 1时, y＜ 0
④当x＞ 1时, y＜ 0, 0 ＜ x＜ 1时, y＞ 0
⑤在R上是增函数.
⑤在R上是减函数.
y=ax
补
y
充 性
y
1
x
2
y
1 3
x
y 3x
y 2x
y
质
4
3
2
0
(a＞0, a≠1) ；
真数N的取值范围 N>0
（2）自然对数:
loge N ln N
(e 2.71828)
4．积、商、幂的对数运算法则:
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有:
loga (MN) loga M loga N (1)
loga
M N
loga
M
loga
N
(2)
loga M n nloga M (n R) (3)
(ab) a a r
r s (a 0,b 0,r Q) 积的乘方等于乘方的积
*一般地, 当a>0且是一个无理数时,也是一个确定的实数,故以上
运算律对实数指数幂同样适用.
返回
1.对数的定义 :
一般地, 如果a(a＞0, a≠1)的x次幂 等于N, 即ax＝N , 那么数x叫做以a 为底N的对数, 记作x =logaN.
a＞1
0＜a＜1
y
图
象
o
x
y
o
x
①x∈R； ②y∈(0,+∞);
③过定点(0,1)
性 ④当x＞0时,y＞1, 质 x＜0时,0＜y＜1
④当x＞0时, 0＜y＜1, x＜0时, y＞1
⑤在R上是增函数.
⑤在R上是减函数.
2.对数函数y=logax(a＞0且a≠1)的图象和性质：
a＞1 y
图
象
o
x
0＜a＜1 y
第二章 基本初等函数
如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根(n th root),
其中n>1,且n∈N*. 即 若 xn a 则
n a （n为奇数） x n a （n为偶数）
正数的奇次方根是正数 负数的奇次方根是负数
正数的偶次方根有两个， 且互为相反数
注：负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0，记作 n 0 0
(-∞, 0]减
y x3
y y x2
yx
1
y x2
1
1
O- 1
y1 x
x
y=x3
1
1
y x2
y=x-1
R [0,+∞) {x|x≠0}
R [0,+∞) {y|y≠0}
奇 非奇非偶 奇
(0,+∞)减
增
增
(-∞, 0)减
(1,1)
ax＝N x＝ logaN.
指数
真数
ax N x loga N
底数 幂 对数
底数
ax＝N logaN＝x.
2.几个常用的结论:
3.两种常用的对数
（1）负数与零没有对数
（1）常用对数:
（2） log a 1 0
log10 N lg N
（3） loga a 1
注意: 底数a的取值范围
根指数
na
被开方数
根式
公式1.
na
n
a.
公式2. n an a.
当n为大于1的奇数时
公式3. n an | a | .
a a
(a (a
0) 0)
当n为大于1的偶数时
返回
1.根式与分数指数幂互化:
m
a a n n m（a>0,m,n N且n>1）
m
a n
1
m
an
1
（a>0,m,n N且n>1）
a≠ 1) 叫做对数函数.其中 x是自变量,
函数的定义域是（ 0 , +∞）
3.反函数
y 根据指数式与对数式的互化
ax
反函数
x loga
y
通常用x表示自变量
反函数
y表示函数
y loga x
互为反函数的两个函数图像关于直线 y=x 轴对称
指数函数 与 对数函数图像与性质 1.指数函数y=ax(a＞0且a≠1)的图象和性质：
2.换底公式
logab
logcb logca
(a
0,且a
பைடு நூலகம்
1; c
0,且c
1; b
0)
注: log a b log b a 1 二者互为倒数
1.指数函数的定义
定义：形如y ax (a 0且a 1)的函数称为指数函数； 其中x是自变量，函数的定义域为R.
2.对数函数的定义
一般地, 函数y = loga x (a＞0,且