高中数学必修二 10 3 频率与概率(精讲)(含答案)

10.3 频率与概率（精讲）
考法一频率与概率的概念区分
【例1】（2021·全国高一课时练习）下列说法正确的有( )
①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；
③任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(A)<1；
④若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件.
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解析】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．
∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴①正确．
∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴②正确．
∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P（A）满足0≤P（A）≤1，∴③错误．
若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴④错误
∴说法正确的有两个，故选C．
【一隅三反】
1．（2021·辽宁大连市）关于频率和概率，下列说法正确的是（）
①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为2
3
；
②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005.如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；
③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；
④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次.
A．②④B．①④C．①②D．②③
【答案】A
【解析】
①某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这次投篮中命中的频率为2
3
，不能说概率，故错误；
②进行大量的实验，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5,故正确；
③只能说明可能有1806粒种子发芽，具有随机性，并不是一定有1806粒种子发芽，故错误；
④出现点数大于2的次数大约为4000次，正确.
故选：A
2．（2020·全国高一课时练习）下列说法错误的是（）
A．任一事件的概率总在[]
0,1内B．不可能事件的概率一定为0
C．必然事件的概率一定为1 D．概率是随机的，在试验前不能确定
【答案】D
【解析】任一事件的概率总在[]
0,1内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值．故选：D．
3．（2021·全国高一课时练习）下列关于概率的说法正确的是（）
A．频率就是概率
B．任何事件的概率都是在(0，1)之间
C．概率是客观存在的，与试验次数无关
D．概率是随机的，与试验次数有关
【答案】C
【解析】解：事件A的频率是指事件A发生的频数与n次事件中事件A出现的次数比，
一般来说，随机事件A在每次实验中是否发生时不能预料的，但在大量重复的实验后，随着实验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]的某个常数上，这个常数就是事件A的概率，故可得：概率
是客观存在的，与试验次数无关，
故选：C.
考法二概率的计算
【例2】（2021·全国高一课时练习）今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人数统计表（单位：人）如表：
则今年第一季度该医院男婴的出生频率是（）
A．
44
123
B．
40
123
C．
59
123
D．
64
123
【答案】D
【解析】根据题意：第一季度的男婴数为64，婴儿总数为123，
故该医院生男婴的出生频率为
64
123
.故选：D.
【一隅三反】
1．（2021·全国高一）将A，B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：
下面有三个推断：
①当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767；
②随着投篮次数的增加，A 运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A 运动员投中的概率是0.750；
③当投篮达到200次时，B 运动员投中次数一定为160次. 其中合理的是（ ）. A ．① B ．②
C ．①③
D ．②③
【答案】B
【解析】①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理；
②随着投篮次数增加，A 运动员投中的频率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理； ③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮200次时，只能估计投中160次，而不能确定一定是160次，故③不合理； 故选：B.
2．（2021·全国高一课时练习）某班学生在一次数学考试中的成绩分布如表
那么分数在[)100,110中的频率约是（精确到0.01）（ ） A ．0.18 B ．0.47
C ．0.50
D ．0.38
【答案】
A
【解析】某班总人数25681264245+++++++=, 成绩在[)100,110中的有8人,其频率为8
0.1845
≈. 故选:A
考法三 生活中的概率
【例3】（2020·全国高一课时练习）下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（ ）
A．游戏1和游戏3 B．游戏1 C．游戏2 D．游戏3 【答案】D
【解析】对于游戏1，样本点共有12个，取出的2个球同色包含的样本点有6个，其概率是1
2
，取出的2
个球不同色的概率也是1
2
，故游戏1公平；
对于游戏2，样本点共有2个，分析易知，取出的球是黑球和取出的球是白球的概率都是1
2
，故游戏2公平；
对于游戏3，样本点共有12个，取出的2个球同色的概率是1
3
，取出的2个球不同色的概率是
2
3
，故此游
戏不公平，乙胜的概率大.故选D.
【一隅三反】
1．（2021·全国高一课时练习）(多选题)张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是（）A．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜
B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜D．张明､李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜
【答案】ACD
【解析】选项A中,向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A符合题意;
选项B中,张明获胜的概率是1
2
,而李华获胜的概率是
1
4
,故游戏规则不公平,B不符合题意;选项C中,扑克
牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等,C符合题意;
选项D中,两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等,D符合题意.
故选：ACD
2．（2020·全国高一课时练习）今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.
某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为____. 【答案】0.4
【解析】由题意，将买猪肉的人组成的集合设为A ，买其它肉的人组成的集合设为B ， 则韦恩图如下：A B ⋂中有30人，()U C A
B 中有10人，又不买猪肉的人有30位，
∴U B C A ⋂中有20人，∴只买猪肉的人数为：10010203040---=， ∴这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为40
100
=0.4， 故答案为；0.4
3．（2021·全国高一课时练习）某校为庆祝中华人民共和国建国70周年，以“不忘初心，牢记使命”为主题开展了“唱红歌”比赛，工作人员根据参赛选手的成绩绘制了如下不完整的统计图表：
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）求上表中的数据m 、n 的值； （2）通过计算，补全频数分布直方图； （3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？
（4）如果比赛成绩在80分以上（含80分）的选手为获奖选手，那么我们随机的从本次参赛的所有选手中抽取出一个人，求恰好抽中获奖选手的概率？
【答案】（1）90m =，0.3n =；（2）图见解析；（3）7080分；
（4）25
. 【解析】（1）总人数302000.15==（人），2000.4590m ∴=⨯=，60
0.3200
n ==； （2）由（1）的计算知70至80分段的人数为90人，
90至100分段的人数为20030906020---=人，
补全条形图如下图所示：
（3）比赛成绩在60~70的人数为30100<，比赛成绩在60~80的人数为3090120100+=>， 因此，比赛成绩的中位数落在70~80分； （4）恰好抽中获奖选手的概率为：60202
2005
+=.
考法四 随机模拟
【例4】（2021·全国高一课时练习）用计算机随机模拟掷骰子的试验,估计出现2点的概率,则下列步骤中不正确的是( )
A ．用计算机的随机函数RANDBETWEEN (1,7)产生6个不同的1到6之间的取整数值的随机数x ,如果
2x =,我们认为出现2点.
B ．我们通常用计数器n 记录做了多少次掷骰子试验,用计数器m 记录其中有多少次出现2点,置0n =,
0m =.
C ．每做一次试验1=+n n ,若出现2点,则m 的值加1,即1m m =+,否则m 的值保持不变.
D ．程序结束,出现2点的频率m
n
作为数率的近似值. 【答案】A
【解析】计算器随机函数RANDI(1,7)或计算机随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生的是1到7之间的整数(包括1,7),共7个整数.故选: A. 【一隅三反】
1．（2020·全国高一课时练习）用随机模拟方法得到的频率( ) A ．大于概率 B ．小于概率
C ．等于概率
D ．是概率的近似值
【答案】D 【解析】
当实验数据越多频率就越接近概率
∴用随机模拟方法得到的频率,数据是有限的,是接近概率.故选:D.
2．（2020·陕西西安市·高一期末）利用计算机产生0~1之间的均匀随机数x ，则事件“730x -≥”发生的概率为______. 【答案】
4
7
【解析】事件“730x -≥”，即事件“37
x ≥
”， 而x 是[0,1]之间的随机数，故事件发生的概率为：
47，故答案为：4
7。