精品解析：2019年福建省中考数学二模试卷(解析版)

福建省2019年中考数学二模试卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1.下列各数中，比﹣2小的数是()
A. 2
B. 0
C. ﹣1
D. ﹣3
【答案】D
【解析】
根据题意，结合实数大小的比较，从符号和绝对值两个方面分析可得答案．
解：比-2小的数是应该是负数，且绝对值大于2的数；
分析选项可得，只有D符合．
故选D．
“点睛”本题考查实数大小的比较，是基础性的题目．
2.港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长约55000米，把55000用科学记数法表示为()
A. 55×103
B. 5.5×104
C. 5.5×105
D. 0.55×105
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】55000是5位整数，小数点向左移动4位后所得的数即可满足科学记数法的要求，由此可知10的指数为4，
所以，55000用科学记数法表示为5.5×104，
故选B.
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】
A 、圆柱的左视图是矩形，不符合题意；
B 、圆锥的左视图是等腰三角形，符合题意；
C 、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意；
D 、长方体的左视图是矩形，不符合题意． 故选B ． 试题解析：
考点：简单几何体的三视图． 【此处有视频，请去附件查看】
4.如图，直线m ∥n ，点A 在直线m 上，点B 、C 在直线n 上，AB ＝CB ，∠1＝70°，则∠BAC 等于( )
A. 40°
B. 55°
C. 70°
D. 110°
【答案】C 【解析】
试题解析：∵m ∥n ， ∴170ACB ∠=∠=， ∵AB =BC ，
∴70BAC ACB ∠=∠=， 故选C.
点睛：平行线的性质：两直线平行，内错角相等.
5.已知三角形三边长分别为5、a、9，则数a可能是()
A. 4
B. 6
C. 14
D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出a的取值范围，再根据取值范围选择．
【详解】∵5+9＝14，9﹣5＝4，∴4＜x＜14．故选：B．【点睛】本题主要考查三角形的三边性质，需要熟练掌握．6.计算97a b a a a b b b+++个个＝() A. 97a b B. 97a b C. 79a b D. 97a b
【答案】C
【解析】
分析：分子根据合并同类项计算，分母根据同底数幂的乘法计算.
详解：原式=
7
9a
b
.
故选C.
点睛：本题考查了合并同类项和同底数幂的乘法计算，合并同类项的方法是系数相加，字母和字母的指数不变；同底数的幂相乘，底数不变，把指数相加.
7.如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是AB上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）
A. （sinα，sinα）
B. （cosα，cosα）
C. （cosα，sinα）
D. （sinα，cosα）
【答案】C
【解析】
过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标．
解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，
在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，
∴sinα=PQ
OP
，cosα=
OQ
OP
，即PQ=sinα，OQ=cosα，
则P的坐标为（cosα，sinα），
故选C．
【此处有视频，请去附件查看】
8.关于x的一元二次方程mx2﹣(m+1)x+1＝0有两个不等的整数根，m为整数，那么m的值是()
A. ﹣1
B. 1
C. 0
D. ±1
【答案】A
【解析】
分析：把方程mx2﹣（m+1）x+1=0的左边用式子相乘法分解因式，再结合m≠0和m为整数求出m的值. 详解：∵mx2﹣（m+1）x+1=0，
∴(mx-1)(x-1)=0,
∴x1=1,x2=1
m
，
又∵方程有两个不等的整数根，m为整数，
∴m=-1.
故选A.
点睛：本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握十字相乘法是解答本题的关键.
9.甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）
A. 甲超市
的利润逐月减少B. 乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C. 8月份两家超市利润相同D. 乙超市在9月份的利润必超过甲超市【答案】D 【解析】【分析】根据折线图中各月的具体数据对四个选项逐一分析可得．
【详解】A、甲超市的利润逐月减少，此选项正确，不符合题意；
B、乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确，不符合题意；
C、8月份两家超市利润相同，此选项正确，不符合题意；
D、乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误，符合题意，
故选D．
【点睛】本题主要考查折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
10.如图，已知A(3，6)、B(0，n)(0＜n≤6)，作AC⊥AB，交x轴于点C，M为BC的中点，若P(3
2
，0)，则
PM的最小值为()
A. 3
B.
C.
D. 【答案】D
【解析】
【分析】
作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E，作MN⊥OC于N,易得△AHB∽△CEA从而3
6
BH
AE
=，设BH＝x，则AE
＝2x，可得PM2＝PN2+MN2＝x2+（6
2
x
-
）2＝
5
4
x2﹣3x+9＝
5
4
（x﹣
6
5
）2+
36
5
即可求出PM最小值
【详解】如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E，作MN⊥OC于N．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝4，
∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，
∴∠ABH＝∠EAC，
∴△AHB∽△CEA，
∴AH BH EC AE
=，
∴3
6
BH
AE =，
∴AE＝2BH，设BH＝x，则AE＝2x，∴OC＝HE＝3+2x，OB＝6﹣x，
∴B（0，6﹣x），C（3+2x，0）
∵BM＝CM，
∴M（32
2
x
+
，
6
2
x
-
），
∵P（3
2
，0），
∴PN＝ON﹣OP＝32
2
x
+
﹣
3
2
＝x，
∴PM2＝PN2+MN2＝x2+（6
2
x
-
）2＝
5
4
x2﹣3x+9＝
5
4
（x﹣
6
5
）2+
36
5
，
∴x＝6
5
时，PM2有最小值，最小值为
36
5
，
∴PM
故选：D．
【点睛】此题主要考查平面内两点之间最小值，涉及到相似三角形以及二次函数的性质二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11.计算：|﹣3|+
1
1
2
-
⎛⎫
⎪
⎝⎭
＝_____．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据绝对值，负整数指数幂的法则计算即可.
【详解】解：原式=3+2=5.
故答案为：5.
【点睛】本题考查绝对值，负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂的法则.
12.甲、乙袋中各装有2个相同的小球，分别标有数字1、2和2、3．现从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是_____．
【答案】1 4
【解析】【分析】
直接根据题意画出树状图，再利用概率公式求出答案．
【详解】如图所示：
，
一共有4种可能，取出的两个小球上都写有数字2的有1种情况，
故取出的两个小球上都写有数字2的概率是：1
4
．
故答案为：1
4
．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所
有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比
13.如图，在△ABC中，DE∥AB，DE分别与AC，BC交于D，E两点．若
4
9
DEC
ABC
S
S
=
△
△
，AC＝3，则DC＝_____．
【答案】2 【解析】【分析】
由DE∥AB可得出△DEC∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出
24
9
DEC
ABC
S DC
S AC
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
，再结合AC＝3即
可求出DC的长度．【详解】∵DE∥AB，∴△DEC∽△ABC，
∴
24
9 DEC
ABC
S DC
S AC
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
，
∴
2
3 DC
AC
=．
又∵AC＝3，
∴DC ＝2． 故答案为：2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理找出△DEC ∽△ABC 是解题的关键．
14.已知扇形的圆心角为120°，弧长为4π，则它的半径为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】
根据弧长的公式：l ＝n r
180
π进行计算即可． 【详解】由扇形的弧长公式l ＝n r
180
π，
得4π＝120180
r π⨯⨯，
解得：r ＝6． 故答案为：6．
【点睛】本题考查了扇形的弧长的计算，掌握扇形的弧长公式：l ＝n r
180
π（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）是解题的关键．
15.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．若求此人第六天走的路程为多少里．设此人第六天走的路程为x 里，依题意，可列方程为_____． 【答案】2481632378x x x x x x +++++=; 【解析】 【分析】
设第一天走了x 里,则第二天走了2
x 里,第三天走了4x 里…第六天走了32x 里,根据总路程为378里列出方程可
得答案.
【详解】解：设第一天走了x 里, 则第二天走了
2
x 里,第三天走了4x 里…第六天走了32x 里,
依题意得:3782481632x x x x x x +
++++=， 故答案：3782481632
x x x x x
x ++++
+=. 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程.
16.在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2﹣2ax +b 的顶点在x 轴上，P (x 1，m )，Q (x 2，m )(x 1＜x 2)是此抛物线上的两点．若存在实数c ，使得x 1≤c ﹣1，且x 2≥c +7成立，则m 的取值范围是_____． 【答案】m ≥16 【解析】 【分析】
根据题意得出b ＝a 2，然后解x 2﹣2ax +a 2
＝m 可得出PQ ＝
x 1、x 2的范围可得出关于m 的不等式，
解之即可得出m 的取值范围．
【详解】∵顶点在x 轴上，2
4(2)04
b a --=，
∴b ＝a 2
．
∴x 2
﹣2 ax +a 2
＝0，
解得x 1＝a
x 1＝a
∴PQ ＝
又x 1≤c ﹣1，x 1≥c +7 ∴
≥(c +7)﹣(c ﹣1)， ∴m ≥16．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：通过解一元二次方程求出x 1、x 2的值．
三、解答题(本大题共9小题，共86分)
17.求不等式组21223
x x x <+⎧⎪
-⎨≤⎪⎩的整数解．
【答案】不等式组的解集为﹣4≤x＜1，整数解为﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0．
【解析】
【分析】
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可确定出整数解．【详解】21223x x x<+⎧⎪⎨-≤⎪⎩①②，，解不等式①，得x＜1，解不等式②，得x≥﹣4，在同一数轴上表示不等式①②的解集，如图∴原不等式组的解集为﹣4≤x＜1，则原不等式组的整数解为﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0．【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，求出不等式组的解集是解本题的关键．
18.如图，点C，E，F，B在同一直线上，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．求证：AB＝CD．
【答案】见解析.
【解析】
试题分析：根据平行线的性质得出∠B=∠C，再根据AAS证出△ABE≌△DCF，从而得出AB=CD．
试题解析：证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠C，在△ABE和△DCF中，
∵∠A=∠D，∠B=∠C，AE=DF，∴△ABE≌△DCF，∴AB=CD．
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是平行线的性质，全等三角形的判定和性质，
关键是根据平行线的性质证出∠B=∠C．
19.化简：216422a a a a a a -⎛⎫-÷
⎪--⎝⎭. 【答案】
42
a a +-. 【解析】
【分析】 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】原式＝216(4)(4)4(2)4(2)42
a a a a a a a a a a a a a -+-+⋅=⋅=-----． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，75CBD ∠=︒，（1）请用尺规作图法，作AB 的垂直平分线EF ，垂足为E ，交AD 于F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF ，求DBF ∠的度数．
【答案】（1）答案见解析；（2）45°．
【解析】
【分析】
（1）分别以A 、B 为圆心，大于12
AB 长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可； （2）根据∠DBF ＝∠ABD ﹣∠ABF 计算即可；
【详解】（1）如图所示，直线EF 即为所求；
（2）∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠ABD ＝∠DBC 12
=∠ABC ＝75°，DC ∥AB ，∠A ＝∠C ， ∴∠ABC ＝150°，∠ABC +∠C ＝180°，
∴∠C ＝∠A ＝30°．
∵EF 垂直平分线段AB ，
∴AF ＝FB ，
∴∠A ＝∠FBA ＝30°，
∴∠DBF ＝∠ABD ﹣∠FBE ＝45°．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21.如图，已知AC ⊥BC ，垂足为C ，AC ＝4，BC ＝AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，连接DC ，DB ．
(1)线段DC ＝ ；
(2)求线段DB 的长度．
【答案】（1）4；（2）【解析】
试题分析：（1）证明ACD 是等边三角形，据此求解；
（2）作D E B C ⊥于点E ，首先在Rt CDE △中利用三角函数求得DE 和CE 的长，然后在Rt BDE △中利用勾股定理求解．
试题解析：（1）60AC AD CAD ，，
=∠=︒ ACD ∴是等边三角形，
4DC AC ∴==．
故答案是：4；
（2）作DE BC ⊥于点E ，
∵ACD 是等边三角形，
60ACD ∴∠=︒，
又AC BC ⊥，
906030DCE ACB ACD ，
∴∠=∠-∠=︒-︒=︒ ∴Rt CDE △中，122
DE DC ==，
cos304CE DC =⋅︒==
BE BC CE ∴=-== ∴Rt BDE △中，
BD ===
22.根据某小区书法兴趣小组成员的年龄情况，绘制如下不完整的统计图：
(1)该兴趣小组成员年龄的平均数是 岁，众数是 岁；
(2)平均数能较好地反映该兴趣小组成员的年龄特征吗？说明你的理由．
【答案】(1)14、9；(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）先求出被调查的总人数，再求出7岁和9岁的人数，继而根据众数和平均数的定义计算可得； （2）根据平均数容易受极端值影响求解可得．
【详解】(1)∵被调查的总人数为2÷20%＝10(人)，
则7岁的有10×20%＝2人，9岁的有10﹣(2+2+1+1)＝4(人)，
所以该兴趣小组成员年龄的平均数是728294101641
10
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
＝14(岁)，
众数为9岁；
故答案为：14、9．
(2)平均数不能较好地反映该兴趣小组成员的年龄特征，
因为该兴趣小组成员年龄的平均数受极端数据64的影响．
【点睛】本题主要考查众数和平均数，解题的关键是熟练掌握众数和平均数的定义．
23.某公司将农副产品运往市场销售，记汽车行驶时间为t(h)，平均速度为v(km/h)(汽车行驶速度不超过100km/h)，v随t的变化而变化．t与v的一组对应值如表：
(1)写出一个符合表格中数据，v(km/h)关于t(h)的函数解析式；
(2)汽车上午7：30出发，能否在上午10：00之前到达市场？请说明理由．
【答案】(1)v＝300
t
；(2)上午10：00前汽车不能到达市场．
【解析】
【分析】
（1）根据表格中的数据可以写出v（km/h）关于t（h）的函数解析式；
（2）将t＝2.5代入（1）中的函数解析式，求出v的值，然后与100比较大小即可解答本题．【详解】(1)由表格中的数据可得，
vt＝300，
则v＝300
t
，
即v(km/h)关于t(h)的函数解析式是v＝300
t
；
(2)上午10：00前汽车不能到达市场，
理由：∵当t＝2.5时，v＝300
2.5
＝120＞100，
∴上午10：00前汽车不能到达市场．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
24.如图1，AB、EF是⊙O的直径，点C、F在弧AB上，且F是弧BC的中点，弦BC与FE交于点D，连接AC、BC、FC、FB、AE．
(1)求证：AC∥EF；
(2)如图2，过点C作FB的平行线，交EF于点N，M为线段CF的中点，连接MD并延长MD交AB于点H，连接FH．若EN＝2，AB＝6，求FH的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)2.
【解析】
【分析】
（1）由F为弧BC中点，且EF为圆的直径，利用垂径定理的逆定理得到EF与BC垂直，再由直径所对的圆周角为直角，得到一对直角相等，即可得证；
（2）由CN与FB平行，以及等边对等角得到内错角相等，进而得到AE与FB平行，可得出AE与CN平行，得到四边形AENC为平行四边形，得到AC＝EN＝2，利用垂径定理的逆定理得到BC与EF垂直，由AB＝6，得到半径为3，利用勾股定理求出BD的长，再证明三角形OFH与三角形OBD全等，即可求出FH的长．【详解】(1)∵点F是弧BC的中点，EF是直径，
∴EF⊥BC, ∴∠BDE=90°
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACB＝∠BDE，
∴AC∥EF；
(2)如图2，
∵CN∥FB，OA＝OE＝OB＝OF，
∴∠CNF＝∠OFB＝∠OBF＝∠E，∴AE∥FB，
∴CN∥AE，
∵AC∥EF，
∴四边形AENC是平行四边形，
∴AC＝EN＝2，
∵点F是弧BC的中点，EF是直径，∴DC＝DB，OD⊥BC于点D，
∵DC＝DB，AO=BO
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝1
2
AC＝1，
∵OB＝3，
∴BD=，
又∵M为线段CF的中点，CD=BD
∴MD是△BCF的中位线，
∴MH∥FB，
∴∠ODH＝∠OFB,∠OBF＝∠DHO，
又∵OF=OB
∴∠OFB=∠OBF
∴∠ODH＝∠DHO，
∴OD＝OH，
又∠DOH公共角，∠ODB＝∠FHO=90°
∴△FOH≌△BOD，
∴FH＝BD＝．
【点睛】此题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
25.抛物线y ＝ax 2﹣2x +b 的顶点为A (m ，n )，过点A 的直线y ＝kx ﹣1与抛物线的另一交点为B (p ，q )．
(1)当a ＝b ＝1时，求k 的值；
(2)若b ＝m ，当﹣3≤a ＜1时，求p 的取值范围．
【答案】(1)1；(2)p ≤
23或p ＞2. 【解析】
【分析】
（1）将a ＝b ＝1代入抛物线的解析式确定直线经过的点A 的坐标，从而确定k 的值；
（2）表示出直线的解析式：y ＝ax ﹣1，然后根据当﹣3≤a ＜0和当0＜a ＜1时利用反比例函数的性质确定P 的取值范围即可．
【详解】(1)当a ＝b ＝1时，抛物线y ＝x 2﹣2x +1的顶点为A (1，0)，
直线y ＝kx ﹣1过点A (1，0)，k ＝1
(2)∵y ＝ax 2﹣2x +b 的顶点为A (m ，n )，
∴m ＝1.a
∵b ＝m ，∴抛物线y ＝ax 2﹣2x +
1.a ∴顶点为(1a
，0)， ∵直线y ＝kx ﹣1过顶点为(
1a ，0)， ∴k a
﹣1＝0，k ＝a ． 从而直线的解析式为：y ＝ax ﹣1
ax 2﹣2x +
1a
＝a x ﹣1 21(2)0a ax a x a
+-++= x 1＝1a ，x 2＝1+1a ． ∵B 与A 是不同的两点
∴p ＝1+1a
． 对于﹣3≤a ＜1， ①当﹣3≤a ＜0时，利用反比例函数性质得：
112,33p a -剟
②当0＜a＜1时，利用反比例函数性质得：1
a
＞1，p＞2
综上所述，p≤2
3
或p＞2.
【点睛】本题考查了二次函数的性质及函数图象上的点的坐标特征的知识，解题的关键是得到p与a的关系，难度不大．。