高考数学(文科,通用)复习课件：专题4 第3讲推理与证明

所以当 n≥2 时，有 f(2n)>n＋2 2. 故填 f(2n)>n＋2 2(n≥2，n∈N*).
热点二 类比推理
例 2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形 ABC 的内 切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则SS12＝14.推广到空间几 何可以得到类似结论：若正四面体 ABCD 的内切球体积为 V1，外接球体积为 V2，则VV12＝________.
则 2×23n－m＝1＋23p－m.
(*)
当 n－m≥2 时，2×23n－m≤2×232＝89，(*)式不可能
成立，则只能有 n－m＝1，
此时等式为43＝1＋23p－m， 即13＝23p－m，那么 p－m＝log2313，左边为正整数，右 边为无理数，不可能相等.
所以假设不成立，那么数列{bn}中的任意三项不可 能成等差数列.
3.直接证明 (1)综合法 用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等， Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q (2)分析法 用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
得到一个明显 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 成立的条件
热点分类突破
➢ 热点一 归纳推理 ➢ 热点二 类比推理 ➢ 热点三 直接证明和间接证明
热点一 归纳推理
例1 (1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规
律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正
六边形的个数是( )
A.26
B.31
C.32
D.36
思维启迪 根据三个图案
中的正六边形个 数寻求规律；
专题四 数列、推理与证明
第 3讲 推理与证明
主干知识梳理 热点分类突破 真题与押题
1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等
知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小
题形式出现.
考 情
2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推
解 理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式
读
等综合命题．
主干知识梳理
而 1－a21＝34， 所以数列{1－a2n}是首项为34，公比为23的等比数列，
则
1－a2n＝34×23n－1，则
a2n＝1－34×23
n－1，
由anan＋1<0，知数列{an}的项正负相间出现，
因此 an＝(－1)n＋1
1－34×23
n－1，
bn＝a2n＋1－a2n＝－34×23n＋34×23n－1＝14×23n－1.
(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.
思维启迪 否定性结论的证明可用反证法.
证明 假设存在某三项成等差数列，不妨设为bm、 bn、bp， 其中m、n、p是互不相等的正整数，可设m<n<p，
而 bn＝14×23n－1 随 n 的增大而减小， 那么只能有2bn＝bm＋bp，
可得 2×14×23n－1＝14×23m－1＋14×23p－1，
真题与押题
➢ 真题感悟 ➢ 押题精练
两式相减，得x21－a2 x22＝y21－b2 y22，
即x1－x2a2x1＋x2＝y1－y2b2y1＋y2，
即xy11－－xy22xy11＋＋yx22＝ba22，
即 kOM·kAB＝ba22.
答案
b2 a2
热点三 直接证明和间接证明
例3
已
知
数
列
{an}
满
足
：
a1
＝
1 2
，
31＋an＋1 1－an
似的正确结论________.
思维启迪 可利用和角或差角公式猜想，然后验证.
解析 chx chy－shx shy ＝ex＋2e－x·ey＋2e－y－ex－2e－x·ey－2 e－y ＝14(ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y－ex＋y＋ex－y＋e－x＋y－e－x－y) ＝14(2ex－y＋2e－(x－y))＝ex－y＋2e－x－y＝ch(x－y)，
解 由已知得a31a＝1＋32d＋＝19，＋3 2， 所以 d＝2，
故 an＝2n－1＋ 2，Sn＝n(n＋ 2)，n∈N*.
(2)设 bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的
三项都不可能成为等比数列. 证明 由(1)得 bn＝Snn＝n＋ 2. 假设数列{bn}中存在三项 bp，bq，br(p≠q≠r)成等比 数列，则 b2q＝bpbr. 即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2).
4.间接证明 反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否 定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻
辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用 反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用如图所示 的框图表示.
肯定条件p 否定结论q
→
导致逻 辑矛盾
→
“既p，又綈q” 为假
→“若p，则qຫໍສະໝຸດ 为真则下列座位号码符合要求的应当是( )
A.48,49
B.62,63
思维启迪 靠窗口的座位
号码能被5整除 或者被5除余1.
C.75,76
D.84,85
解析 由已知图形中座位的排列顺序，可得： 被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗， 由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗， 分析答案中的4组座位号，只有D符合条件. 答案 D
解析 有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案 1 2 3 …
由表可个以数看出有6 菱形1纹1的正六16边形的…个数依次组成一
个以6为首项，以5为公差的等差数列， 所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋ 5×(6－1)＝31.故选B. 答案 B
(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，
且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，
b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为 AB 的中点，
则 kOM·kAB＝________.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 将则有A，xy0B0＝＝代yx11入＋＋22双yx22.曲，线xa22－by22＝1 中得 xa212－by212＝1，xa222－yb222＝1，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r) 2＝0.
∵p，q，r∈N*，∴q22q－－ppr－＝r0＝，0， ∵(p＋2 r)2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r 与 p≠r 矛盾. 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比 数列.
本讲规律总结
1.合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情 理”，其中主要是归纳推理与类比推理.归纳推理是由 部分得到整体的一种推理模式.类比推理是由此及彼的 推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式. 2.直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法， 这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式.在实 际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合 法有条理地表述解题过程.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在1号位上， 第二次坐在2号位上，第三次坐在4号位上，第四次坐 在3号位上，第五次坐在1号位上， 因此小兔的座位数更换次数以4为周期， 因为202＝50×4＋2，因此第202次互换后，小兔所在 的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同， 因此小兔坐在2号位上，故选B. 答案 B
归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，
通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然
后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问
思 维
题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广
升 泛的应用.其思维模式是“观察——归纳——猜
华
想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想.
变式训练1 (1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、 2、3、4号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位， 第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去， 那么第202次互换座位后，小兔坐在第______号座位上.
观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论
2.演绎推理 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.
(2)合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归 纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特 殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理. 从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确， 有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理 形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.
思维启迪 平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；
解析 平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成 正比， 而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，
所以＝ VV12＝217.
答案
1 27
ex－e－x (2)已知双曲正弦函数 shx＝ 2 和双曲余弦函数
ex＋e－x chx＝ 2 与我们学过的正弦函数和余弦函数有 许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和．角． 或．差．角．公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一．个．类
(1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一
个结论不成立的例子即可.
(2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，
思 维
我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后
升 用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和
华
综合法交替使用.
变式训练3 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1＋ 2，S3＝9＋3 2. (1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
A.dn＝c1＋c2＋n ···＋cn
B.dn＝c1c2n···cn
C.dn＝
n c1n c2n cnn n
D.dn＝n c1c2···cn
解析 由{an}为等差数列，设公差为d， 则 bn＝a1＋a2＋n …＋an＝a1＋n－2 1d，
又正项数列{cn}为等比数列，设公比为q，
则
dn＝n
1.合情推理 (1)归纳推理 ①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别 事实概括出一般结论的推理. ②归纳推理的思维过程如下：
实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论
(2)类比推理 ①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类 对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征 的推理. ②类比推理的思维过程如下：
＝
21－1＋ana＋n1，anan＋1<0 (n≥1)；数列{bn}满足：bn＝a2n＋1－
a2n (n≥1).
思维启迪 利用已知递推式中的
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 特点构造数列{1－ a2n }；
解 已知311＋－aann＋1＝21－1＋ana＋n1化为11－－aa2n＋2n 1＝23，
华
类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比 以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等.
变(1)式若训数练列2{an}是等差数列，bn＝a1＋a2＋n ···＋an，则数列{bn}
也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比
数列，且{dn}也是等比数列，则 dn 的表达式应为( )
(2)已知 f(n)＝1＋21＋13＋…＋n1(n∈N*)，经计算得 f(4)>2， f(8)>52，f(16)>3，f(32)>27，则有_f(_2_n_)_>_n_＋2__2_(n__≥__2_，__n_∈__N_*_). 解析 由题意得 f(22)>42，f(23)>52，f(24)>26，f(25)>72，
c1c2···cn＝ n
n2 n
c1nq 2
n 1
＝c1 q 2 ，故选
D.
答案 D
(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如 下命题：AB 是椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的不平行于对称轴且 不过原点的弦，M 为 AB 的中点，则 kOM·kAB＝－ba22.那么 对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线xa22－by22＝1(a>0，
故知ch(x＋y)＝chx chy＋shx shy， 或sh(x－y)＝shx chy－chx shy， 或sh(x＋y)＝shx chy＋chx shy. 答案 ch(x－y)＝chx chy－shx shy
类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是 两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁 移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引 起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题 思 方法上的类似引起.当然首先是在某些方面有一定的 维 共性，才能有方法上的类比，例2即属于此类题型. 升 一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向