空间向量运算的坐标表示-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第一册)

解(1):
a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2，2) ;
－＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6);
Ԧ
Ԧ · ＝(2，－1，－2) · (0，－1，4)＝2 × 0＋(－1) × (－1)＋(－2) × 4＝－7.
(1)向量的坐标；(2)向量，夹角的余弦值.
3
1
解: (2)因为
， ，0 ， 0，
2
2
1
3
0，1，0 , 0， − ，
，
2
2
3
3
所以 = − ， − 1，
， =
2
2
则 ∙ = −
3
2
×0−1×2+
所以 < ， >=
∙

3
2
− 1，0 ，
1
2
所以点坐标为 0， − ，
又因为 0，1，0 ，
所以 = 0， −
3
3
，
2
2
.
3
2
,
30°
=
3
,
2
3
1
， ，0
2
2
，点在平面
例题讲解
3
1
， ，0
2
2
练习6.如图， = 2,原点是的中点，点的坐标为
，点在平面
上，且∠ = 90° , ∠ = 30° ,求
1
， )
2
2
所以EF ⊥ DA1 ，即EF ⊥ DA1 .
∙ (1，0，1) = 0.
例题讲解
例3.如图，在棱长为1的正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，M为BC1 的中点，E1 ，F1 分别在
1
4
1
4
棱A1 B1 ，C1 D1 上，B1 E1 = A1 B1 ，D1 F1 = C1 D1 .
练习6.如图， = 2,原点是的中点，点的坐标为
上，且∠ = 90° , ∠ = 30° ,求
(1)向量的坐标；(2)向量，夹角的余弦值.
解: (1)过作 ⊥ 于，则 = ∙
1
2
1
2
= − ∙ 60° = 1 − = ,
∴
5
＝－ 或＝2.
2
例题讲解
练习3.已知空间三点A(−2，0，2)，B(−1，1，2)，C(−3，0，4).设 Ԧ = AB， = AC.
若kԦ + 与kԦ − 2互相平行，求k.
解:∵Ԧ = (−1，1，2) − (−2，0，2) = (1，1，0)，
= (−3，0，4) − (−2，0，2) = (−1，0，2)，
Ԧ ∙ = 1 1 + 2 2 + 3 3
模长
夹角
平行
Ԧ = Ԧ ∙ Ԧ =
Ԧ , =
∙
∙
=
1 2 + 2 2 + 3 2
1 1 +2 2 +3 3
1 2 +2 2 +3 2 ∙ 1 2 +2 2 +3 2
当 ≠ 0时，Ԧ ∥ Ԧ ⟺ a1 = b1 ，a2 = b2 ，a2 = b2
于是P1 P2 = |P1 P2 | =
P1 P2 ∙ P1 P2 =
P2
i
O
x
(x2 − x1 )2 +(y2 − y1 )2 +(z2 − z1 )2 .
空间两点间的距离公式
j
y
例题讲解
练习1.已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1 , 4)，求：
(1) a＋b，a－b，a·b，
(2)(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)．
设{Ԧi，Ԧj，k}为空间的一个单位正交基底，则
Ԧ = 1Ԧi + 2Ԧj + 3 k， = 1Ԧi + 2Ԧj + 3 k
所以
Ԧ ∙ = (1Ԧi + 2Ԧj + 3 k) ∙ (1Ԧi + 2Ԧj + 3 k)
利用向量数量积的分配律以及
Ԧi ∙ Ԧi = Ԧj ∙ Ԧj = k ∙ k = 1，Ԧi ∙ Ԧj = Ԧj ∙ k = k ∙ Ԧi = 0，
(1)求AM的长.(2)求BE1 与DF1 所成角的余弦值.
解(1):建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
1
1
则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为( ，1， ).
2
2
于是AM =
1
(
2
− 1)2 +(1
1
2
− 0) +(
2
− 0)2 =
6
.
2
例题讲解
例3.如图，在棱长为1的正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，M为BC1 的中点，E1 ，F1 分别在
|BE1 ||DF1 |
=
15
17
15
16
17
17
×
4
4
所以，BE1 与DF1 所成角的余弦值是 .
=
15
.
17
=
17
，
4
例题讲解
练习2.已知空间三点(－2，0，2)，(－1，1，2)，(－3，0，4)，设a＝AB，
b＝AC，若向量a＋b与a－2b互相垂直，求的值．
解:＝(－1＋2，1－0，2－2)＝(1，1，0)，
加法
Ԧ + = 1 + 2 ，1 + 2
减法
Ԧ − = 1 − 2 ，1 − 2
数乘
Ԧ = 1 ，1
数量积
Ԧ ∙ = 1 2 + 1 2
模长
夹角
平行
Ԧ = Ԧ ∙ Ԧ =
Ԧ , =
∙
∙
=
1 2 + 1 2
1 2 +1 2
得，
Ԧ ∙ = 1 1 + 2 2 + 3 3 .
其他运算类似
可证，请同学
们自主完成。
新知探讨
空间向量运算的坐标表示
设a = (a1 ，a2 ，a3 )，b = (b1 ，b2 ，b3 )
加法
a + b = (a1 + b1 ，a2 + b2 ，a3 + b3 )
减法
a − b = (a1 − b1 ，a2 − b2 ，a3 − b3 )
−2
7
∵ a + b ∥ a − 3b ，所以
=
5+3
−4
=
－+5
−16
，解得 = −
1
3
(2) ∵ a + b ⊥ a − 3b
∴ a + b ∙ a − 3b = − 2，5 + 3，－ + 5 ∙ 7， − 4， − 16 = 0，
即7 − 2 − 4 5 + 3 − 16 − + 5 = 0，解得 =
k=λ
2 = λ ∙ 2
则k = = −1或k = = 1.
例题讲解
练习4.已知a ＝(1，5，－1)，b ＝(−2，3 , 5),分别在以下情形下求实数的值.
(1) a + b ∥ a − 3b ；
(2) a + b ⊥ a − 3b .
解: (1)a + b = ( − 2，5 + 3，－ + 5)， a − 3b = (7， − 4， − 16)
数乘
λa = (λa1 ，λa2 ，λa3 )
数量积
Ԧ ∙ = 1 1 + 2 2 + 3 3
模长
夹角
平行
Ԧ = Ԧ ∙ Ԧ =
Ԧ , =
∙
∙
=
1 2 + 2 2 + 3 2
1 1 +2 2 +3 3
1 2 +2 2 +3 2 ∙ 1 2 +2 2 +3 2
Ԧ ⊥ ⟺ + + = 0
复习导入
空间向量基本定理
a，b，Ԧc不共面，则对∀，∃唯一有
Ԧ
序实数组(x, y, z)，使得
Ԧ = Ԧ + + Ԧ
空间直角
坐标系
空间直角坐标系
点的坐标
，，
空间向量的坐标表示
向量的坐标
a = ，，
复习导入
平面向量运算的坐标表示
设Ԧ = 1 ，1 ， = 2 ，2
a + b = (a1 + b1 ，a2 + b2 ，a3 + b3 )，
a − b = (a1 − b1 ，a2 − b2 ，a3 − b3 )，
λa = (λa1 ，λa2 ，λa3 )，
a ∙ b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
新知探究
空间向量运算的坐标表示
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
∴|| =
12 + (−3)2 +22 = 14，
|| =
22 + 02 + (−8)2 = 2 17.
(2) ∵ ∙ = (1， − 3，2) ∙ (2，0， − 8) = −14，
∴ < ， >=
∙
||||
=
−14
14×2 17
=−
238
.
34
例题讲解
当 ≠ 0时，Ԧ ∥ Ԧ ⟺ a1 = b1 ，a2 = b2 ，a2 = b2
新知探讨
思考：你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？
z
P1
如图建立空间直角坐标系Oxyz，
k
设P1 (x1 ，y1 ，z1 )，P2 (x2 ，y2 ，z2 )是空间中任意两点，
则P1 P2 = OP2 − OP1 = (x2 − x1 ，y2 − y1 ，z2 − z1 ).
0，2，0 ，
× 0 = −2， =
=−


3
4
3
4
+1+ =
10
，
2
= 2，
小结
加法
a + b = (a1 + b1 ，a2 + b2 ，a3 + b3 )
减法
a − b = (a1 − b1 ，a2 − b2 ，a3 − b3 )
数乘
λa = (λa1 ，λa2 ，λa3 )
数量积
Ԧ
＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1，0，2)，
∴＋＝(，，0)＋(－1，0，2)
Ԧ
＝(－1， ，2)，
－2＝(，，0)－(－2，0，4)＝(＋2，，－4)．
Ԧ
∵ ＋与
Ԧ
－2互相垂直，
Ԧ
∴(－1，，2) · (＋2，，－4)＝(－1)(＋2＋2)－8＝0，即22＋－10＝0，
4
4
1
1
17
DF1 = (0， ，1) − (0，0，0) = (0， ，1)，|DF1 | =
.
4
4
4
1
1
15
所以BE1 ∙ DF1 = 0 × 0 + (− × ) + 1 × 1 = .
4
4
16
解(2):由已知，得B(1，1，0)，E1 (1， ，1)，
所以cos < BE1 ，DF1 >=
BE1 ∙DF1
求证EF ⊥ DA1 .
证明:不妨设正方体的棱长为1，
建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
则E(1，1， )，F( ，1，1)，所以EF = (− ， − ， ).
又A1 (1，0，1)，D(0，0，0)，所以DA1 = (1，0，1).
所以EF ∙ DA1 =
1
(− ，
2
−
1
(2): (2)·(－)
Ԧ
＝－2(Ԧ · )＝－2 × (－7)＝14；
(＋)·(
Ԧ
－)＝(2，－2,2)
Ԧ
· (2,0，－6)＝2 × 2－2 × 0＋2 × (－6)＝－8.
例题讲解
例2.如图，在正方体ABCD－A1 B1 C1 D1 中，E，F分别是BB1 ，D1 B1 的中点.
∴kԦ + = (k，k，0) + (−1，0，2) = (k − 1，k，2)，
Ԧ + k = (1，1，0) + (−k，0，2k) = (1 − k，1，2k)，
∵kԦ + 与Ԧ + k平行，所以kԦ + = λ(Ԧ + k)，
k − 1 = λ(1 − k)
即(k − 1，k，2) = λ(1 − k，1，2k)，所以
1
4
1
4
棱A1 B1 ，C1 D1 上，B1 E1 = A1 B1 ，D1 F1 = C1 D1 .
(1)求AM的长.(2)求BE1 与DF1 所成角的余弦值.
3
4
1
D(0，0，0)，F1 (0， ，1)，
4
3
1
所以BE1 = (1， ，1) − (1，1，0) = (0， − ，1)，|BE1 |
1 2 +1 2 ∙ 2 2 +2 2
Ԧ ∥ ⟺ 1 2 − 2 1 = 0
类比平面向量坐标运
算，你能得出空间向
量坐标运算并给出证
明吗？
新知探究
空间向量运算的坐标表示
设a = (a1 ，a2 ，a3 )，b = (b1 ，运算的坐标表示一样，我们有：
106
3
例题讲解
练习5.已知空间三点(1，2，3)，(2， − 1，5)，(3，2， − 5).
求：(1)向量，的模；(2)向量，夹角的余弦值.
解: (1)∵ = (2， − 1，5) − (1，2，3) = (1， − 3，2)，
= (3，2， − 5) − (1，2，3) = (2，0， − 8)，